整系数多项式的因式分解问题

考点02 整式与因式分解中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。

因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。

考向一、整式的加减；考向二、幂的运算考向三、整式的乘除考向四、因式分解考向一：整式的加减1.整式的概念及注意事项：【易错警示】1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（）A．﹣2，4B．﹣2，3C．﹣2π，3D．2π，32．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3y m与单项式﹣9x n y2是同类项，则m﹣n的值为（）A．﹣1B．7C．1D．113．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（）A．数字1也是单项式B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1D．3x2y2xy+2y3是四次三项式4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为．5．（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（）A．0B．1C．0或1D．不能确定2.整式的加减【易错警示】1．（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a+2a2＝3aC．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b2．（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则与其相邻的一边长为（）A．a+5b B．a+b C．4a+9b D．a+3b3．（2022秋•江都区期中）如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若BC＝2，则①④两块长方形的周长之和为（）幂的运算A ．8B ．2a +2bC ．2a +2b +4D ．164．（2022秋•沈北新区期中）化简：6x 2﹣[4x 2﹣（x 2+5）]＝ ．5．（2022秋•北碚区校级期中）若关于x 的多项式3ax +7x 3﹣bx 2+x 不含二次项和一次项，则a +b 等于（ ）A ．﹣B ．C ．3D ．﹣36．（2022秋•扬州期中）化简：（1）x 2﹣3x ﹣4x 2+5x ﹣6；（2）3（2x 2﹣xy ）﹣（x 2+xy ﹣6）．7．（2022秋•黔东南州期中）阅读材料：“如果代数式5a +3b 的值为﹣4，那么代数式2（a +b ）+4（2a +b ）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝2a +2b +8a +4b ＝10a +6b ．把式子5a +3b ＝﹣4两边同乘以2．得10a +6b ＝﹣8．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）已知a 2+a ＝0，求a 2+a +2022的值；（2）已知a ﹣b ＝﹣3．求3（a ﹣b ）﹣a +b +5的值；（3）已知a 2+2ab ＝﹣2，ab ﹣b 2＝﹣4，求2a 2+5ab ﹣b 2的值．考向二：幂的运算1．（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 6＝a 9B ．a 6•a 2＝a 12()()是正整数）且）＞且都是正整数为正整数）都是正整数）都是正整数）p a a a a a n m n m a a a a n b a ab n m a a n m a a a p p n m n m n n n mn n m n m n m ,0(1)0(1,,,0((,(,(0≠=≠=≠=÷===•--+C．（a3）2＝a5D．a4•a2+（a3）2＝2a62．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（）A．B．C．D．3．（2022秋•闵行区校级期中）已知a m＝2，a2n＝3，求a m+2n＝．4．（2022秋•永春县期中）若a m＝2，a n＝3，a p＝5，则a m+n﹣p＝．5．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a4）3+a8•a4；（2）计算：[（x+y）m+n]2；（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．6．（2022秋•浦东新区期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a•a…，记为a n．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝．（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式．（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．（4）设a n＝N，a m＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．考向三：整式的乘除➢两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；1．（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（）A．2a2•3a3＝5a6B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3C．2a3•5a2＝10a5D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a52．（2022秋•阳信县期中）下列计算中，能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣2）（2﹣x）B．（﹣1﹣3x）（1+3x）C．（a2+b）（a2﹣b）D．（3x+2）（2x﹣3）3．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1B．m＝﹣5，n＝﹣1C．m＝5，n＝1D．m＝5，n＝﹣14．（2022秋•思明区校级期中）设M＝（x﹣1）（x﹣2），N＝（2x﹣3）（x﹣2），则M与N的大小关系为（）A．MN B．M≥N C．M＝N D．M≤N5．（2022•雁塔区校级开学）如图，一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，则宽是（）A．x﹣y B．x+y C．x﹣2y D．x+2y6．（2022秋•东城区校级期中）若（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，则st＝．7．（2022秋•阳信县期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y＝﹣1．（2）利用乘法公式简算：20212﹣2020×2022．8．（2022秋•西湖区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则长方形的周长为；（2）若b＝7，c＝4，①求l1﹣l2的值；②记图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，求S2﹣S1的值．考向四：因式分解基本概念公因式多项式各项都含有的相同因式因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解一般步骤“一提”【即：提取公因式】“二套”【即：套用乘法公式】222222)())((babababababa+±=±-=-+完全平方公式：平方差公式：“三分组”【即：分组分解因式】基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上“二次三项想十字”【即：十字相乘法】()()()qxpxqpxqpx++=•+++2➢由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；➢公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；➢将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；➢乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；➢分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；1．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．22．（2022秋•张店区期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）3．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．34．（2022春•顺德区校级月考）三角形三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．形状不确定5．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．6．（2022秋•肇源县期中）因式分解：（1）15a3+10a2；（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2．7．（2022秋•巴南区校级期中）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角数”．将“三角数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和记为Q（m），所有“善数”的和记为S（m），例如：Q（562）＝62+52+65＝179，S（562）＝26+25+56＝107；（1）判断：342 （填“是”或“不是”）“三角数”，572 （填“是”或“不是”）“三角数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和．（2）若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“三角数”n满足Q（n）﹣S（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（）A．3B．a C．D．x2y2．（2022•巴中）下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（）﹣1＝﹣C．（a2）3＝a6D．a8÷a4＝a2（a≠0）3．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b24．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b25．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x6．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）27．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．128．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．9．（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝．10．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．11．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．12．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．13．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．15．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．1．（2022•徐州）下列计算正确的是（）A．a2•a6＝a8B．a8÷a4＝a2C．2a2+3a2＝6a4D．（﹣3a）2＝﹣9a2 2．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x33．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）4．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣45．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1B．a2C．a2+2a D．a2﹣a+16．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．37．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．8．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．9．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．10．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．11．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．13．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．14．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．15．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．1．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（）A．x2•x B．x+x C．x8÷x4D．（﹣x）22．（2022•雁塔区模拟）下列计算正确的是（）A．（12a4﹣3a2）÷3a2＝4a2B．（﹣3a+b）（b﹣a）＝﹣2ab﹣3a2+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（b+2a）（2a﹣b）＝﹣b2+4a23．（2022•环江县模拟）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x 的值是（）A．3米B．3.2米C．4米D．4.2米4．（2022•路南区三模）在化简3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab题中，◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．当a＝﹣2，b＝1时，3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（）A．÷B．×C．+D．﹣5．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．a2﹣4b2C．a2﹣2ab+b2D．﹣a2﹣b26．（2022•峨眉山市模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（）A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a68．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（）A．5B．6C．7D．89．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝．11．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝．12．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝．13．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为．14．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为．15．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．16．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．17．（2022•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；…按照以上规律，解决下列问题：（1）由等式a+b＝ab猜想：，并证明你的猜想；（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．18．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B 的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．。

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxm m mm 2213（2）a ab a b a ab b a ()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：a xabxacxaxax axbx c x m m mm m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n 222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a ab a b a ab ba ()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b babab aa b b a a b a b a a b a ab b a a b a a 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987987136813689875、中考点拨：例1。

因式分解322x x x ()()解：322x xx ()()322231x x xxx ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

因式分解难题举例一、巧用公式法1、分解因式：a3+b3+c3－3abc．解原式=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc=［(a+b)3+c3］－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－c(a+b)+c2]－3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)．说明公式a3+b3+c3－3ab=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc c是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式其变形为a3+b3+c3－3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3－3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．2、分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n－b n来分解．解因为x16－1=(x－1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以二、拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3－9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成－1+9．原式=x3－9x－1+9=(x3－1)－9x+9=(x－1)(x2+x+1)－9(x－1)=(x－1)(x2+x－8)．解法2 将一次项－9x拆成－x－8x．原式=x3－x－8x+8=(x3－x)+(－8x+8)=x(x+1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2+x－8)．解法3 将三次项x3拆成9x3－8x3．原式=9x3－8x3－9x+8=(9x3－9x)+(－8x3+8)=9x(x+1)(x－1)－8(x－1)(x2+x+1)=(x－1)(x2+x－8)．解法4 添加两项－x2+x2．原式=x3－9x+8=x3－x2+x2－9x+8=x2(x－1)+(x－8)(x－1)=(x－1)(x2+x－8)．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3－3；(2)(m2－1)(n2－1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2－1)2+(x－1)4；(4)a3b－ab3+a2+b2+1．练习设置1. 若a+b=3,a2b+ab2=－30,则a3+b3的值是（）（A）117 （B）133 （C）－90 （D）1432. 已知1992,1994,1996=-==cba，那么)()()(baabaccacbbc+--++等于_____________3. 把代数式2)1()2)(2(-+-+-+xyyxxyyx分解成因式的乘积，应当是。

式分解最全方法归纳水散人整理于 2015.09、因式分解的概念与原则一1、定义：把个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，叫作分解因式。

2、原则：(1)分解必须要彻底(即分解之后的因式均不能再做分解)；(2)结果最后只留下小括号；(3)结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；( )结果个因式的多项式为最简整式，可以化简的要化简；( 还) 有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；( 如)相因式的乘积写成幂的形式；( 同) 特殊要求，般在有理数范围内分解。

另有要求，在要求的范围内分解。

如一如3、因式解的般步骤一(1) 果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如(2) 果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如(3) 果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；如(4)检查各因式是否进行到每个因式的多项式都不能再分解。

一也可以用句话来概括：“ 看有无公式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解相对合适。

因二、因式分解的方1、提取公因式公因式：个多项式的多项都含有的相的因式叫做这个多项式的公因式。

公因式可以是单式，也可是多项式。

确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第项为负的，要提负号；字母取各项的相字母，而且各字母的指数取次数最低的。

同提取公因式：公因式作为个因式，原式除以公因式的商作为另个因式。

一意事项：一(1)先确定公因式，次把公因式部提净；( 一)提公因式后，商项数与原式相，与公因式相的项，其商为 1 不可掉；( 完)提取公因式负号时，多项式的各要变号。

丢带1、分解因式：–9 c+例 a 3解：原式 - c+1 )=2、分解因式：3– 1 +2 4解：原式–– )= 4 y结(口诀)：找准公式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇。

12、公式法分解因式与整式乘法是 些多 式分解成因式。

平 方 2 b 2平方 b ) 2逆的恒等变换，如 b ) b2b 2 2 b方方 项 立 和 方和方次方和 次方 差 部分公式的 推 + a b b -b )3b 33b 33b 3 3 b ) –b +b 导： b b +b ab ) 2 b 2 b b ) 2 b2b ) 3 b b )a c + 3b ²+3 ²b a a – ) [ –1 )+ 2– ) b a + ) [ b a + ) + ) a b b ) b b b ) b )2b ³ + ) …+…) b +b b b b b ) b b ) b ) b+ -b ) b b ) b ) b b )+、分解因式： - ) 6 ) + ) )8+ ) + ) ) + + 2 ) – 4 2 +146) ) +4 + ) – + 意：分解时既用2平方差 式又用2立方4差公式， 2一般4 先、分组分解法b )) ) 4 )用平方差公式，可简化步骤。

专题04 因式分解考点一：因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。

2. 因式分解的方法：①提公因式法：()cbamcmbmam++=++公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。

若多项式首项是负的，则公因式为负。

用各项除以公因式得到另一个式子。

②公式法：平方差公式：()()bababa-+=-22。

完全平方公式：()2222bababa±=+±③十字相乘法：利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。

对于一个二次三项式cbxax++2，若满足21aaa⋅=，21ccc⋅=，且bcaca=+1221，那么二次三项式cbxax++2可以分解为：()()22112cxacxacbxax++=++。

当1=a时，二次三项式是cbxx++2，此时只需21ccc⋅=，且bcc=+21，则cbxx++2可分解为：()()212cxcxcbxx++=++。

④分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。

（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）3. 因式分解的具体步骤：（1）先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。

（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。

四项及以上则考虑分组分解。

（3）检查因式分解是否分解完全。

必须分解到不能分解位置。

再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。

1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．2．（2022•永州）下列因式分解正确的是（ ）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B．3．（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝ ．【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式＝m（m+3）．故答案为：m（m+3）．4．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．5．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．故答案为：xy（x+y）．6．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．7．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．8．（2022•烟台）把x2﹣4因式分解为 ．【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故答案为：（x+2）（x﹣2）．9．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝　．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．10．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝ ．【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×6＝24．故答案为：24．11．（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝ ．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．12．（2022•济南）因式分解：a2+4a+4＝ ．【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（a+2）2，故答案为：（a+2）2．13．（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝ ．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．14．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．15．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．16．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．17．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2．故答案为：2（a+1）2．18．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝ ．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：3x2y﹣3y＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1），故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．19．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案为：a（a﹣3）2．20．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ ．【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）＝2022（x﹣1）2．故答案为：2022（x﹣1）2．21．（2022•常德）分解因式：x3﹣9xy2＝ ．【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．22．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝ ．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．23．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（ ）A．﹣12B．﹣3C．3D．12【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，∴a+2c＝2+2×（﹣7）＝2+（﹣14）＝﹣12，故选：A．24．（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．25．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 ．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10＝a2﹣（b﹣1）2+10＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．又∵a+b＝1，∴原式＝10．26．（2022•黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是　．【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），∵ab＝2，a+b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．。

专题1.3 整式乘法与因式分解章末重难点题型【苏科版】【考点1 单项式乘单项式】【方法点拨】单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式中只含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.【例1】（2019秋•金牛区校级期中）下列各式中，计算正确的是（）A．（﹣5a n+1b）•（﹣2a）＝10a n+1bB．（﹣4a2b）•（﹣a2b2）•cC．（﹣3xy）•（﹣x2z）•6xy2＝3x3y3zD．【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．【答案】解：A、（﹣5a n+1b）•（﹣2a）＝10a n+2b，此选项错误；B、（﹣4a2b）•（﹣a2b2）•c，此选项正确；C、（﹣3xy）•（﹣x2z）•6xy2＝18x4y3z，此选项错误；D、（2a n b3）（﹣ab n﹣1）＝﹣a n+1b n+2，此选项错误．故选：B．【点睛】考查了单项式乘单项式，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．【变式1-1】（2019秋•雨花区校级期末）如果一个单项式与﹣2a2b的积为﹣a3bc2，则这个单项式为（）A．ac2B．ac C．ac D．ac2【分析】已知两个因式的积与其中一个因式，求另一个因式，用除法．根据单项式的除法法则计算即可得出结果．【答案】解：（﹣a3bc2）÷（﹣2a2b）＝ac2．故选：A．【点睛】本题考查了单项式的除法法则．单项式与单项式相除，把他们的系数分别相除，相同字母的幂分别相除，对于只在被除式里出现的字母，连同他的指数不变，作为商的一个因式．【变式1-2】（2019春•城关区校级期中）化简的结果是（）A．B．2（x﹣y）7C．（y﹣x）7D．4（y﹣x）7【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【答案】解：原式＝16（x﹣y）4•（﹣）3（y﹣x）3＝﹣16（x﹣y）4•（）（x﹣y）3＝2（x﹣y）7，故选：B．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【变式1-3】（2019秋•丛台区校级期中）若（2xy2）3•（x m y n）2＝x7y8，则（）A．m＝4，n＝2B．m＝3，n＝3C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1【分析】直接利用积的乘方运算法则进而得出m，n的值．【答案】解：∵（2xy2）3•（x m y n）2＝x7y8，∴8x3y6•x2m y2n＝x7y8，则x2m+3y2n+6＝x7y8，∴2m+3＝7，2n+6＝8，解得：m＝2，n＝1，故选：C．【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．【考点2 单项式乘多项式】【方法点拨】就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所有的项相加，利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：（1）多项式每一项都包括前面的符号,运用法则计算时,一定要强调积的符号．（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘,不能漏乘多项式中的任何一项．因此,单项式与多项式相乘的结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同．【例2】（2019秋•安居区期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内上应填写（）A．3xy B．﹣3xy C．﹣1D．1【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【答案】解：∵左边＝﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+3xy．右边＝﹣12xy2+6x2y+□，∴□内上应填写3xy．故选：A．【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．【变式2-1】（2019春•雁塔区校级期中）已知7x5y3与一个多项式之积是28x7y3+98x6y5﹣21x5y5，则这个多项式是（）A．4x2﹣3y2B．4x2y﹣3xy2C．4x2﹣3y2+14xy2D．4x2﹣3y2+7xy3【分析】根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案．【答案】解：由7x5y3与一个多项式之积是28x7y3+98x6y5﹣21x5y5，得（28x7y3+98x6y5﹣21x5y5）÷7x5y3＝4x2+14xy2﹣3y2，故选：C．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，利用了整式的除法：用多项式的每一项除以单项式，把所得商相加．【变式2-2】（2019秋•秀屿区校级期中）要使（x2+ax+5）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a应等于（）A．1B．﹣1C．D．0【分析】先展开，再根据题意得出x4项的系数为0即可．【答案】解：（x2+ax+5）（﹣6x3）＝﹣6x5﹣6ax4﹣30x3，∵（x2+ax+5）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，∴﹣6a＝0，∴a＝0，故选：D．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键．【变式2-3】（2019春•凤翔县期中）某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（）A．4x2﹣x+1B．x2﹣x+1C．﹣12x4+3x3﹣3x2D．无法确定【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案．【答案】解：x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1，﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2，故选：C．【点睛】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【考点3 多项式乘多项式】【方法点拨】多项式乘多项式法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

因式分解【知识梳理】6.1因式分解一般地，把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。

因式分解和整式乘法具有互逆的关系。

6.2提取公因式法一般地，一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。

这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

应提取的多项式各项的公因式应是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。

提取公因式法的一般步骤是：1.确定应提取的公因式；2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；3.把多项式写成这两个因式的积得形式。

一般地，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。

一般地，添括号的法则如下:括号前面是“+”，括到括号里得各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。

6.3用乘法公式分解因式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。

【方法介绍】多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2；(3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是A B C ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则A B C ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

《整式的乘法及因式分解》单元总结与归纳【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21x x +-＝0，求3223x x ++的值．【答案与解析】解：依题意得：21x x +=，∴3223x x ++，＝3223x x x +++，＝22()3x x x x +++，＝23x x ++，＝4；类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值． 【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--， ＝322359x x x x -+--，＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x y x x y x y -=-=+-， 当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，故密码为103010或101030或301010．4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++；（2）222xy x y --- （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+．【答案与解析】 解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x yx y ---=-++=-+ （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+＝()()24222x xy y x y -+=- 5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x x x x +++-．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++ ②()()271234y y y y -+=--。

公式及办法大全待定系数法(因式分化)待定系数法是数学中的一种重要的解题办法,应用很普遍,这里介绍它在因式分化中的应用．在因式分化时,一些多项式经由剖析,可以断定它能分化成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未肯定,这时可以用一些字母来暗示待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积,依据多项式恒等的性质,双方对应项系数应当相等,或取多项式华夏有字母的几个特别值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分化的办法叫作待定系数法．经常应用的因式分化公式：例1 分化因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．剖析因为(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分化因式,那么它的两个一次项必定是x+2y+m和x+y+n的情势,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比较双方对应项的系数,则有解之得m=3,n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．解释本题也可用双十字相乘法,请同窗们本身解一下．例2 分化因式：x4-2x3-27x2-44x+7．剖析本题所给的是一元整系数多项式,依据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经磨练,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式．假如原式能分化,只能分化为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的情势．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先斟酌b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．解释因为因式分化的独一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以斟酌．本题假如b=1,d=7代入方程组后,无法肯定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式,因而无法应用求根法分化因式．但应用待定系数法,使我们找到了二次因式．由此可见,待定系数法在因式分化中也有效武之地．求根法(因式分化)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0;f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．依据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的症结是求多项式f(x)的根．对于随意率性多项式f(x),请求出它的根是没有一般办法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经经常应用下面的定理来剖断它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们依据上述定理,用求多项式的根来肯定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分化．例2 分化因式：x3-4x2+6x-4．剖析这是一个整系数一元多项式,原式如有整数根,必是-4的约数,逐个磨练-4的约数：±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以依据定理1,原式必有因式x-2．解法1 用分组分化法,使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．解释在上述解法中,特别要留意的是多项式的有理根必定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不必定是多项式的根．是以,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分化因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．剖析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,为：所以,原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)解释若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,如许可以简化分化进程．总之,对一元高次多项式f(x),假如能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分化为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,如许,我们就可以持续对g(x)进行分化了．双十字相乘法(因式分化)分化二次三项式时,我们经常应用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分化因式．例如,分化因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂分列,并把y当作常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分化二次三项式时,我们经常应用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分化因式．例如,分化因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂分列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分化为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再应用十字相乘法对关于x的二次三项式分化所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分化的进程,实行了两次十字相乘法．假如把这两个步调中的十字相乘图归并在一路,可得到下图：它暗示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分化的步调是：(1)用十字相乘法分化ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分化成两个因式填在第三列上,请求第二.第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一.第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分化因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2)x2-y2+5x+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2;(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数算作0来分化．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．解释 (4)中有三个字母,解法仍与前面的相似．笔算开平方对于一个数的开方,可以不必盘算机,也不必查表,直接笔算出来,下面经由过程一个例子来解释若何笔算开平方,对于其它数只需模拟即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数,从小数点地位向阁下每隔两位用逗号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超出第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<3,而(1+1)2=4>3.第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,构成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商,使(20×初商+试商)×试商不超出第一余数,而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步,把第一余数减去(20×初商+试商)×试商,并移下第三段数字,构成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法持续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告停止.若余数永久不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步,定小数点地位,平方根小数点地位应与被开方数的小数点地位对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数(n为大于1的天然数).作为代数式,指数实数规模内,负数不克不及开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值雷同,符号相反.【算术根】正数零.【基赋性质】由方根的界说,有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积;反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根,即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子.分母同次方根相除,即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都雷同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以归并.进位制的基与数字任一正数一般地,任一正数a可表为正整数当作进位制的基,于是就得到q进数暗示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值,a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分,记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分,记作{a(q)}.经常应用进位制,除10进制外,还有2进制.8进制.16进制等,其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各类进位制的互相转换1 q→10转换实用平日的10进数四则运算规矩2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步调是：(1) 用q去除[a(10)],得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商调换[a(10)]的地位反复(1)和(2)两步,直到商等于零为止.对于分数部分其步调是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分调换{a(10)}的地位,反复(1)和(2)两步,直到乘积变成整数为止,或直到所须要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换平日情形下其步调是：a(p)→a(10)→a(q).假如p,q是统一数s的不合次幂,其步调是：a(p)→a(s)→a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,因为8=23,16=24,所以s=2,其步调是：起首把8进数的每个数字依据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所稀有字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴致：正多边形作图所谓初等几何作图问题,是指应用无刻度的直尺和圆规来作图.若应用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,不然称为作图不成能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形.正六边形.正八边形.正十边形等.而另一些就不克不及作出,例如正七边形.正九边形.正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.若何断定哪些作图可能,哪些作图不成能呢？直到百余年前,用代数的办法完整地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分须要前提是,这个作图问题中必须求出的未知量可以或许由若干已知量经由有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来很多半学家消耗了很多的精神,妄图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严厉证清楚明了这三个问题不克不及用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分亲密．很多代数式是先化简再求值,特别是有附加前提的代数式求值问题,往往须要应用乘法公式.绝对值与算术根的性质.分式的基赋性质.通分.求值中的办法技能主如果代数式恒等变形的技能.技能和办法．下面联合例题一一介绍．1．应用因式分化办法求值因式分化是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采取．剖析 x的值是经由过程一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形,看一看可否应用已知前提．解已知前提可变形为3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．解释在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能防止解方程(或方程组),而要将所请求值的代数式恰当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答．例2 已知a,b,c为实数,且知足下式：a2+b2+c2=1,①求a+b+c的值．解将②式因式分化变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0,则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0,1,-1．解释本题也可以用如下办法对②式变形：即前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的情势．2．应用乘法公式求值例3 已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值．解因为x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,所以求x2+6xy+y2的值．剖析将x,y的值直接代入盘算较繁,不雅察发明,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很轻易盘算出x+y与xy的值,由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值假如代数式字母较多,式子较繁,为了使求值轻便,有时可增设一些参数(也叫帮助未知数),以便沟通数目关系,这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子,用别的的一个字母来调换,这叫换元法．剖析本题的已知前提是以连比情势消失,可引入参数k,用它暗示连比的比值,以便把它们朋分成几个等式．x＝(a-b)k,y＝(b-c)k,z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1,①由②有把①双方平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,所以u2+v2+w2=1,即双方平方有所以4．应用非负数的性质求值若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这共性质在代数式求值中经常被应用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4,求y x的值．剖析与解x,y的值均未知,而标题却只给了一个方程,似乎无法求值,但细心发掘题中的隐含前提可知,可以应用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0,即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x,y知足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0, 个中m,n暗示非零已知数,求x,y的值．剖析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经由配方之后,看是否能化成非负数和为零的情势．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．应用分式.根式的性质求值分式与根式的化简求值问题,内容相当丰硕,是以设有专门讲座介绍,这里只分离举一个例子略做解释．例10 已知xyzt=1,求下面代数式的值：剖析直接通分是蠢笨的解法,可以应用前提将某些项的情势变一变．解依据分式的基赋性质,分子.分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变．应用已知前提,可将前三个分式的分母变成与第四个雷同．同理剖析盘算时应留意不雅察式子的特色,若先分母有理化,盘算反而庞杂．因为如许一来,原式的对称性就被损坏了．这里所言的对称性是分应用这种对称性,或称之为整洁性,来简化我们的盘算．同样(但请留意算术根！)将①,②代入原式有演习六2．已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值．。

关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【标题】关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【引言】在代数学中，多项式函数是一种极其重要的数学对象。

而多项式函数的有理根（或称为有理零点）则是代数方程的根的一种特殊情况，值得我们深入研究和探索。

本文将围绕着整系数多项式的有理根展开论述，介绍其中几个重要定理及其求解方法，以期帮助读者更加全面、深刻地理解这一主题。

【正文】1. 整系数多项式及有理根的基本概念整系数多项式指的是系数全为整数的多项式。

对于一个整系数多项式p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_n \neq 0，整数根（或称整数零点）是指满足 p(x) = 0 的整数解。

而有理根则是指满足 p(x) = 0 的有理数解，可以表示为 p(x) = (x -\frac{p}{q})q_nq^{n-1}...q_1 = 0，其中 p 和 q 都是整数，且 q \neq 0。

2. 整系数多项式有理根的判别式对于整系数多项式 p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x +a_0，假设存在有理根 x = \frac{p}{q}，其中 p 和 q 互质。

那么根据有理根定理，p 必须是 a_0 的因子，而 q 必须是 a_n 的因子。

基于这个结论，我们可以提出整系数多项式有理根的判别式：设整系数多项式 p(x) 的首项系数为 a_n，常数项为 a_0，其所有有理根为\frac{p_i}{q_i} (i = 1,2,...,m)。

那么有理根的判别式可以表示为如下形式：- 对于 p(x) 的每一个有理根 \frac{p_i}{q_i}，其 p_i 为 a_0 的因子，q_i 为 a_n 的因子；- 对于 p(x) 的每一个整数根 x_i，其必为 a_0 的因子。

3. 整系数多项式有理根的求解方法接下来，我们将介绍一些求解整系数多项式有理根的方法，以帮助读者解决类似的问题。

整式与因式分解—知识讲解（基础）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）公式()=m n mn a a的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （4）公式()=⋅n n n ab a b 的推广：()=⋅⋅n nn n abc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3x m+5y2与x3y n的和是单项式，则n m=．【答案】1 4【解析】由3x m+5y2与x3y n的和是单项式得3x m+5y2与x3y n是同类项，∴532mn+=⎧⎨=⎩解得22mn=-⎧⎨=⎩， n m=2-2=14【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是( )A、-3B、-1C、D、3【答案】由题意单项式是同类项，所以，解得，，应选C.2．下列各式中正确的是( )A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8【答案】A；【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A. 【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A． B． C． D．【答案】A.2-3=18；42=；C.235a a a=正确；D.325a a a+=. 故选C.【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6)⋅=-22212xxA ．无B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b 看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c 2]=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a ，将符号相反的项，看成公式中的b ，原式=[2+(2a 2-3b 2)][2-(2a 2-3b 2)]=4-(2a 2-3b 2)2=4-4a 4+12a 2b 2-9b 4. 【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三：【变式】如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a ±3)2=a 2±6a+9. m=±6.类型二、因式分解4．（2015春•兴化市校级期末）因式分解（1）9x 2﹣81（2）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（3）3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）（4）6mn 2﹣9m 2n ﹣n 3．【思路点拨】（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【答案与解析】解：（1）原式=9（x 2﹣9）=9（x+3）（x ﹣3）；（2）原式=（x 2+y 2+2xy ）（x 2+y 2﹣2xy ）=（x+y ）2（x ﹣y ）2；（3）原式=3（a ﹣b ）（x+2y ）；（4）原式=﹣n （9m 2+n 2﹣6mn ）=﹣n （3m ﹣n ）2．【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例3（1）-（2）】【变式】（2015春•陕西校级期末）分解因式：（1）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2（2）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2．【答案】解：（1）原式=[（2x+y ）+（x+2y ）][（2x+y ）﹣（x+2y ）]=3（x+y ）（x ﹣y ）；（2）原式=2a （a 2﹣4ab+4b 2）=2a （a ﹣2b ）2．5．若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++- -6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m =1，由（2）可得：m =-1.故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：6752x x --=_______________.【答案】()()67521352x x x x --=+-类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a、b、c 是△ABC的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a2+2b2+c2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b2写成b2+b2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0(a-b) 2+(b-c) 2=0即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．。

因式分解一、因式分解的概念：因式分解(分解因式）：把一个多项式化为几个整式（ )的形式。

二、因式分解的方法：1、提公因式法：（1）公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式。

（3)注意：①提取完公因式后,看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项；②提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底"；③如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

2、公式法：运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:①平方差公式: a2－b2＝②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2＝3、十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=特点：(1）二次项系数是1；（2)常数项是两个数的乘积；(3）一次项系数是常数项的两因数的和。

一、按知识点：题型一： 概念的理解：例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是？请说出理由.（1）、()ay ax y x a +=+ （2)、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、222)1(12xx x x +=++ (5）、a a a a ••=223题型二: 提公因式法:例2、（1)1+++b a ab （2）、m m m 2616423-+-（3）)3(2)3(a a m -+- (4）32)(2)(6b a a b a ---题型三： 完全平方公式：例4、（1）49142+-a （2)412---m m（3)22)()(2c b c b a a ++++ （4）22363y xy x -+-题型四： 平方差公式：例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）①22b a -- ②2242b a - ③422--y x ④1922+-b a ⑤22)()(x y y x -+- ⑥14-x题型五:十字相乘法：（4）36152+-a a (5）542-+x x (6)22-+x x二、按解题技巧:技巧一 :符号变换例：(m+n ）(x-y)+(m-n)(y —x ） 分解因式:-a 2-2ab-b 2技巧二 ：系数变换例：分解因式 4x 2—12xy+9y 2分解因式221439xy y x ++技巧三 ：指数变换例：分解因式x 4—y 4 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4技巧四： 展开变换例：a （a+2）+b(b+2)+2ab 分解因式x(x-1)-y(y-1)技巧五 ：添项变换技巧六 :分组分解法（1)分组后能直接提公因式：例:分解因式：bn bm an am +++ 分解因式bx by ay ax -+-5102(2)分组后能直接运用公式：例：分解因式:ay ax y x ++-22 分解因式：2222c b ab a -+-因式分解在计算中的应用：计算212122+-++-++-+656543432222…+201020092010200920092008200920082222+-++-应用扩展：因式分解在解方程与等式变换中的应用:解方程0)2753)(3555()2653)(3555(=++-++x x x x因式分解题型总结：题型一：求未知数1. 若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____.2.若23(2)(5)x x a x x ++=-+则a =_____。

整系数的概念整系数是一个数学术语，用来描述多项式中各项系数都是整数的特性。

在代数学中，我们经常使用多项式来表示一些数学关系和模型，而整系数则是限定了多项式的系数只能是整数。

下面我将详细介绍整系数的概念和相关性质。

首先，我们先来了解一下多项式的概念。

多项式是由系数和幂次指数构成的代数表达式。

例如，f(x) = 3x^2 + 2x - 1就是一个多项式，其中3、2和-1是多项式的系数，x^2、x和1是多项式的幂次指数。

对于一个多项式来说，系数的选择可以是任意实数或复数。

然而，当我们考虑整数的情况时，就出现了整系数的概念。

整系数则是指多项式中的系数只能是整数。

比如，f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 3就是一个整系数的多项式，因为其中的系数2、-5、4和-3都是整数。

整系数的概念在代数学中非常重要，它具有以下几个方面的意义和应用。

首先，整系数使得多项式的运算更加简单。

由于整系数只允许整数，我们在进行系数之间的加减乘除运算时不需要考虑小数或分数的问题。

这样一来，计算过程会更加整齐、方便和简洁。

其次，整系数能够简化多项式的变量代换和因式分解。

由于整数具有良好的整除的性质，在进行多项式的变量代换和因式分解时，整系数可以带来很多方便。

通过整系数，我们能够更好地理解多项式之间的关系，进行更加深入和系统的研究。

此外，整系数还与多项式的性质和根的问题有关。

在多项式的性质研究中，整系数可以帮助我们推导多项式的对称性、奇偶性和最小整数性等重要结果。

在多项式的根的问题中，整系数对于我们研究多项式在整数、有理数、无理数和复数等不同数域上的根的性质都有很大的影响。

总之，整系数是一个十分重要的数学概念。

整系数的多项式在数学理论研究、数值计算和实际应用等方面都起着重要的作用。

通过对整系数的多项式进行研究，我们可以更好地理解多项式及其相关性质，为解决数学和实际问题提供更加合理和便捷的方法。

因式分化3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3＝3ab^2 c(a^2-2ac+3c^2)之羊若含玉创作3.因式分化xy＋6－2x－3y＝(x-3)(y-2)4.因式分化x2(x－y)＋y2(y－x)＝(x+y)(x-y)^25.因式分化2x2－(a－2b)x－ab＝(2x-a)(x+b)6.因式分化a4－9a2b2＝a^2(a+3b)(a-3b)7.若已知x3＋3x2－4含有x－1的因式，试分化x3＋3x2－4＝(x-1)(x+2)^28.因式分化ab(x2－y2)＋xy(a2－b2)＝(ay+bx)(ax-by)9.因式分化(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a)＝2y(a-b-c)10.因式分化a2－a－b2－b＝(a+b)(a-b-1)11.因式分化(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2＝[3a-b-2(a+3b)]^2=(a-7b)^212.因式分化(a＋3)2－6(a＋3)＝(a+3)(a-3)13.因式分化(x＋1)2(x＋2)－(x＋1)(x＋2)2＝-(x+1)(x+2)abc＋ab－4a＝a(bc+b-4)(2)16x2－81＝(4x+9)(4x-9)(3)9x2－30x＋25＝(3x-5)^2(4)x2－7x－30＝(x-10)(x+3)35.因式分化x2－25＝(x+5)(x-5)36.因式分化x2－20x＋100＝(x-10)^237.因式分化x2＋4x＋3＝(x+1)(x+3)38.因式分化4x2－12x＋5＝(2x-1)(2x-5)39.因式分化下列各式：(1)3ax2－6ax＝3ax(x-2)(2)x(x＋2)－x＝x(x+1)(3)x2－4x－ax＋4a＝(x-4)(x-a)(4)25x2－49＝(5x-9)(5x+9)(5)36x2－60x＋25＝(6x-5)^2(6)4x2＋12x＋9＝(2x+3)^2(7)x2－9x＋18＝(x-3)(x-6)(8)2x2－5x－3＝(x-3)(2x+1)(9)12x2－50x＋8＝2(6x-1)(x-4)40.因式分化(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝(x+2)(2x-1)41.因式分化2ax2－3x＋2ax－3＝ (x+1)(2ax-3)42.因式分化9x2－66x＋121＝(3x-11)^243.因式分化8－2x2＝2(2+x)(2-x)44.因式分化x2－x＋14 ＝整数内无法分化45.因式分化9x2－30x＋25＝(3x-5)^246.因式分化－20x2＋9x＋20＝(-4x+5)(5x+4)47.因式分化12x2－29x＋15＝(4x-3)(3x-5)48.因式分化36x2＋39x＋9＝3(3x+1)(4x+3)49.因式分化21x2－31x－22＝(21x+11)(x-2)50.因式分化9x4－35x2－4＝(9x^2+1)(x+2)(x-2)51.因式分化(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)＝2(x-1)(2x+1)52.因式分化2ax2－3x＋2ax－3＝(x+1)(2ax-3)53.因式分化x(y＋2)－x－y－1＝(x-1)(y+1)54.因式分化(x2－3x)＋(x－3)2＝(x-3)(2x-3)55.因式分化9x2－66x＋121＝(3x-11)^256.因式分化8－2x2＝2(2-x)(2+x)57.因式分化x4－1＝(x-1)(x+1)(x^2+1)58.因式分化x2＋4x－xy－2y＋4＝(x+2)(x-y+2)59.因式分化4x2－12x＋5＝(2x-1)(2x-5)60.因式分化21x2－31x－22＝(21x+11)(x-2)61.因式分化4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝(2x+y-3)(2x+y+1)62.因式分化9x5－35x3－4x＝x(9x^2+1)(x+2)(x-2)63.因式分化下列各式：(1)3x2－6x＝3x(x-2)(2)49x2－25＝(7x+5)(7x-5)(3)6x2－13x＋5＝(2x-1)(3x-5)(4)x2＋2－3x＝(x-1)(x-2)(5)12x2－23x－24＝(3x-8)(4x+3)(6)(x＋6)(x－6)－(x－6)＝(x-6)(x+5)(7)3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3)＝2(x-6)(x+2)(8)9x2＋42x＋49＝(3x+7)^2 .1．若(2x)n−81 = (4x2+9)(2x+3)(2x−3)，那么n的值是( B )A．2B． 4C．6D．82．若9x2−12xy+m是两数和的平方法，那么m的值是( B )A．2y2B．4y 2C．±4y2D．±16y23．把多项式a4− 2a2b2+b4因式分化的成果为( D )A．a2(a2−2b2)+b4 B．(a2−b2)2C．(a−b)4 D．(a+b)2(a−b)24．把(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2分化因式为( C )A．( 3a−b)2 B．(3b+a)2C．(3b−a)2 D．( 3a+b)26．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M 与N的大小关系为(B )A．M>N B．M≥NC．M≤ND．不克不及确定7．对于任何整数m，多项式( 4m+5)2−9都能( A ) A．被8整除B．被m整除C．被(m−1)整除 D．被(2n−1)整除9．下列变形中，是正确的因式分化的是(D )A．0.09m2− n2 = ( 0.03m+ n )( 0.03m−n)B．x2−10 = x2−9−1 = (x+3)(x−3)−1C．x4−x2 = (x2+x)(x2−x)D．(x+a)2−(x−a)2 = 4ax10．多项式(x+y−z)(x−y+z)−(y+z−x)(z−x−y)的公因式是( A )A．x+y−z B．x−y+z C．y+z−x D．不存在11．已知x为任意有理数，则多项式x−1−x2的值( ) A．一定为负数B．不成能为正数C．一定为正数D．可能为正数或负数或零二、解答题：分化因式：(1)(ab+b)2−(a+b)2(2)(a2−x2)2−4ax(x−a)2(3)7xn+1−14xn+7xn−1(n为不小于1的整数)答案：一、选择题：1．B说明：右边进行整式乘法后得16x4−81 = (2x)4−81，所以n应为4，答案为B．2．B说明：因为9x2−12xy+m是两数和的平方法，所以可设9x2−12xy+m = (ax+by)2，则有9x2−12xy+m = a2x2+2abxy+b2y2，即a2 = 9，2ab = −12，b2y2 = m；得到a = 3，b = −2；或a = −3，b = 2；此时b2 = 4，因此，m = b2y2 = 4y2，答案为B．3．D说明：先运用完全平方公式，a4− 2a2b2+b4 =(a2−b2)2，再运用两数和的平方公式，两数分离是a2、−b2，则有(a2−b2)2 = (a+b)2(a−b)2，在这里，注意因式分化要分化到不克不及分化为止；答案为D．4．C说明：(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2 = (a+b)2−2(a+b)[2(a−b)]+[2(a−b)]2 = [a+b−2(a−b)]2 = (3b−a)2；所以答案为C．6．B说明：因为M−N = x2+y2−2xy = (x−y)2≥0，所以M≥N．7．A说明：( 4m+5)2−9 = ( 4m+5+3)( 4m+5−3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．9．D说明：选项A，，则0.09m2− n2 = ( 0.3m+n)( 0.3m−n)，所以A错；选项B的右边不是乘积的形式；选项C右边(x2+x)(x2−x)可持续分化为x2(x+1)(x−1)；所以答案为D．10．A说明：本题的症结是符号的变更：z−x−y = −(x+y−z)，而x−y+z≠y+z−x，同时x−y+z≠−(y+z−x)，所以公因式为x+y−z．11．B说明：x−1−x2 = −(1−x+x2) = −(1−x)2≤0，即多项式x−1−x2的值为非正数，正确答案应该是B．二、解答题：(1) 答案：a(b−1)(ab+2b+a)说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) =(ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a)．(2) 答案：(x−a)4说明：(a2−x2)2−4ax(x−a)2= [(a+x)(a−x)]2−4ax(x−a)2= (a+x)2(a−x)2−4ax(x−a)2= (x−a)2[(a+x)2−4ax]= (x−a)2(a2+2ax+x2−4ax)= (x−a)2(x−a)2 = (x−a)4．(3) 答案：7xn−1(x−1)2说明：原式= 7xn−1 •x2−7xn−1 •2x+7xn−1 = 7xn−1(x2−2x+1) = 7xn−1(x−1)2．因式分化之十字相乘法专项演习题(1)a2－7a+6； (2)8x2+6x－35；(3)18x2－21x+5； (4) 20－9y－20y2；(5)2x2+3x+1； (6)2y2+y－6；(7)6x2－13x+6； (8)3a2－7a－6；(9)6x2－11x+3； (10)4m2+8m+3；(11)10x2－21x+2； (12)8m2－22m+15；(13)4n2+4n－15； (14)6a2+a－35；(15)5x2－8x－13； (16)4x2+15x+9；(17)15x2+x－2； (18)6y2+19y+10；(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2； (20)7(x－1)2+4(x－1)－20；(1)(a-6)(a-1)，(2)(2x+5)(4x-7)(3)(3x-1)(6x-5)，(4)-(4y-5)(5y+4)(5)(x+1)(2x+1)，(6)(y+2)(2y-3)(7)(2x-3)(3x-2)，(8)(a-3)(3a+2)(9)(2x-3)(3x-1)，(10)(2m+1)(2m+3)(11)(x-2)(10x-1)，(12)(2m-3)(4m-5)(13)(2n+5)(2n-3)，(14)(2a+5)(3a-7)(15)(x+1)(5x-13)，(16)(x+3)(4x+3)(17)(3x-1)(5x=2)，(18)(2y+5)(3y+2)(19)(3a-b)(5b-a)，(20)(x+1)(7x-17)例1 分化因式思路1 因为所以设原式的分化式是然后展开，应用多项式的恒等，求出m, n,的值.解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立.∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值.解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分离代入恒等式磨练，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入过剩的方程逐一磨练.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不克不及分化成所设形成的因式.例2 分化因式思路本题是关于x的四次多项式，可斟酌用待定系数法将其分化为两个二次式之积.解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立.∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式.思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后应用已知条件求出各项的系数.可斟酌应用恒待式的性质.解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分离代入，得解得故所求的二次三项为思路2 依据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值.解法2 由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为把代入上式，得解得故所求的二次三项式为即说明要注意应用已知条件，巧设二次三项式的表达式.例4 已知多项式的系数都是整数.若是奇数，证明这个多项式不克不及分化为两个整系数多项式的乘积.思路先设这个多项式能分化为两个整系数多项式的乘积，然后应用已知条件及其他知识推出这种分化是不成能的.证明：设（m,n,r都是整数）.比较系数，得因为是奇数，则与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数.在①式中令，得②由是奇数，得是奇数.而m为奇数，故是偶数，所以是偶数.这样②的左边是奇数，右边是偶数.这是不成能的.因此，题中的多项式不克不及分化为两个整系数多项式的乘积.说明：所要证的命题涉及到“不克不及”时，经常斟酌用反证法来证明.例5 已知能被整除，求证：思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系.证明：设展开，比较系数，得由①、②，得，代入③、④得：，∴例6若a是自然数，且的值是一个质数，求这个质数.思路：因为质数只能分化为1和它自己，故可用待定系数法将多项式分化因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值.进而解决问题.解：由待定系数法可解得由于a是自然数，且是一个质数，∴解得当时，不是质数.当时，是质数.∴=11 .1、分化因式_______.2、若多项式能被整除，则n=_______.2、-4.提示：设原式=比较系数，得由①、②解得代入③得3、二次三项式当时其值为-3，当时其值为2，当时其值为5 ，这个二次三项式是_______.4、m, n是什么数时，多项式能被整除？5、多项式能分化为两个一次因式的积，则k=_____.6、若多项式能被整除，则_______.7、若多项式当 2 时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0.8、求证：不克不及分化为两个一次因式的积.参考答案或提示：1.提示：设原式比较双方系数，得由①、②解得将代入③式成立.∴原式3、提示：设二次三项式为把已知条件代入，得解得∴所求二次三项式为4.设比较系数，得解得∴当m=-11，n=4已知多项式能被整除.提示：设原式.比较系数，得解得提示：设原式比较系数，得解得∴7.3.提示：设原式比较系数，得解得c=3.∴当x=3时，多项式的值也是0.且展开后比较系数，得由④、⑤得代入③，再由①、③得将上述入②得.而这与③抵触，即方程组无解.故命题得证.。

数学中的多项式与因式分解一、多项式的定义与性质在数学中，多项式是由一系列按特定规则排列的项构成的代数表达式。

每个项由一个常量系数与一个变量的非负整数次幂相乘而得，例如3x^2、5y^3等。

多项式的系数可以是任意实数或复数，而变量可以是任意字母，如x、y、z等。

多项式的性质包括有次数、 leading term、coefficients、degree等。

多项式的次数即最高次幂的指数，leading term为次数最高的项，coefficients指的是项的系数，而degree是指多项式中所有项次数的最大值。

二、多项式的运算多项式之间的运算主要包括加法、减法和乘法。

对于多项式的加法和减法而言，只需要将相同次数的项的系数相加或相减即可。

而对于乘法而言，则需要按照分配律，将每一个项与另一个多项式的所有项相乘，并将同次幂的项合并，最终得到乘积的多项式。

三、因式分解的定义与原则在数学中，因式分解指的是将一个多项式拆解为两个或多个乘积形式的表达式。

通过因式分解，可以将复杂的表达式简化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。

因式分解的原则主要包括以下几点：1. 提取公因式：如果多项式的几个项都存在一个公共因子，可以将这个公因式提取出来。

例如，对于多项式 3x^2 + 6x，可以提取出公因式3x，得到3x(x + 2)。

2. 利用二次公式：对于二次多项式（次数为2的多项式），可以应用二次公式将其因式分解为两个一次项的乘积。

例如，对于多项式 x^2 - 4，可以通过应用平方差公式得到(x+2)(x-2)。

3. 利用特殊公式：一些特殊的多项式具有特殊的因式分解形式，如完全平方差公式、差二次方公式等。

通过利用这些特殊公式，可以更快速地进行因式分解。

4. 利用长除法：对于高次多项式，可以利用长除法的方法对其进行因式分解，先找到一个因子，然后除以该因子得到商，再对商进行因式分解，如此重复直至无法再进行因式分解为止。

四、因式分解的应用因式分解在数学中有着广泛的应用。

2013组卷1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②=…解决下列问题：（1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．2．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________ ．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_________ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________ ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．6．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．7．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．8．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．11．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_________ ．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是_________ ，由②到③这一步的根据是_________ ；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是_________ ；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．13．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．答案1．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．3．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．4．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．5．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．x=时多项式的值为×6．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．7．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．10．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：（x+3）4．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．11．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③这一步的根据是同底数幂的乘法法则；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是（1+x）2007；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．12．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．。

第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。

其中每一个整式叫做积的因式。

二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。

2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。

（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。

配方法则是一种特殊的拆项、添项法。

（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。

（5）常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++； 立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；完全立方公式：()3322333b a b ab b a a +=+++； ()3322333b a b ab b a a -=-+-。

因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。