随机Lotka-Volterra竞争系统下的市场结构的演进

第３９卷第２期　

２０１３年４月　曲阜师范大学　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｕｆｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｖｏ１．３９　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．２０１３　

ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—５３３７．２０１３．２．００４　

随机Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ竞争系统下的市场结构的演进木　

付桐林　

（陇东学院数学与统计学院，７４５０００，甘肃省庆阳市）　

摘要：避开市场处于均衡态的假设和边际成本等于边际收益的条件，研究了ｎ维具有Ｍａｒｋｏｖ转换的　

Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｌｔｅｒｒａ随机竞争系统下市场结构的演进．在各种随机因素的干扰下，构成系统的各种产品的数目终将　随机的维持在各自市场份额的均衡点，随机竞争系统是随机持久的，也是依分布渐近稳定的．　

关键词：Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｌｔｅ￣ａ模型；Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动；随机有界；依分布渐近稳定；Ｍａｒｋｏｖ链；随机持久　

中图分类号：０２１１．６７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１－５３３７（２０１３）０２－００４７－０４　

１　引　言　

Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｈｅｒｒ近年来在经济研究中开始有所应用，Ｂｒａｎｄｅｒ和Ｔａｙｌｏｒ等…在一个简单的一般均衡体系下　

采用Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｌｔｅｒｒａ模型讨论了社会文明的动态过程，Ｄｅｌｆｉｎｏ和Ｓｉｍｍｏｎｓ嵋　利用Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｈｅｒｒａ系统研究了　

人口增长与传染病问题，进而分析了在外生储蓄情况下经济的增长路径．Ｓｌｏｂｏｄｙａｎ＿４　利用Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｈｅｒｒａ模　

型证明了在局部不确定的稳态下，连续时间的经济增长模型不可能存在周期性轨道．　

市场产品结构的确立，传统上是在市场处于均衡态的假设下以边际成本与边际收益相等作为厂商决策　

的依据，并以此来确定市场结构．孔东民　避开市场处于均衡态的假设和边际成本等于边际收益的条件，研　

究了Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｈｅｒｒａ系统下市场结构的演进．这些研究都是借用确定性Ｌｏｔｋａ—Ｖｏｌｔｅｒｒａ系统对经济领域的问　

题加以讨论．事实上，当多种同类的竞争性产品投放市场后，会受到各种微小的随机因素的干扰，这些随机因　

素的来到时刻也具有很强的随机性．我们用Ｍａｒｋｏｖ链来描述这种突然地强度很大的随机干扰　’　，采用具有　

具有Ｍａｒｋｏｖ转换的Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｌｔｅｒｒａ系统描述市场结构，这样更加贴近现实．　

２具有Ｍａｒｋｏｖ转换的Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ系统下的市场结构的建立　

ｎ种产品相互作用的确定性Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｈｅｒｒａ系统形如　

ｄｘ（ｔ）＝ｄｉａｇ（　（ｔ），　：（ｔ），…，　（ｔ））［ｂ＋Ａｘ（ｔ）］，　

其中　＝（　，　：，…，　）　’Ｅ　Ｒ　，ｂ＝（ｂ　，ｂ　，…，ｂ　）　∈ＲｆＩ＋’Ａ＝（ａ　）　∈尺　．事实上，上述ｎ种同类的竞争性　

产品投放市场后，会受到各种微小的随机因素的干扰　。　．而生产产品有时也会受到干扰强度很大的随机因　

素如停电、维修、事故等的影响转入停产状态，而这些随机因素的来到时刻也具有很强的随机性．我们用　

Ｍａｒｋｏｖ链来描述这种突然地强度很大的随机干扰．　

设　（ｔ）（ｔ＞０）是连续时间右连续的并在有限状态空间Ｓ＝｛１，…，　中取值的Ｍａｒｋｏｖ链．设其生成元　

为Ｆ＝（　胡）　，即　

ＰＩ　Ｇ（　＋△ｔ）：卢ｌ　（ｆ）：　｝：｛．　△　＋。（△　），Ｏｒ≠　，　

Ｌ１＋’，ａ８△ｆ＋ｏ（ａｔ），Ｏｌ＝　，　

｝收稿日期：２０１２－０９－２１　基金项目：国家自然科学基金（７１０６１０１２），陇东学院青年科技创新项目（ＸＹＺＫ１２０８）．　作者简介：付桐林，男，１９７７一，硕士，讲师；研究方向：数理金融．Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｕｔｏｎｇｌｉｎ２００８＠１６３．ｃｏｒｎ

　曲阜师范大学学报（自然科学版）　２０１３生　

其中Ａｔ＞０，　ｑＢ为由状态　到状态卢的转移率且若　≠卢，则ｙｑ８＞０，而　＝一∑ｙ　．考虑女Ｅ下带有Ｍａｒｋｏｖ　≠　转换的Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｌｔｅｒｒａ随机竞争系统：　

ｄｘ（ｔ）＝ｄｉａｇ（ｘｌ（￡），　（ｆ），…，Ｘｎ（　））［（６（　（　））一Ａ（　（　））　（　））ｄｔ＋∑（亭（　））ｄｗ（ｔ）］．　（　）　

若写成分量形式，则为　

ｄｘ　（　）＝Ｘｉ（　）“ｂｉ（　（　））一∑ａ／ｊ（　（　））　（　）］ｄｔ＋ｏｒ　（　（ｆ））　（　）），　＝１，２，…，ｎ，　（２）　

其中　（・）＝（　（・），…，　（・））　为ｎ维Ｂｒｏｗｎ运动　，设其与Ｍａｒｋｏｖ链　（ｔ）独立，仅∈Ｓ，ｂ（Ｏ１）＝（ｂ，　

（　），…，ｂ　（　））　，Ａ（　）＝（ｏ　（　）），　（Ｏ／）＝ｄｉａｇ（ｏｒ，（　），…，　（ＯＬ））分别为增长率向量，相互作尾矩阵，噪　

声强度向量．对每个　∈Ｓ和每个ｉ＝１，…，ｎ，ｂ　（　），ａ　（ｏＬ）和　（０Ｌ）都为非负常数，所以ｂ　（　（ｔ）），ａ　（　（ｔ　）　

和　（　（ｔ））都是右连续的有界阶梯函数，定义在［０，∞）上且在［０，∞）的任何有限子空问上至多有限个跳　

跃点．　

３　随机Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ竞争系统的依分布稳定性和随机持久性　

令厂＝ｍａ　ＯＬ）　＝ｍｉ　），如果　∈尺　，定义它的模为ｌ　ｌ＝（　．　）　．对任意序列｛ｃ　ｊ（１≤　≤　ｄ∈０　ａ∈０　一．　ｎ，１≤．　≤ｎ），定义　

（Ｃｉｊ）　＝ｌｍ　ａｘ　ｃ　，（Ｃｉｊ）ｊ　ｌｍ≤『≤ａｘ　ｃ　，（　ｉｊ）ｉ：ｌ　。　，（Ｃｉｊ）ｊ　ｌｍ　ｉｎ，　ｃ　・　

设每个产品内部的制约系数是严格正的，且满足如下的假设：　

（Ａ１）　同一产品的替代系数是严格正的，而不同产品中的竞争系数非负，即对任意“∈Ｓ＝｛Ｌ，…，ｍ｝和　

ｉ，　＝１，２，…，ｎ，若　≠ｉ，　

ａ　（　）＞０和ａ　（０［）≥０；　（３）　

（４２）　同一产品的替代系数是严格大于同类其它产品中的替代系数之和，且　对任意　∈　＝；１，…，ｍ，　

和１≤ｉ≤ｎ，　

ａｉｉ（　）一∑　（　）＞０．　（　）　

（Ａ３）　由于随机干扰导致产品ｉ的固有增长率必定随机变化，但总是非负的，即令ｒ　（　（ｔ））＝ｂ　（　ｔ））　

一　１　２　（　（ｆ）），ｆ≥０，１≤　≤ｎ，其中　（　）∈ｓ，假设（　）＞０．　

下面的引理１说明方程（１）以概率１存在满足初值条件的唯一的解　（ｔ）ＥＲ　，且解是随机有界和几乎　

确定连续的．意味着在各种随机因素的干扰下，构成系统的各种产品的数目终将随矶的维持在各自市场份　

额的均衡点附近．　

引理１　设（Ａ１）成立，则有　

（１）　对任意的初值ｘ（ｏ）＝　。∈尺　和　（０）＝　∈Ｓ，方程（１）存在唯一的解　（ｔ　∈　对任意ｔＩ＞０以概　

率１成立，Ｒｎ＋：＝｛（　ｌ，…，　）：　＞０，ｉ＝１，…，　｝．　

（２）　对任意Ｐ＞０，　

ｓｕ￣０Ｅ［∑　（　）］≤Ｋ＜∞，　（５）　

１　Ｔ　于是有　Ｊ　Ｅ［Ｉ　（ｔ）Ｉ　］ｄｔ＜∞．　１　Ｊ　０　（３）　方程（１）的解是随机有界的．也就是说，对任意　＞０，存在　＝　，使得对任意初值条件　∈　有　

Ｐ｛ｌ　（ｔ）Ｉ≤　｝≥１一　．　

（４）　方程（１）的解是几乎确定连续的．

　第２期　付桐林：随机Ｌｏｔｋａ．Ｖｏｈｅｒｒａ竞争系统下的市场结构的演进　４９　

（５）　方程（１）的解对于区域Ｅ。：＝｛　∈　：０＜　＜ｐ，ｉ＝１，…，ｎ｝是正向回归的，其中Ｐ是充分大的正　

数．也就是说，存在ｒ　∞，使得　（ｒ　）∈　．　

引理２设（Ａ１）和（Ａ２）成立，则对任意　中的紧集Ｋ，有　

ｌｉｍｄＬ（Ｐ（ｔ，　０，Ｏｔ，・×・），Ｐ（ｔ，Ｙ０，Ｊ８，・×・））＝０　

对　０，Ｙ０∈Ｋ和　，卢∈Ｓ一致成立．　

引理３对任意（‰，　）∈Ｒ　×．ｓ，族｛Ｐ（ｔ，　０，Ｏｔ，・×・）：ｔＩ＞０｝在空间Ｐ（　ＸＳ）关于距离ｄ￡是Ｃａｕｃｈｙ　

的．　

定理１方程（１）是依分布渐近稳定的．　

证明　由引理３，｛Ｐ（ｔ，０，１，・×・）：　≥０｝在空间Ｐ（Ｒ　×Ｓ）中关于度量ｄ　是Ｃａｕｃｈｙ的．所以存在唯一　

的７ｒ（・×・）∈ｐ（Ｒｎ×Ｓ），使得　

ｌｉｍｄＬ（Ｐ（ｔ，０，１，・×・），仃（・×－））＝０，　

而且由引理２，对任意（　。，　）∈Ｒ　×Ｓ有　

ｌｉｍｄＬ（ｐ（ｔ，Ｘ０，　，・×・），７ｒ（・×・））　

￣＜ｌｉｍ［ｄ￡（Ｐ（ｔ，０，１，・×・），７ｒ（・×・））＋ｄ￡（ｐ（ｔ，　０，　，・×・），Ｐ（ｔ，０，１，・×・））］　

＝０　（６）　

由弱收敛的定义，（６）式表明，对任意（　。，Ｏ１）∈Ｒｎ＋×Ｓ，转移概率密度族｛Ｐ（ｔ，　。，　，・×・）：ｔＩ＞０｝弱收　

敛于概率测度７ｒ（・×・）Ｅｐ（　×Ｓ），　

定理１说明在各种随机因素的干扰下，构成系统的各种产品的数目是依分布渐近稳定的．　

定理２设（Ａ１）成立，则对任意常数ｋ＞Ｏ，满足ｋ一　＜０，０＞０，则方程（１）对任意的初值　（０）＝　。∈　

Ｒｎ＋和　（０）＝　∈Ｓ的解满足ｌｉｍ　ｓｕｐＥ　≤　，这里日是常数．　１—　∞　ｌ　●ｒ　Ｉ　Ｉ　定理３定理２成立的条件下，则存在正数Ｍ＞０，使得方程（１）对任意的初值ｘ（０）＝　。∈Ｒｒｆ＋和　（０）＝　

∈Ｓ的解满足ｌｉｍｓｕｐ　ｌ　（￡）Ｉ≤　＜。。，ａ．ｓ．．　

定理２和定理３说明在各种随机因素的干扰下，构成系统的各种产品的数目必然是随机变量，但随机变　

量的变化范围是可以用正数　限制的，这也说明，随机竞争系统（１）是随机持久的．　

参考文献：　

［：］Ｂｒａｎｄｅｒａ　Ｊ，Ｔａｙｌｏｒｍ　Ｓ．Ｔｈｅ　ｓｉｍｐｌｅ　ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　ｏｆ　Ｅａｓｔｅｒ　Ｉｓｌａｎｄ：ａ　ｒｉｅａｒｄ　ｍａｈｈｕｓ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｒｅｎｅｗａｂｌｅ　ｒｅｓｏｕｒｃｅ　ｕｓｅ［Ｊ］．Ａｍｅｒｉｃａｎ　

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ｙｏｒｋ．ａｅ．ｕｋ／ｍｅｄｉａ／ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ／ｄｏｃｕｍｅｎｔｓ／ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｐａｐｅｒｓ／１９９９／９９２３．ｐｄｆ．　

［３］Ｄｅｌｆｉｎｏ　Ｄ，Ｓｉｍｍｏｎｓ　Ｐ　Ｊ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ａｎｄ　ｎｏｒｍａｔｉｖｅ　ｉｓｓｕｅｓ　ｏｆ　ｅｃｏｎｏｍｉｃ　ｇｒｏｗｔｈ　ｗｉｔｈ　ｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓ　ｄｉｓｅａｓｅ［Ｊ／ＯＬ］．［２００７－０１－０１］．ｈｔｔｐ：　／／ＷＷＷ．ｙｏｒｋ．ａｅ．ｕｋ／ｍｅｄｉａ／ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ／ｄｏｃｕｍｅｎｔｓ／ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｐａｐｅｒｓ／２０００／００４８．ｐｄｆ．　

［－４］Ｓｅｒｇｅｙ　Ｓｌｏｂｏｄｙａｎ．Ｏｎ　ｉｍｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅｓ　ｉｎ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｔｗｏ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｔｉｍｅ　ｇｒｏｕｔｈ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｓｔｕｄｉｅｓ　ｉｎ　Ｎｏｎｌｉｎ－　

ｅａｒ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ，２００１，５（１）：３３－４０．　［５］孔东民．Ｌｏｔｋａ　Ｖｏｈｅｒｒａ系统下市场结构的演进［Ｊ］．管理工程学报，２００５，１９（３）：７７—８１．　

［６］Ｅｍｂｒｏｃａｔｅｓ　Ｐ，Ｋｌｕｐｐｅｌｂｅｒｇ　Ｃ，Ｍｉｋｏｓｃｈ　Ｔ．Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｅｖｅｎｔｓ　ｆｏｒ　ｉｎｓｕｒａｎｃｅ　ａｎｄ　ｆｉｎａｎｃｅ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９９７．１５１—　２００．　［７］Ｂｉｎｇｈａｍ　Ｎ　Ｈ，Ｇｏｌｄｉｅ　Ｃ　Ｍ，Ｔｅｕｇｅｌｓ　Ｊ　Ｍ．Ｓｔｏｃｈｓｓｔｉｃ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｆｏｒ　ｉｎｓｕｒａｎｃｅ　ａｎｄ　ｆｉｎａｎｃｅ［Ｍ］．Ｊｏｈｅ　ｗｉｌｅｙ，１９９９．２０１．２２０．　８］Ｓｔｅｖｅｎｅ　Ｓｈｒｅｖｅ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｃａｌｃｕｌｕｓ　ｆｏｒ　Ｆｉｎａｎｃｅ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００８：２５１－２６９．