北京市朝阳区2011-2012学年高二下学期期末考试理科数学试题

考试时间：100分钟 试卷满分：120分一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，{}4,3,2,1=A ，{}4,5,6B =，则集合=)(B A C U （ ） A. {}4 B. {}6,5,2,1C. {}1,2,3,5,6D. ∅2. 函数y =的定义域为（ ）A. (4,1)--B. (4,1)-C. (1,1)-D. (1,1]- 3. 已知幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则1()4f =（ ）B.12C.14D.24. 设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c << 5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. 2log (0)y x x =-> B. 3()x y x R =∈ C. 3()y x x x R =+∈ D. 1(,0)y x R x x=-∈≠ 6.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A. 充分条件 B. 必要非充分条件 C. 充分非必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数212()log (32)f x x x =-+的递增区间是（ ）A. (,1)-∞B. (2,)+∞C. 3(,)2-∞D. 3(,)2+∞8. 为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上的所有点（ ） A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度9. 函数x xx xe e y e e--+=-的图象大致为（ ）10. 设()833-+=x x f x ，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A. 25.1(，)5.1B. 1(，)25.1C. 5.1(，)2D. 不能确定11. 设函数()lg f x x =，则关于x 的方程2()()0f x mf x n ++=恰有三个不同实数解的充要条件是（ ）A. 00m <<且nB. 00m ><且nC. 00m <且n=D. 00m >且n=12. 定义在N *上的函数()f x 满足(1)1f =，且1(),(1)2(),f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪ ⎩偶 奇为数为数，则(22)f =（ ）A. 11024B. 1512C. 12048 D. 1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

北京市朝阳区2011-2012学年第一学期期末考试高一数学 2012.1（考试时间100分钟； 卷面总分100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）已知全集U =R ，集合{|21}xA x =>，{|10}B x x =->，则()U A B I ð=（A ）{|1}x x > （B ）{|01}x x << （C ）{|01}x x <≤ （D ）{|1}x x ≤ （2）设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b c a <<（D ）b a c <<（3）方程121()3xx =有解0x ，则0x 所在的区间是 （A ）(2, 3) （B ）(1, 2) （C ）(0, 1) （D ）(1, 0)- （4）在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为（A ）21 （B ）221- （C ）22（D ）2（5）某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍. 为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（A ）72 （B ）36 （C ）27 （D ）18（6）右图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 的平均数和方差分别为 （A ）84，4.84 （B ）84，1.6（C ）85，1.6 （D ）85，4ABC（7）若右边的程序框图输出的S 是62，则条件①可为（A ）4n ≤ （B ）5n ≤（C ）6n ≤ （D ）7n ≤（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[, 2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = （A ）4 （B ）2 （C） （D ）（9）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆy bx a =+中的b 为9.4，据此模型推测广告费用为7万元时，销售额为（A ）74.2万元 （B ）74.9万元 （C ）75.3万元 （D ）76.1万元（参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-）（10）已知函数()y f x =和()y g x =的定义域均为{|22}x x -≤≤，其图象如下所示：给出下列四个命题：1yxO 2-1-212-1-2y = f (x )x-2yO 21-1 y = g (x )1 -2 2-1①函数[()]y f g x =有且仅有6个零点 ②函数[()]y g f x =有且仅有3个零点 ③函数[()]y f f x =有且仅有5个零点 ④函数[()]y g g x =有且仅有4个零点其中正确的命题是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③④ （D ）①③④二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）已知函数3log , 0,()2, 0,x x x f x x ->⎧=⎨⎩≤ 则(3)(1)f f +-= .（12）函数12|log |y x =的单调递增区间是 .（13）设变量x ，y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≤则32z x y =-的最大值为 .（14）对任意的0x >，函数2231xy x x =++的最大值是 .（15）先后抛掷两枚均匀骰子（每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的立方体），骰子落地后面朝上的两个数字分别为a ，b ，则使得log 12ab=的事件的概率为 .（16）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，[]1, 2x ∈与函数2y x =，[]2,1x ∈--即为“同族函数”．下面函数中，解析式能够被用来构造“同族函数”的有 （填入函数对应的序号）.①223y x x =-+； ②3y x =； ③2log y x =； ④2-+=x x e e y ；⑤|21|xy =-三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分8分）已知22()log (1)log (1)f x x x =++-. (Ⅰ) 求函数()f x 的定义域；(Ⅱ) 判断函数()f x 的奇偶性，并加以说明；(Ⅲ)求)2f 的值.（18）（本小题满分8分）设全集是实数集R ，{}22730A x x x =-+≤，{}20B x x a =+<． （Ⅰ）当4a =-时，分别求A B 和A B ； （Ⅱ）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围．（19）（本小题满分10分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中M ，p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率.（20）（本小题满分10分）已知函数2()f x x =，()1g x x =-.(Ⅰ)若存在x ∈R 使()()f x b g x <⋅，求实数b 的取值范围；(Ⅱ)设2()()()1F x f x mg x m m =-+--，且|()|F x 在[0, 1]上单调递增，求实数m 的取值范围.。

2011-2012学年北京市某校高二（下）期中数学试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡相应的位置．1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5, 7}，集合A ={4, 7}，集合B ={1, 3, 4, 7}，则（ ） A.U =A ∪B B.U =(C U A)∪BC.U =A ∪(C U B)D.U =(C U A)∪(C U B)2. 在复平面内，复数z =1−i1+i −1所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 若a ，b 是任意实数，且a >b ，则（ ） A.a 2>b 2 B.ba<1C.lg (a −b)>0D.2a >2b4. 命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是（ ）A.不存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0 B.存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0 C.存在x 0∈R ，x 03−x 02+1>0D.对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1>05. 若x ∈R ，则“x >1”，则“x 2>1”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 已知f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且f(x +4)=f(x) 当x ∈(0, 2)时，f(x)=2x 2，则f(2011)=( ) A.98 B.−98 C.2 D.−27. 已知：x ∈R ，y ∈R 定义运算x※y ={x(x ≤y)y(x >y)，若|2m −1|※m =|2m −1|，则实数m 的取值范围是（ ）A.(−∞, 13) B.(13, 1)C.[13, 1]D.[1, +∞)8. 已知函数f(x)＝log a (2x +b −1)(a >0, a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是（ ）A.0<a −1<b <1B.0<b <a −1<1C.0<b −1<a <1D.0<a −1<b −1<1 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题目相应位置.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x 为________若二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x)且f(a)≤f(0)<f(1)，则实数a 的取值范围是________．方程3−x =3−x 2有________个实数解．i 是虚数单位，i +2i 2+3i 3+...+8i 8=________．（用a +bi 的形式表示，a ，b ∈R ）已知：x >0，y >0，x ⋅y =x +3y +1，则x +y 的最小值是________．已知：S n 是数列{a n }的前n 项和，其中a n =8n(2n−1)2⋅(2n+1)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，得到S 4=________． 三、解答题：本大题3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知集合S ={x|x+2x−5<0}，P ={x|a +1<x <2a +15}．(1)求集合S ；(2)若S ⊆P ，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)=x−bx−1，它的图象过点(2, −1)． （1）求函数f(x)的解析式；（2）设k >1，解关于x 的不等式：f(x)⋅x−k x−1<0、将边长为1的正三角形ABC ，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形DBCE ．设剪成的小正三角形ADE 的边长为x ，记T =(梯形DBCE 的周长)2梯形DBCE 的面积（1）求T 关于x 的表达式以及x 的取值范围；（2）求T 的最小值．四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题目相应位置.若实数x ，y 满足{x ≤1|y|≤x ，则z =2x +3y 的最小值是________；在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是________．函数f(x)=x 22−ln x 的单调增区间为________．若不等式x 2+3x >ax −4对于满足0≤x ≤1的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．已知函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的偶函数，当x ∈(−∞, 0)时，f(x)=1x −x 4，则当x ∈(0, +∞)时，f(x)=________．设函数f(x)={2x (x ≥4)f(x +2)(x <4)，则f(−2011.5)=________．对于函数f(x)，若存在区间M =[a, b]，(a <b)，使得{y|y =f(x), x ∈M}=M ，则称区间M 为函数f(x)的一个“稳定区间”．请你写出一个具有“稳定区间”的函数；（只要写出一个即可）给出下列4个函数： ①f(x)=g x ； ②f(x)=x 3， ③f(x)=cos π2x④f(x)=ln x +1其中存在“稳定区间”的函数有________．（填上正确的序号）五、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知：实数a ，b ，c 全都是正数．求证：(a +b +c)⋅(1a +1b +1c )≥9．定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有f(m +n)=f(m)⋅f(n)，且当x >0时，0<f(x)<1．（1）求f(0)的值；（2）判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；（3）如果f(−1)=2，求不等式f(101−x)<4f(x)的解集．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市某校高二（下）期中数学试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡相应的位置．1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意，分别求出C U A与C U B，进而依次分析选项，看与全集是否相等，可得答案．【解答】解：根据题意，A={4, 7}，则C U A={1、2、3、5}；B={1, 3, 4, 7}，C U B={2、5}；依次分析选项可得，A、A∪B={1, 3, 4, 7}≠U，不符合题意；B、(C U A)∪B={1, 2, 3, 4, 5, 7}=U，符合题意；C、A∪(C U B)={1, 2, 5, 7}≠U，不符合题意；D、(C U A)∪(C U B)={1, 2, 3, 5}≠U，不符合题意；故选B．2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的乘除运算化简复数，求出对应点即可判断选项．【解答】解：复数z=1−i1+i −1=(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)−1=−2i2−1=−1−i，复数对应点的坐标(−1, −1)，在第三象限．故选C．3.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】利用指数函数f(x)=2x在R上单调递增，即可得出．【解答】解：∵函数f(x)=2x在R上单调递增，又a>b，∴2a>2b．故选D．4.【答案】C【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】根据命题“对任意的x∈R，x3−x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3−x2+1≤0”是全称命题，∴否定命题为：存在x0∈R，x03−x02+1>0.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．【解答】解：因为“x>1”，则“x2>1”；但是“x2>1”不一定有“x>1”，所以“x>1”是“x2>1”成立的充分不必要条件．故选A．6.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质【解析】由于f(x+4)=f(x)，可得f(2011)=f(503×4−1)=f(−1)=−f(1)．再利用当x∈(0, 2)时，f(x)= 2x2，可得f(1)．【解答】解：∵f(x+4)=f(x)，∴f(2011)=f(503×4−1)=f(−1)=−f(1)，∵当x∈(0, 2)时，f(x)=2x2，∴f(1)=2．∴f(2011)=−2．故选：D．7.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】根据定义运算x※y ={x(x ≤y)y(x >y)，可知，x 与y 哪个小就取哪个，然后根据|2m −1|※m =|2m −1|，建立关于m 的不等式，解之即可． 【解答】解：∵ x※y ={x(x ≤y)y(x >y)，|2m −1|※m =|2m −1|，∴ |2m −1|≤m ，即有−m ≤2m −1≤m ， 解得13≤m ≤1． 故选C ． 8.【答案】 A【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a ，b 的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的(0, −1)点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系． 【解答】∵ 函数f(x)＝log a (2x +b −1)是增函数， 令t ＝2x +b −1，必有t ＝2x +b −1>0， t ＝2x +b −1为增函数． ∴ a >1，∴ 0<1a <1， ∵ 当x ＝0时，f(0)＝log ab <0， ∴ 0<b <1．又∵ f(0)＝log a b >−1＝log a 1a ， ∴b >1a ，∴ 0<a −1<b <1．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题目相应位置.【答案】 12【考点】 程序框图 【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当x ＝12时满足条件x >8，退出循环，输出x 的值为12． 【解答】模拟执行程序框图，可得 x ＝1满足条件x 是奇数，x ＝2不满足条件x 是奇数，x ＝4，不满足条件x >8，x ＝5 满足条件x 是奇数，x ＝6，不满足条件x >8，x ＝7满足条件x 是奇数，x ＝8，不满足条件x >8，x ＝9 满足条件x 是奇数，x ＝10，不满足条件x 是奇数，x ＝12，满足条件x >8， 退出循环，输出x 的值为12． 【答案】 a ≤0或a ≥4 【考点】二次函数的性质 【解析】利用满足的恒等式求出二次函数的对称轴；利用对称轴写出二次函数的单调区间；利用f(0)<f(1)，判断出二次函数的单调区间；利用二次函数的单调性求出a 的范围． 【解答】解：∵ 二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x) ∴ 对称轴为x =2∴ 二次函数的单调区间有(−∞, 2]；[2, +∞) ∵ f(0)<f(1)，∴ f(x)在(−∞, 2]递增；在[2, +∞)递减 ∵ f(0)=f(4)，f(a)≤f(0) ∴ a ≤0或a ≥4故答案为a ≤0或a ≥4 【答案】 2【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】将方程的解的问题转化为2个函数的交点问题，通过图象得出结论． 【解答】解：令f(x)=3−x ，g(x)=3−x 2， 画出函数f(x)，g(x)的图象，如图示：，∴ 函数f(x)，g(x)有2个交点， 故方程有2个解， 故答案为：2． 【答案】 4−4i 【考点】复数代数形式的混合运算【解析】利用复数i的幂的运算逐一化简即可．【解答】解：i+2i2+3i3+...+8=i−2−3i+4+5i−6+7i+8=4−4i．故答案为：4−4i【答案】8【考点】基本不等式【解析】x>0，y>0，x⋅y=x+3y+1，可得y=x+1x−3>0，可得x>3．变形为f(x)=x+x+1x−3=x−3+4x−3+4，利用基本不等式的性质即可．【解答】解：∵x>0，y>0，x⋅y=x+3y+1，∴y=x+1x−3>0，可得x>3．∴f(x)=x+x+1x−3=x−3+4x−3+4≥2√(x−3)⋅4x−3+4=8，当且仅当x=5，y=3时取等号．∴x+y的最小值是8．故答案为：8．【答案】1552315【考点】数列的求和【解析】由数列的通项公式，依次求出数列的前四项，由此能求出S1，S2，S3，S4．【解答】解：∵S n是数列{a n}的前n项和，其中a n=8n(2n−1)2⋅(2n+1)，∴a1=81×3=83，S1=83，a2=163×5=1615，S2=83+1615=5615，a3=245×7=2435，S3=5615+2435=464105，a4=327×9=3263，S4=464105+3263=1552315．故答案为：1552315．三、解答题：本大题3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(I)因为x+2x−5<0，所以(x−5)(x+2)<0．解得−2<x<5，则集合S={x|−2<x<5}．(II)因为S⊆P，所以{a+1≤−25≤2a+15，解得{a≤−3a≥−5，所以a∈[−5, −3]．【考点】其他不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】(1)直接解分式不等式，转化为一元二次不等式求解，即可得到集合S；(2)利用S⊆P，转化为{a+1≤−25≤2a+15，即可求实数a的取值范围．【解答】解：(I)因为x+2x−5<0，所以(x−5)(x+2)<0．解得−2<x<5，则集合S={x|−2<x<5}．(II)因为S⊆P，所以{a+1≤−25≤2a+15，解得{a≤−3a≥−5，所以a∈[−5, −3]．【答案】解：（1）依题意函数f(x)过点(2, −1)，有−1=2−b2−1，解得b=3．故f(x)=x−3x−1．（2）由x−3x−1⋅x−kx−1<0，得(x−3)(x−k)(x−1)2<0．原不等式等价于{x−1≠0(x−3)(x−k)<0当k>3时，{x−1≠0(x−3)(x−k)<0⇔3<x<k.当1<k<3时，{x−1≠0(x−3)(x−k)<0⇔k<x<3.当k=3时，{x−1≠0(x−3)(x−k)<0此时不等式组无解所以，当k>3时，不等式的解集为{x|3<x<k}；当1<k<3时，不等式的解集为{x|k<x<3}；当k=3时，不等式的解集为空集．【考点】函数解析式的求解及常用方法其他不等式的解法【解析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出待定系数，从而得到函数解析式． （2）将不等式进行等价转化为一元二次不等式组，分类讨论解得情况，最后把各种情况得到的解集取并集． 【解答】解：（1）依题意函数f(x)过点(2, −1)，有−1=2−b2−1，解得b =3．故f(x)=x−3x−1．（2）由x−3x−1⋅x−k x−1<0，得(x−3)(x−k)(x−1)2<0． 原不等式等价于{x −1≠0(x −3)(x −k)<0当k >3时，{x −1≠0(x −3)(x −k)<0⇔3<x <k.当1<k <3时，{x −1≠0(x −3)(x −k)<0⇔k <x <3.当k =3时，{x −1≠0(x −3)(x −k)<0此时不等式组无解所以，当k >3时，不等式的解集为{x|3<x <k}； 当1<k <3时，不等式的解集为{x|k <x <3}； 当k =3时，不等式的解集为空集．【答案】 解：（1）设剪成的小正三角形ADE 的边长为x ， 则BD =EC =1−x ，所以梯形BDEC 的面积=12×(x +1)×√32(1−x)=√34(1−x 2)梯形BDEC 的周长=2(1−x)x +1=3−x ∵ 记T =(梯形DBCE 的周长)2梯形DBCE 的面积∴ T =√3(3−x)21−x 2，（x ∈(0, 1)）（2）求导数得：T′=√3⋅2(3−x)(3X−1)(1−x )，x ∈(0, 1)T′=0，得x =3，x =13， T′>0，13<x <3， T′<0，x <13，或x >3， ∵ x ∈(0, 1)∴ (0, 13)上递减，(13, 1)上递增所以当x =13时，T 的最小值T(13)=√3．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用函数解析式的求解及常用方法导数求函数的最值 【解析】（1）设剪成的小正三角形ADE 的边长为x ，则BD =EC =1−x ，根据图形求出梯形的面积，周长，即可求出T 的式子，（2）求导数，运用导数判断最值，求出即可． 【解答】解：（1）设剪成的小正三角形ADE 的边长为x ， 则BD =EC =1−x ，所以梯形BDEC 的面积=12×(x +1)×√32(1−x)=√34(1−x 2)梯形BDEC 的周长=2(1−x)x +1=3−x ∵ 记T =(梯形DBCE 的周长)2梯形DBCE 的面积∴ T =√3⋅(3−x)21−x 2，（x ∈(0, 1)）（2）求导数得：T′=32(3−x)(3X−1)(1−x 2)2，x ∈(0, 1)T′=0，得x =3，x =13， T′>0，13<x <3，T′<0，x <13，或x >3， ∵ x ∈(0, 1)∴ (0, 13)上递减，(13, 1)上递增 所以当x =13时，T 的最小值T(13)=√3．四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题目相应位置. 【答案】−1,1【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】由题意作出其平面区域，根据线性规划求z =2x +3y 的最小值，由三角形的面积公式求其面积． 【解答】解：作出其平面区域如下图：则当z =2x +3y 过点A(1, −1)时有最小值； z =2x +3y 的最小值是2−3=−1；此不等式组表示的平面区域的面积为2×12×1×1=1． 故答案为：−1，1． 【答案】 (1, +∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】 由f(x)=x 22−ln x ，得y′=x 2−1x，由y′>0即可求得f(x)的单调增区间．【解答】解：∵ y =f(x)=x 22−ln x 的定义域为(0, +∞)，y′=x −1x =x 2−1x，∴ 由y′>0得：x >1，或x <−1（舍去），∴ 函数y =f(x)=x 22−ln x 的单调递增区间为(1, +∞)．故答案为：(1, +∞)．【答案】 (−∞, 8) 【考点】二次函数的性质 【解析】x =0时容易得到对于a ∈R 满足原不等式成立，x ≠0时，即0<x ≤1，由原不等式得a <x +4x +3，令f(x)=x +4x +3，通过求f′(x)，根据f′(x)的符号可判断出函数在(0, 1]上是减函数，所以f(1)=8是f(x)的最小值，所以a <8． 【解答】解：①x =0时，原不等式变成0>−4，该不等式成立，此时a ∈R ； ②x ≠0时，由原不等式得：a <x +4x +3；(x +4x+3)′=1−4x2=x 2−4x 2，∵ 0<x ≤1，∴ x 2−4<0，(x +4x+3)′<0；∴ 函数x +4x +3在(0, 1]上单调递减，所以x =1时，该函数在(0, 1]上取最小值8； ∴ a <8；综上得a 的取值范围是(−∞, 8)． 故答案为：(−∞, 8)． 【答案】f(x)=−1x−x 4【考点】函数奇偶性的性质 【解析】由函数的奇偶性解函数的解析式，步骤是固定的． 【解答】解：当x ∈(0, +∞)时，−x ∈(−∞, 0)，又∵ 函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的偶函数， ∴ f(x)=f(−x)=1−x −1(−x)=−1x−x 4，故答案为：f(x)=−1x −x 4． 【答案】16√2 【考点】 函数的求值 【解析】由已知得f(−2011.5)=f(0.5)=f(4.5)=292=16√2． 【解答】解：∵ 函数f(x)={2x (x ≥4)f(x +2)(x <4)，∴ f(−2011.5)=f(0.5)=f(4.5)=292=16√2． 故答案为：16√2． 【答案】 ②③ 【考点】函数的概念及其构成要素 【解析】根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：①中，若f(x)=g x存在“稳定区间”则当0<g<1时，g a=b，g b=a，则f(x)=g x与其反函数f−1(x)=log g x，有(a, b)与(b, a)两个交点，这与指数函数与同底的对数函数图象无交点相矛盾，故假设错误，即f(x)=g x不存在“稳定区间”②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0, 1]为函数f(x)=x3的“稳定区间”；③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0, 1]为函数f(x)=cosπ2x的“稳定区间”；④中，若f(x)=ln x+1存在“稳定区间”则ln a+1=a，ln b+1=b即ln x=x−1有两个解，即函数y=ln x与函数y=x−1的图象有两个交点，这与函数y=ln x与函数y=x−1的图象有且只有一个交点相矛盾，故假设错误，即f(x)=ln x+1不存在“稳定区间”故答案：②③五、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】证明：(a+b+c)⋅(1a +1b+1c)≥3√abc3⋅3√1a⋅1b⋅1c3=9，当且仅当a=b=c>0时取等号．【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】证明：(a+b+c)⋅(1a +1b+1c)≥3√abc3⋅3√1a⋅1b⋅1c3=9，当且仅当a=b=c>0时取等号．【答案】解：（1）：（1）令m=1，n=0则f(1)=f(1)⋅f(0)又0<f(1)<1∴f(0)=1（2）函数为减函数，理由如下：设x2>x1则x2−x1>0，∵当x>0时，0<f(x)<1．∴0<f(x2−x1)<1，∴f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)⋅f(x2−x1)<f(x1)∴函数f(x)是R上的减函数所以，函数f(x)在R上单调递减．（3）令m=−1，n=−1则f(−2)=f(−1)⋅f(−1)，∴f(−2)=4，∵f(101−x )<4f(x)，∴f(x)⋅f(101−x)<4，∴f(x+101−x )<f(−2)，又函数f(x)是R上的减函数，∴x+101−x>−2，解得−4<x<1，或x>3，故原不等式的解集为(−4, 1)∪(3, +∞)．【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法【解析】（1）令m=1，n=0，得出f(1)=f(1)⋅f(0 )，再结合当x>0时，0<f(x)<1．得出f(0)=1（2）设x1>x2，由已知得出f(x1−x2+x2)=f(x1−x2)⋅f(x2)，且能得出0<f(x1−x2)<1，确定出f(x1)<f(x2)后即可判断出函数f(x)在R上单调递减．（3）由函数的单调性得出不等式，解得即可．【解答】解：（1）：（1）令m=1，n=0则f(1)=f(1)⋅f(0)又0<f(1)<1∴f(0)=1（2）函数为减函数，理由如下：设x2>x1则x2−x1>0，∵当x>0时，0<f(x)<1．∴0<f(x2−x1)<1，∴f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)⋅f(x2−x1)<f(x1)∴函数f(x)是R上的减函数所以，函数f(x)在R上单调递减．（3）令m=−1，n=−1则f(−2)=f(−1)⋅f(−1)，∴f(−2)=4，∵f(101−x)<4f(x)，∴f(x)⋅f(101−x)<4，∴f(x+101−x)<f(−2)，又函数f(x)是R上的减函数，∴x+101−x>−2，解得−4<x<1，或x>3，故原不等式的解集为(−4, 1)∪(3, +∞)．。

由上知： ，所以 ，故④正确.
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减，故②错误；
③因为 ，则当 时， ，故 时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ， ，由 解得 ，由 解得 ，
所以当 时， 的图象更“陡峭”，当 时， 的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点 在抛物线上，
所以 ，
则 ，又 ，
所以直线 方程为 ，
联立抛物线方程 得到 ，
解得 或 ，
因为点 在 轴下方，所以 ,
由焦半径公式得： ，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数 在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
选②，可得 在圆上，即 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 ，则切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则 （）