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专题18 利用函数图象研究函数性质及新题型(原卷版)九年级数学专题试题

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专题18 利用函数图象研究函数性质及新题型 题型一、利用函数图象研究函数性质 第一步：确定函数自变量取值范围； 第二步：列表、描点、连线； 第三步：根据函数图象解答相关题目. 题型二、定义新题型 提出一些新颖的概念，根据概念解答相关题型.

【例1】（2019·开封模拟）参照学习函数的过程与方法，探究函数（x≠0）的图象与性质． 因为，即，所以我们对比函数来探究． 列表： x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 …

… 1 2 4 -4 -2 -1 … … 2 3 5 -3 -1 0 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来．

2xyx

221xyxx21yx2yx

121

2

2yx1223231

2

2xyx325313122xyx

Oxy

12345

-1-2-3-4-5

12345-1-2-3-4-5 （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向_______平移______个单位而得到； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） （3）函数与直线y=-2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．

【变式1-1】（2019·郑州模拟）探究函数的图象与性质 （1）函数的自变量x的取值范围是 ； （2）下列四个函数图象中可能是函数的图象的是

（3）对于函数，当x>0时，求y的取值范围. 解：∵x>0，

∴==+ ，

∵≥0， ∴y≥ . 拓展运用 （4）若函数，则y的取值范围是 .

2xyx2yx

2xyx

4yxx

4yxx

4yxx

4yxx

4yxx

222xx22

xx



22

xx



259xxyx

 【例2】（2018·洛阳三模）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax－a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、

c为常数，a≠0）的“梦想直线”. 有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”． 已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C． （1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的标为 ； （2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标； （3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式2-1】（2019·安阳一模）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物

线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”． （1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是 （填“真”或“假”）命题； （2）若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ； （3）若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式； （4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

223432333yxx 1.（2018·逆袭卷）有这样一个问题：探究函数的图象与性质.

下面是小强的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围 ； （2）下表是y与x的几组对应值. x … -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 … y … -2 0 … 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.

①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，点A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点

的坐标为 ； ②小文分析函数的表达式发现：当x<-1时，函数的最大值为-2，则该函数图象在直线x=-1左侧的最高点的坐标为 （3）画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质

2.（2019·偃师一模）如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）交x轴于点A(4，0)，B(-2，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）点 Q 是 x 轴上位于点A，B之间的一个动点，点E为线段BC上一个动点，若始终保持∠EQB=

222xyx

222xyx

2588394142398

222xyx ∠CAB，连接CQ，设△CQE 的面积为S，点Q的横坐标为m，求出S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时点Q的坐标． （3）点 P 为抛物线上位于 AC 上方的一个动点，过点 P 作 PF⊥y 轴，交直线 AC 于点 F，点 D 的坐标为(2，0)，若 O，D，F 三点中，当其中一点恰好 位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”，请判断这三点是否有“和谐点”的存在，若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3.（2019·三门峡二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ＝5或PT+TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，﹣3），C（﹣1，﹣5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为（ ）

A．（1，﹣2） B．（2，﹣1） C．（，﹣1） D．（3，0） 4.（2019·开封模拟）【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．

12 （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系． 根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ； 【拓展延伸】 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为 cm．

图1 图2 图3 5.（2019·郑州联考）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． （1）观察猜想： 图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明： 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理 由； （3）拓展延伸： 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

图1 图2 6.（2019·平顶山三模）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β， （1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝ °；β＝ °． （2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由． （3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．

图1 图2 7.（2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+k与双曲线（x>0）交于点A(1,a). （1）求a，k的值；

4yx

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中考数学 函数图象与性质的探究题

中考数学 函数图象与性质的探究题


y＝1x 的图象交点的个数．
答图3
专题九 函数图象与性质的探究题
由图象可知，函数 y＝x＋x 2 与函数 y＝x1 的图象只有一个交点， ∴方程 x＋x 2＝1x 的根的个数为 1．
专题九 函数图象与性质的探究题
3．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，
观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画
专题九 函数图象与性质的探究题
(3)类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，
判断方程 x＋x 2＝1x 的根的个数． 解：由题意可知，反比例函数的图象也遵循
“上加下减”的平移规律．
如答图3，画出函数y＝x＋2 的图象，则方 x
程 x＋2＝1 的根的个数即函数y＝x＋2 与函数
xx
x
图1 明 明 发 现 ， 随 着 点 C 位 置 的 改 变 ， △ ODE 的 三 边 都 随 之 改 变 ， 所 以，明明决定以BC的长度为自变量，设BC的长为x cm，借助学习函数 的经验来研究△ODE三边的变化规律，请你将下面的探究过程补充完 整．
专题九 函数图象与性质的探究题
(1)根据点C在OB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段OD， DE的长度，得到下表中的几组对应值．
解：①3,2．②描点见答图1． ③图象见答图1．
答图 1
专题九 函数图象与性质的探究题
(3)结合画出的函数图象，解决问题：当图1中小正方形的边长约为 ___0_._5_6___dm时，盒子的体积最大，最大值约为____3_.0_3___dm3(结果精 确到0.01)．
解：【提示】结合画出的函数图象，看最高点(0.56,3.03)． 当答图1中小正方形的边长约为0.56 dm时，盒子的体积最大，最大 值约为3.03 dm3．
2020中考数学解答题专练-函数的图象与性质探究(学生用)

2020中考数学解答题专练-函数的图象与性质探究(学生用)

2020中考数学题位复习系统之解答题专练5函数的图象与性质探究1. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．2．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．3. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝，当x＜﹣1时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：．（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．4. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质：；（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为：；5. 小邱同学根据学习函数的经验，研究函数y＝的图象与性质．通过分析，该函数yy﹣1﹣2﹣3.4﹣7.5 2.4（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）在图中补全当1≤x＜2的函数图象；（3）观察图象，写出该函数的一条性质：；（4）若关于x的方程＝x+b有两个不相等的实数根，结合图象，可知实数b的取值范围是．6.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与﹣﹣﹣标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．7.有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝，当x＜3时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．。

2024年全中考数学模拟试题18二次函数的图象和性质

2024年全中考数学模拟试题18二次函数的图象和性质

1.已知二次函数f(x)的图象经过点(2,4)，且对称轴为直线x=1，求二次函数f(x)的解析式。

解：由对称轴为直线x=1可知顶点的横坐标为1，即f(1)=4由对称性可知，点(0,f(0))也在图象上，即f(0)=5所以二次函数f(x)的解析式为：f(x)=a(x–1)²+4代入点(0,5)得5=a(0–1)²+4，解得a=1所以二次函数f(x)的解析式为：f(x)=(x–1)²+42. 写出二次函数f(x) = ax² + bx + c的图象顶点的横坐标公式。

解：二次函数的顶点的横坐标公式为：x=-b/2a。

3.已知二次函数f(x)的解析式为f(x)=2x²-4x+3，求二次函数f(x)的顶点坐标和对称轴方程。

解：二次函数f(x)的顶点坐标为(x₀,f(x₀))，其中x₀=-b/2a，a=2，b=-4代入公式可得x₀=-(-4)/(2*2)=1将x₀代入二次函数解析式可得f(x₀)=2(1)²-4(1)+3=1所以二次函数f(x)的顶点坐标为(1,1)。

对称轴方程为x=14.求解二次方程2x²-3x+1=0的根。

解：这是一个二次方程，可以使用求根公式，即x = (-b ±√(b² - 4ac)) / 2a。

代入a=2，b=-3，c=1可得根的值为：x=(-(-3)±√((-3)²-4*2*1))/(2*2)=(3±√(9-8))/4=(3±√1)/4所以二次方程2x²-3x+1=0的根为x₁=1，x₂=1/25.已知二次函数f(x)的解析式为f(x)=-x²+4x-3，求二次函数f(x)的极值。

解：二次函数的极值即为顶点的纵坐标。

在这个例子中，顶点的纵坐标为f(x₀)，其中x₀=-b/2a，a=-1，b=4代入公式可得x₀=-4/(2*-1)=2将x₀代入二次函数解析式可得f(x₀)=-(2)²+4(2)-3=1所以二次函数f(x)的极值为16.求解二次方程x²-3x+2=0的根。

专题18 单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转(原卷版)

专题18 单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转(原卷版)

专题18 单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转一、凹函数、凸函数的几何特征二、凹凸反转很多时候，我们需要证明f (x )＞0，但不代表就要证明f (x ) min ＞0，因为大多数情况下，f ′(x )的零点是解不出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明f (x )＞0，可把f (x )拆分成两个函数g (x )，h (x )，放在不等式的两边，即要证g (x )＞h (x )，只要证明了g (x ) min ＞h (x ) max 即可，如上右图，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显，g (x )是凹函数，h (x )是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转．凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充．凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值．三、六大经典超越函数的图象和性质 1．x 与e x 的组合函数的图象与性质 函数f (x )＝x e xf (x )＝e xxf (x )＝x ex图象定义域 R(－∞，0)(0，＋∞) R 值域 ⎣⎡⎭⎫－1e ，＋∞ (－∞，0)[(e ，＋∞)(－∞，1e ]单调性 在(－∞，－1)上递减 在(－1，＋∞)上递增 在(－∞，0)，(0，1)上递减在(1，＋∞)上递增 在(－∞，1)上递增 在(1，＋∞)上递减 最值f (x )min ＝f (－1)＝－1e当x ＞0时，f (x )min ＝f (1)＝1ef (x )max ＝f (1)＝1e2．x 与ln x 的组合函数的图象与性质 函数f (x )＝x ln xf (x )＝ln x xf (x )＝x ln xx yOx 1x 2图象上任意弧段位于所在弦的下方的函数为凹函数ｙ＝f (x )xyO x 1x 2图象上任意弧段位于所在弦的上方的函数为凸函数ｙ＝f (x )xyy =h (x )y =g (x )Oxy－１e－1Oxye1Oxy１e1O图象定义域 (0，＋∞) (0，＋∞) (0，1)(1，＋∞) 值域 ⎣⎡⎭⎫－1e ，＋∞ (－∞，1e )(－∞，0)[e ，＋∞) 单调性 在(0，1e )上递减在(1e，＋∞)上递增 在(0，e)上递增 在(e ，＋∞)上递减 在(0，1)，(1，e)上递减 在(e ，＋∞)上递增 最值f (x )min ＝f (1e )＝－1ef (x )max ＝f (e)＝1e当x ＞0时，f (x )min ＝f (e)＝e【例题选讲】[例1] (2014·全国Ⅰ)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝e(x －1)＋2．(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1．[例2]已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1e x (m ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ＝0时，证明：∀x ＞0，e x 2(1＋ln x )＋1ex ＞f (x )－xf (1)．xyOxyeOxyee1O[例3]已知f (x )＝ln x ＋2e x．(1)若函数g (x )＝xf (x )，讨论g (x )的单调性与极值； (2)证明：f (x )>1e x ．[例4]已知()()2ln , 2f x x x ax g x x =-=--． (1)当1a =-时，求()f x 在[](), 30m m m +>的最值； (2)求证：()0, x ∀∈+∞，12ln 1x x e ex+>-．【对点精练】1．已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0．2．已知()e ln x f x a x a =--，其中常数0a >． (1)当e a =时，求函数()f x 的极值； (2)求证：221e e ln 0x x x x ----≥．3．设函数()ln af x x x x=+-． (1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当1a =时，证明：1()0xf x x e -+>在(0, )+∞上恒成立．4．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3．(1)若对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，ln x ＞1e x －2e x 恒成立．5．已知函数f (x )＝ln x ＋a x ，g (x )＝e －x ＋bx ，a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若函数y ＝g (x )在R 上存在零点，求实数b 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )在x ＝1e 处的切线方程为e x ＋y －2＋b ＝0．求证：对任意的x ∈(0，＋∞)，总有f (x )>g (x )．6．已知f (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x成立．。

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