第8题 函数的解析式I ．题源探究·黄金母题【例1】如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f x ，试求()f x 的解析式，并画出函数()y f t =的图象． 【解析】当01t <≤时，213()tan 6022f t t t t =︒=；当12t <≤时，11()23(2)(2)tan 6022f t t t =⨯⨯---︒＝23(2)32t --+；当2t >时，1()232f t =⨯⨯＝3．综上知，223,0123()(2)3,123,2t t f t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪⎪>⎩精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第13页复习参考题B 组第2题【母题评析】本题以平面几何图形为载体，考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到对学生能力的考查． 【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化，由此也与函数有了紧密联系，也就产生了此类试题．解答此类试题通常要利用分类讨论的思想，同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标II 】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥． 求a （节选）．【解析】()f x 的定义域为()0，+∞．设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x ，()()g g x ≥1=0,0，故()g'1=0，而()()g'x a g'a x=--1,1=1，得a =1． 【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别．．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题的形式出现，中等偏上难度，往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点，首先明确哪个是自变量x ？哪个是因变量y ，它们对应于几何图形中哪些线段或角，然后若a =1，则()11-g'x =x．当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增．所以x =1是()g x 的极小值点，故()()g x g ≥1=0 综上，a =1．【例3】【2015高考新课标Ⅱ】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）DP CBOAx【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-+++，当2x π=时，22PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+，综上可知结合分类讨论的思想进行求解．222222tan 4tan ,0411(1)1(1)1,tan tan 42()22,2113(1)1(1)1,tan tan 223tan 4tan ,4x x x x x x f x x x x x x x x ππππππππ⎧++≤≤⎪⎪⎪-++++≤<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪-++++<≤⎪⎪⎪+-<≤⎪⎩由此可知函数()f x 的图象是非直线型的，排除A ，C ．又()()42f f ππ>，排除D ，故选B ．III ．理论基础·解题原理 考点一 函数解析式概念（1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．（2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 考点二 基本初等函数的解析式（1）一次函数：,(0)y kx b k =+≠； （2）反比例函数：,(0)ky k x=≠； （3）二次函数：2,(0)y ax bx c a =++≠； （4）指数函数：,(0,1)xy a a a =>≠且； （5）对数函数：log ,(0,1)a y x a a =>≠且； （7）幂函数：,()y x αα=∈R ；（8）三角函数：sin ,cos ,tan ,()2y x y x y x x k π===≠π+． Ⅳ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用．【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法（方程法）、图象法、性质法等，这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析，如已知函数模型时，常用待定系数法．【易错指导】（1）因为解析具有定义域、对应法则、值域，而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域；（2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时，确定函数的定义域是一个难点，同时也是一个易错点，因为这类题主要涉及到复合函数问题；（3）利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂，因为这类题实质上是涉及到分段函数问题．（4）求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时，除函数解析式本身要求有意义外，自变量的取值还必须符合实际意义． Ⅴ．举一反三·触类旁通 考向1 利用待定系数法求解析式【例1】已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=，则求()f x =___________．【解析】设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，则由题1c =．又()()()()2111f x f x a x b x +-=+++＋()22c ax bx c ax a b -++=++，于是由已知条件，得220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+． 【例2】【改编题】已知函数2n (1)l a x x x bx f =+++在点(1,)(1)f 处的切线方程为4120x y --=，则函数()f x =___________．【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等)，求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较，列出等式，确定待定系数． 【跟踪练习】1．【2017河南安阳一模】已知()'f x 是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数，若方程()'0f x =无解，且()0,x ∀∈+∞， ()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，设()0.52a f =， ()log 3b f π=， ()4log 3c f =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．a b c >> 【答案】D点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用，以及真数相同底数不同的对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点．有三个关键点： （1）由方程()0f x '=无解，可知函数()f x 在()0,+∞上为单调函数； （2）由()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦（常数），可知()2016log f x x -是定值； （3）对于对数函数log (1)a y x x =>，在真数相同底数不同的函数值中，当01a <<时，底数a 越小，函数值越大；当1a >时，底数a 越大，函数值越小．2．【2018山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】已知()23g x x =--， ()f x 是二次函数，且()()f x g x +为奇函数，当[]1,2x ∈-时， ()f x 最小值为1，求()f x 的解析式．【答案】()233f x x x =++或()2223f x x x =-+【解析】试题分析：令()2f x ax bx c =++，而()()()213f x g x a x bx c +=-++-为奇函数，故10,30a c -=-=，解得1,3a b ==， ()23f x x bx =++．其对称轴为2bx =-，根据对称轴和区间[)1,2-的位置关系，分成3类讨论当x 为何值时取得最小值，由此求得函数的解析式．【试题解析】设()()20f x ax bx c a =++≠ ()()()F x f x g x =+则()()222313F x ax bx c x a x bx c =++--=-++-为奇函数∴ ()()F x F x -=-对任意x 恒成立，即()()()221313a x bx c a x bx c --+-=-----∴ ()2130a x c -+-=对任意x 恒成立 1,3a c ∴== ()23f x x bx ∴=++()f x ∴的图象的对称轴为直线2bx =-当[)1,2x ∈-时， ()f x 的最小值为1∴ ()1{ 211b f -<--=或122{ 12b b f -≤-≤⎛⎫-= ⎪⎝⎭或()2{ 221bf ->= ∴ 2{ 131b b >-+=或42{ 2222b b b -≤≤-==-或4{4231b b <-++= 即3b =或22b =-或3b =-（舍）综上可知： ()233f x x x =++或()2223f x x x =-+点睛：本题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数的奇偶性与单调性．由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得,a c 的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得b 的值． 考向2 利用换元法（或配凑法）求解析式【例3】【改编题】（1）若2211()f x x xx -=+，则()f x =（ ） A ．2()2f x x =+ B ．2()2f x x =- C ．2()(1)f x x =+ D ．2()(1)f x x =- （2）已知x xf lg )12(=+，则()f x =___________．【点评】已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，可考虑令()g x t =，反解出()x h t =，将其代入[()]f g x 的表达式中，再用x 替换t 便可得到函数()f x 的表达式；（2）已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 的表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化． 【跟踪练习】1．【四川省双流中学2017-2018学年高一上学期期中考试】已知111 fx x⎛⎫=⎪+⎝⎭，则()2f的值为（）A．13B．23C．3 D．32【答案】B【解析】令12x=，则12x=，所以()1221312f==+，故选B．2．【山西省实验中学2017-2018学年高一上学期10月月考】若()11f x x+=+，则()f x的解析式为（）A．()()222,1f x x x x=-+≥ B．()()22,1f x x x x=-≥C．()()222,0f x x x x=-+≥ D．()()22,0f x x x x=-≥【答案】A考向3 利用函数性质求解析式【例4】已知)(xf为奇函数，)(xg为偶函数，且)1(log2)()(2xxgxf-=+，则函数()f x=___________，()g x=___________．【解析】∵)(xf为奇函数，)(xg为偶函数，∴)()(),()(xgxgxfxf=--=-．又)1(log2)()(2xxgxf-=+①，故)1(log2)()(2xxgxf+=-+-，即)1(log2)()(2xxgxf+=+-②．由①②得：)1,1(,11log)1(log)1(log)(222-∈+-=+--=xxxxxxf，22()log(1)log(1)g x x x=++-＝22log(1)x=-，(1,1)x∈-．【例5】函数)(xfy=是R上的奇函数，满足)3()3(xfxf-=+，当()3,0∈x时，xxf2)(=，则当()3,6--∈x时，=)(xf___________．【解析】因为)3()3(xfxf-=+，所以函数)(xf的图象关于直线3=x对称，即)6()(xfxf-=成立．又)(x f 为奇函数，所以()()(6)f x f x f x =--=-+．设()3,6--∈x ，则()60,3x +∈，则6(6)2x f x ++=，所以6()(6)2x f x f x +=-+=-，即当()3,6--∈x 时，62)(+-=x x f ．【点评】已知函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等)，可利用这些性质求解．常常涉及到两个转换过程：（1）自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将()f x -转换为()f x 、()f x m +（m 为常数）转化为()f x 等． 【跟踪练习】1．【2018江西六校第五次联考】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x =()()1,{ ,0log x x x g x x +≥<，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．2 【答案】A2．【2017河南南阳、信阳等六市第一次联考】已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：，，，即是最小正周期为的函数，令，则，当时，，，，是定义在上的偶函数，，令，则，，，，当时，函数的解析式为:．所以B 选项是正确的．考点：利用函数的性质求解析式．【思路点睛】根据将换为，再将换为，得到函数的最小正周期为，由当时，，求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式，再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式．考向4 利用方程法（消元法）求函数解析式【例6】【改编2016届湖北龙泉中学等校9月联考】定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 满足:211()2()ln xf x f x x+-=，则()f x =___________．【例7】【改编题】定义在R 上的函数()g x 及二次函数()h x 满足：2()2()9x xg x g x e e +-=+-，则()g x =___________．【解析】（1）∵2()2()9x x g x g x e e +-=+- ①，2()2()9xxg x g x e e ---+=+-，即1()2()29x x g x g x e e-+=+- ②．由①②联立解得()3x g x e =-． 【点评】消元法适用的范围是：题设条件有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则充分利用变量代换，然后联立方程消去其余部分可求得函数()f x 的表达式． 【跟踪练习】1．【2018江西樟树中学高一上学期第一次月考】若函数()f x 对于任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，则()f x 等于A ．1x +B ．1x -C ．21x +D ．33x + 【答案】A【解析】∵()f x 对任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，∴用x -代替式中的x 可得()()231f x f x x --=--，联立可解得()1f x x =+，故选A ．点睛：本题主要考查了函数解析式的求法，属基础题；常见的函数解析式方法：①待定系数法，已知函数类型（如一次函数、二次函数）；②换元法：已知复合函数()()f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；③配凑法：由已知条件()()()f g x F x =，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式；④消去法：已知()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或()f x -之间的关系，通过构造方程组得解． 2．【2017河南新乡三模】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．【答案】1315y x =-（或13150x y --=）考向5 根据图象确定解析式【例8】【2018 ）A ．()sin f x x x =+B ．x =3()()()22x x x x ππ=-- 【解析】根据已知条件可知，函数()f x 为奇函数，所以应排除D ；函数的图象过原点，所以应排除B ；图象过(,0)2π，所以排除A ；故选C ．【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：（1）根据函数图象求函数的解析式，解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点，求出具体的相关的量的值；（2）根据函数图象，同时给出了多个函数解析式，从中进行选择，解答时通常结合函数的性质，结合排除法进行解决． 【例9】【2017安徽江南十校高三3月联考】若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ )xOy2π32π2π-32π-A ．B ．C ．D ．【答案】B点睛：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解． 【跟踪练习】【2017四川成都七中6月1日高考热身考试】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数，给出下列结论： ①13216f π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()312f π=；③322f π=；④2133f π⎛= ⎝⎭其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】②③④考向6 建立解析式识别图象【例10】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为f x，则射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数() ()=在[0,]π上的图象大致为( )y f xA B C D【解析】如图所示，作MD OP ⊥，垂足为D ，当02x π≤≤时，在Rt OPM ∆中，cos cos OM OP x x ==．在Rt OMD ∆中，1sin cos sin sin 22MD OM x x x x ===；当2x ππ<≤时，在Rt OPM∆中，cos()cos OM OP x xπ=-=-，在Rt OPM∆中，sin()cos sin MD OM x x x π=-=-＝1sin 22x -．综上可知1sin 2,022()1sin 2,22x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，所以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C ．【例11】【2017福建厦门双十中学下期热身】如图，半径为2的圆O 与直线MN 切于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中与圆O 交于Q ，设(02)POQ x x π∠=≤≤，旋转扫过的弓形PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致为（ ）【点评】此类试题比较灵活，是近几年考查的热点之一．解答时从已知条件出发，根据图形结构，结合三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式，然后作出选择，有时也要根据函数的性质（奇偶性、单调性、定义域与值域），利用动态过程中涉及的界点情况作出判断． 【跟踪练习】1．【2017广西5月份考前模拟】函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()()()()2244log xx f x x f x --=--=-，所以函数()()2244log x x f x x -=-是奇函数，又定义域是{|0}x x ≠，且()11222111255244log 3,2,22248f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，应选答案A ． 点睛：本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用．解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数，进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案．2．【2018贵州遵义航天中学一模】已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若OP d =，则函数()d fθ=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D点睛：(1)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“”f ，即将函数值的大小转化自变量大小关系． 考向7 建立解析式解决实际问题【例12】【2018湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a 升水，桶2是空的，t 分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线1nty ae -=（其中n 是常数，e 是自然对数的底数）．假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等．求：（1）桶2中的水2y （升）与时间t （分钟）的函数关系式； （2）再过多少分钟，桶1中的水是8a升?【点评】在函数应用题中，建立函数的解析式常常设置在解答题的第（1）题的位置上，只有进行正确的建模，才能解答第（1）题后面的其它小题．而建立函数解析时，一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域．【例13】【2018福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0．1万元/辆．根据市场调查，月销售辆不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x 辆（30x ≤，且x 为正整数），实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价） 【答案】（1）30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数（2）该月需售出10辆汽车．【解析】试题分析：（1）根据条件分段讨论进价：当05x <≤时，为常函数， 30y =．当530x <≤时，为一次函数（2）根据得销售利润=销售价-进价，分段列方程：当05x <≤时， ()323025x -=；当530x <≤时， ()320.130.525x x ⎡⎤--+=⎣⎦，解出方程的解即得结果试题解析：解：（1）由题意， 当05x <≤时， 30y =．当530x <≤时， ()300.150.130.5y x x =--=-+． ∴30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数；当05x <≤时，()323051025-⨯=<，不符合题意，当530x <≤时，()320.130.525x x ⎡⎤--+=⎣⎦，解得： 125x =-（舍去），210x =． 答：该月需售出10辆汽车．【例14】【2018江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时． 设f (x )＝t 1＋t 2．（Ⅰ）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 【答案】（1）()90001000100f x x x=+- 定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}（2）当x ＝75时，f (x )取得最小值．()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦，根据基本不等式可得结果． 试题解析：解：（1）因为19000t x = ()2300010003100100t x x ==--所以()1290001000100f x t t x x=+=+- 定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}．（2）f (x )＝90001000100x x +-＝()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦， 因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以()9100x x-＞0，100xx-＞0，所以()9100100x xx x -+-≥2()9100100x x x x--＝6， 当且仅当()9100x x-＝100xx-，即当x ＝75时取等号．答：当x ＝75时，f (x )取得最小值．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 【跟踪练习】1．【2017湖南株洲一模】某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系()(),0{,C x A f x C B x A x A<≤=+->已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m 的煤气，则其煤气费为____元． 【答案】11．5；【解析】由题设可得4x C A ==≤，且()()542514{{1435192A A B A B B =+-=⇒+-==，故()()4,04{145,42x f x x x <≤=+->，则()()120420511.52f =+-=，应填答案11.5． 点睛：解答本题的难点在于不知道函数的解析式的对应关系，需要进行分析和推断，然后运用题设条件建立方程组从而求出函数解析式中的参数，确定函数的解析式，求出了问题320m 燃气的燃气费中而获解． 2．【2018江苏高邮一中高一上学期第一次学情调研】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图(1)；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(2)．（注：收益与投资额单位：万元） (1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】（1）()()108f x x x =≥； ()()102g x x x =≥ （2），max 3y =万元试题解析：(1)设()1f x k x =， ()g x k x =所以 ()1118f k ==， ()2112g k ==， 即()()108f x x x =≥， ())102g x x x =≥；(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元， 依题意得： ()()20y f x g x =+- 12082x x =-()020x ≤≤， 令20t x =-(025t ≤≤，则22082t t y -=+ ()21238t =--+， 所以当2t =，即16x =万元时，收益最大， max 3y =万元． 【点睛】本题（1）采用的的“待定系数法”求函数的解析式．要使用这种方法需要知道函数的类型，根据类型写出()f x 的解析式，再结合其它已知条件确定函数的系数即可．。
