27.3(3)垂径定理

什么？
解：AC = BD. 理由：过 O 作OE⊥AB，垂足为 E，
则AE ＝ BE，CE ＝ DE， ∴ AE－CE ＝ BE－DE，
O. E
AC
DB
即 AC ＝ BD.
4. 如图，在☉O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证四边形 ADOE 是正方形．
（5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
垂径定理
内容 推论
垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧.
一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的 优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两 个条件就可以推出其它三个结论(“知 二推三”).
辅 助 线 两条辅助线：连半径，作弦心距
图b
2.(分类讨论题)已知☉O 的半径为 10 cm，弦MN//EF， 且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和弦 EF 之间的 距离为 14 cm 或 2 cm .
3. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
AB 交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为
证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA=OB， 即 △AOB 是等腰三角形.
∵P 是 AB 的中点，即AP = BP， ∴AB⊥CD. ∵ CD 是直径，CD⊥AB，
∴ AC BC ，AD BD.
D
·O
P
A
B
C
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对
的两条弧.
C h
aD r 2d
O
·O
AC
B
B
1.如图，OE⊥AB 于 E，若 ☉O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm， 则 AB = 16 cm.

（1）连接AO,BO,则AO=BO,
C
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得AC =BC⌒， AD⌒=BD. ⌒
⌒
A
·O
E B
D
归纳总结
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. C
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距
·O
离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心
距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. A
C
C
弓形中重要数量关系 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以
h
A
aD
r 2d
下关系：
d+h=r
r2
d2
a 2
2
O
M
C
D
A
B
.O
N
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单 的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
情境引入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？
2
2
根据勾股定理，得
OC 2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m.
针对训练

圆垂径定理
垂径定理是数学几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

数学表达为：如图，直径MN垂直于弦AB，则AC=CB，弧AN等于弧BN（包括优弧与劣弧），半圆MAN=半圆MBN。

垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。

称为知二得三（知二推三）。

平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）平分弦（不是直径）
垂直于弦
过圆心（或是直径）。

第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。