(第四章)运输问题和指派问题

公司本身產能
38艘/季
可轉包給兩家代工工廠
成本增加3萬元/艘
兩家代工工廠的合計產能
20艘/季
公司可利用存貨調節旺季的需求
存貨成本：1.5萬元/季/艘
p.12/62
範例7.1
C1 T1 C2 T2 C3 T3 C4 T4
/運輸問題係數表
目的地 W1 0 3.0 M M M M M M 35 W2 1.5 4.5 0 3.0 M M M M 50 W3 3.0 6.0 1.5 4.5 0 3.0 M M 80 W4 4.5 7.5 3.0 6.0 1.5 4.5 0 3.0 20 W5 0 0 0 0 0 0 0 0 47 供給 38 20 38 20 38 20 38 20
若所有 c ij u i v j 0 ，則為最佳解 否則，我們選擇最負值為進入變數。
p.23/62
7.3 運輸單形法
3. 決定離開變數
Sec. 7.3
當決定進入變數後，可根據BV建立一條階石路徑， 由此路徑可輕易地判斷離開變數
4. 建立下一個可行基解
當決定進入變數及離開變數後，讓所有在階石路徑 上的BV加上或減去離開變數之值，即可快速地得到 下一個BFS
p.22/62
如何快速決定與 ui與vj
如何快速決定與 ui與vj
Sec. 7.3
對於BV， c ij u i v j 0 因有(m+n-1)個BV，故有(m+n-1)個方程式 另一方面，ui 與vj的總數為m+n，所以可讓其一ui = 0
因此，我們可利用運輸單形表中的BV，快速地得到 所有ui 與vj，然後再計算所有NBV的 c ij u i v j

2020/6/14
29
第三步：按σij=cij-(ui+vj), i,j∈N计算所有空格的检验数。如 σ11=c11-(u1+v1)=3-(0+2)=1， σ12=c12-(u1+v2)=11-(0+9)=2 这些计算可直接在上表中进行。 为了方便，特设计计算表，如下表所示
销地
B1
B2
B3
加工厂
B4
1.闭回路法； 2.位势法
2020/6/14
22
1 闭回路法
在给出调运方案的计算表上，如上例表，从每一空格出发找一条闭回路。
它是以某空格为起点，用水平或垂直线向前划，当碰到一数字格时可以
转90°后，继续前进，直到回到起始空格为止。闭回路如图(a),(b),(c)
等所示。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
沃格尔法的步骤是：
第一步：在原表中分别计算出各行和各列的最 小运费和次小运费的差额，并填入该表的最右列 和最下行，见表4-1
2020/6/14
17
表4-1
销 地 B1 B2 B3 B4 行差额 产地
A1
3 11 3 10
0
A2
19 2 8
1
A3
7 4 10 5
1
列差额
25 1 3
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所 在行或列中的最小元素。在表4-1中B2列是最大 差额所在列。B2列中最小元素为4，可确定A3 的产品先供应B2的需要。得表4-2：
2020/6/14
6
运输问题数学模型的一般形式
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总
运费最小的调运方案，其数学模型为

min
2
0 13 11 6 0 10 4 0 5 7 9 7 0 1 4 4
0 13 6 0 0 5 0 1 7 6 3 0
2 11 4 2 2 min
0 9 (bij ) 2 0
第一步，画出该问题的供销平衡表和单位运价表
超市 仓库 A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
第二步，求初始解

1、最小元素法 超市仓库 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 3 B1 B2 B3 B4 储量 7 4 9
计算过程表 超
市 仓库
A1 A2
X 0

用矩阵描述时为
max z CX
AX b X 0 a 11 a 12 a 1 n A (p ,p , ,p ) 1 2 n a a a 1 m 2 mn m

b为资源向量； c为价值向量； x为决策变量的向量
单纯形法简介
问题要求极小化时数学模型是
Min z c x ij ij
i j
x 1 ,j 1 , 2 n
ij i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1 ,i 1 , 2 n
ij j

xij 1 或 0

例题：某物流公司现有四项运输任务A、B、C、D， 现有甲、乙、丙、丁四辆车，他们完成任务所需时 间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需 总时间最少？
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
x b, j 1 ,2 , ,n
i 1 ij j

最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
A3
销 量
16
2
8
9
2 810
22
5
14
11
12 14
6
48
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
2．运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值 的稀疏矩阵,其中1的总数为 2×m×n 个。
3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于
每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方
程中也出现一次
4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总 数是m+n-1 证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等， 恰好都是： E1
故 [ xij ] 是一组可行解。
x
i 1 ij i 1
m
m
ai b j d

bj
a d
i 1
m
i
bj
又因 ai 0, b j 0. 所以
xij 0.
又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题
既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。
运输问题数学模型的特点
表 3-2
销地
产地
B1
4
x11