极坐标与参数方程知识点
（一）曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即
⎩
⎨
⎧==)()
(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：
α
αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）
其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○
1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝
B A A B t t t t ⋅--4)(2．
○
2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2
B
A t t +．
2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
θ
θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）
3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：
θ
θsin cos b y a x == （θ为参数） （或
θ
θsin cos a y b x ==）
中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程
为参数）ααα(.
sin ,
cos 00⎩⎨
⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：
θ
θtg sec b y a x == （θ为参数）
（或
θ
θec a y b x s tg ==）
5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：
pt
y
pt x 222
== （t 为参数，p ＞0）
直线的参数方程和参数的几何意义
过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨
⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ）
，(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，
点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． (
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a =
⑶θ
ρcos a
-= 图1
⑷θρsin a =
⑸θ
ρsin a
-= ⑹)cos(ϕθρ-=a
—
、
4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a
、
ϕ
θ=
θ
ρcos a =
θ
ρcos a -
=
θ
ρsin a
=
图4
θ
ρsin a -
=图5
)
cos(ϕθρ-=
a θ
ρcos 2a =
θ
ρsin 2a =图4
θ
ρsin 2
a -=图5θ
ρcos 2a -=a
=ρ图1
)
cos(2ϕθρ-=a 图6
。
5、极坐标与直角坐标互化公式：
⎩
x
（直极互化 图）
