高等数学A1第一章练习答案

1 高等数学A1 第一章练习参考答案

一、填空

1.[0,2) 2.121xx 3.[0,ln2] 4. 43 5. 1e. 6.a0 b2

7.e. 8.m=12 n=2 9.0 , 1 10.a=2 11.(,0)(0,3] 12. [-1，1]；[1，10]；[-2，-1] 13.xx2；x 14. 22x 15.0,00,1xx

16. 3；1 17. b；1；a；1；18. 1,1,,0

二、选择

1.C 2.AC 3.BD 4.D

三、计算

1.求极限：602080(23)(32)lim(25)xxxx =2032 2、求极限：2lim(1)+xxx　 =0

3. 求lim2sin2nnnx=x. 4.求30tansinlimxxxx=12.

5. 求201tan1sinlim1sinxxxxxx+=12. 6. 求1sinlimsinxaxaxa=cossinaae

11sinsinsinlimlim1sinsinxaxaxaxaxxaaa

7. 3431(1)(1)(1)lim(1)xxxxx=124 8.求极限1lim123+nnnn 3=

9.2130(1)1limcos1xxx=23 10.11limsincosxxxx=e

2211limsincosxxxx

三、证明与计算

1. 设)(xf在[,]ab上连续，且(),(),faafbb证明在开区间(,)ab内至少存在一点，使()f.

2. 证明方程0xxe在(1,1)至少有一个实根.

2 3.证明数列

13x，213+,xx，n13+nxx

的极限存在，并求出其极限。

极限为1132

4.已知21lim01xxaxbx，求常数,ab的值.

1,1ab

5.求下列函数的间断点，并判断其类型. 若为可去间断点，补充或修改定义后使其为连续点.

22,1,0(1)()0,1xxxxxfxx

0x为()fx的第一类间断点（跳跃间断点），1x为第二类间断点，1x为()fx的第一类间断点（可去间断点），若令1(1),2f则()fx在1x处连续。

6.设22212(1,2,3,)12nnxnnnnnnnn，求limnnx.

1lim2=nnx

7. 设0()ln1sin2lim5,31xxfxx 求20()limxfxx

20()lim10ln3=xfxx

8.用N定义证明：22414lim.313nnn

证明：对0，要使

2232291391)13(31341314nnnnn

3 只要 31n

取31N

则当Nn时，有 34131422nn

所以 341314lim22nnn.

9.根据定义证明极限：lim10.xxx

证明：对0，要使xxxxx11101，只

21x，取21X，则当Xx时，有01xx，

所以0)1(limxxx

10.证明函数()xfxx当0x时极限不存在.

证明：因为1lim)(lim00xxxfxx，1lim)(lim00xxxfxx

所以)00()00(ff，故||)(xxxf当0x时极限不存在。

11.计算极限：

（1）3421211lim45xxxxxx=0 （2）231limsin(!)32nnnn=0

（3）lim2nnnn =1 （4）3113lim11xxx=-1

（5）0arctanlim11xxx （6）10lim12xxx

4 00arctan(11)lim(11)(11)arctanlim(11)122xxxxxxxxx 1/2(2)201lim(1)1/2xxex

（7）limcoscoscoscos2482nnxxxx （提示：12sincossin222nnnxxx）

coscoscoscossin224822lim2sin2sinsin1sinlimlim2sin(sin)/()222nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxx

12.设数列222,(1,2,)12nnnnxnnnnn，试用“夹逼准则”，证明{}nx

的极限存在，并求极限值.

证明：122222nnnnnnnnnnnnnnxn

122222nnnnnnnnxn

而11limnnn，所以由夹逼准则知，1limnnx。

13.设数列{}nx由递推公式19()2nnnxxx给出，其中11x，试用“单调有界准则”证明{}nx的极限存在，并求极限值.

14.证明：由递推公式知，

39221)9(211nnnnnxxxxx，而34132x，即数列}{nx是有下界的。

由1)391(21)91(21221nnnxxx知nnxx1，所以}{nx单调减少且有下界，所以}{nx存在极限。

设Axnn1lim，则)9(21limlim1nnnnnxxx即)9(21AAA，解之得3A，所以

5 3limnnx。

15.求函数222()4xxfxxx间断点，并指出其类型.

解：因为21)00(,21)00(ff， 所以0x是第一类间断点（跳跃）。

因为)(xf在2x处无定义，且41)(lim2xfx，所以2x是第一类间断点（可去）。

因为)(lim2xfx，所以2x是第二类间断点。

16.求极限.

(1)0ln()lnlimxx (2)2cot20lim13tanxxx

解：（1）xexxxxxxx1ln)ln(lim)ln(lim11010

（2）3)3(tan31202)tan31(limexxx

17.证明方程cosxaxb（其中0,0ab）至少有一个不超过ab的正根.

证明：令bxaxxfcos)(，则)(xf在],0[ba上连续，

由于

0))cos(1()cos()(,0)0(baabaaabafbaf

所以0)()0(baff。

当0)()0(baff时，由零点定理知在),0(ba内至少存在一点，使0)(f

当0)(baf时，则bax即为bxaxcos的一个根，所以方程bxaxcos在],0(ba上至少有一根，即至少有一个不超过ba的正根。

18.函数(),()fxgx在[,]ab连续，且()(),()(),fagafbgb证明在(,)ab内，曲线

()yfx和()ygx至少有一个交点.

证明：令)()()(xgxfxh，则)(xh在],[ba上连续。

6 由于0)()()(,0)()()(bgbfbhagafah，

所以0)()(bhah，所以在),(ba内至少有一个零点，不妨设为，则0)()(gf，所以曲线)(xfy与)(xgy至少有一个交点))(,(f。