2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率示范教案 整体设计教学分析本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程、斜率、倾斜角的概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要．直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础．事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究．对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确含义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧． 三维目标1．了解直线方程的概念，认识事物之间的相互联系．2．理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于x 轴倾斜程度的这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想．3．掌握经过两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，培养学生树立辩证统一的观点，并形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式． 教学难点：斜率公式的推导． 课时安排 1课时教学过程导入新课设计1.如下图所示，在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．设计2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P 的直线l 的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率． 推进新课 新知探究 提出问题(1)一次函数的图象是什么形状？以y ＝2x ＋1为例说明． (2)方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点有什么对应关系？(3)直线y ＝kx ＋b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定(如下图)，如果点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)是这条直线上任意两点，其中x 1≠x 2，怎样由这两点的坐标计算出k 的值呢？(4)怎样用角来表示直线的倾斜程度？ (5)写出求一条直线斜率的计算步骤． 讨论结果：(1)所有一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是一条直线．例如函数y ＝2x ＋1的图象是通过点(0,1)和点(1,3)的一条直线l(如下图)，直线l 是函数y ＝2x ＋1的图象，所表达的意义是：如果点P 在l 上，则它的坐标(x ，y)满足关系y ＝2x ＋1，①反之，如果点P 的坐标(x ，y)满足①式，则点P 一定在l 上．于是，函数式y ＝2x ＋1，可作为描述直线l 的特征性质，因此l ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}． 我们再来看k ＝0的特殊情况．例如方程y ＝2，无论x 取何值，y 始终等于2，虽然它已不是一次函数，但方程y ＝2(常值函数)的图象是一条通过点(0,2)且平行于x 轴的直线．(2)由于函数y ＝kx ＋b(k≠0)或y ＝b 都是二元一次方程，因此，我们也可以说，方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 由于方程y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，因此我们今后常说直线y ＝kx ＋b.(3)由于x 1，y 1和x 2，y 2是直线方程的两组解，方程y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，两式相减，得y 2－y 1＝kx 2－kx 1＝k(x 2－x 1)．因此k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．所以由直线上两点的坐标，可以求出k 的值，且它与这两点在直线上的顺序无关，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量．于是k ＝ΔyΔx(Δx≠0)．通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在．方程y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是通过点(0，b)且斜率为k 的直线． 对一次函数所确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k 的值决定了这条直线相对于x 轴的倾斜程度．(4)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；k>0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； k<0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°. (5)步骤：(1)给直线上两点的坐标赋值：x 1＝？，x 2＝？，y 1＝？，y 2＝？； (2)计算Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1；(3)如果Δx ＝0，则判定“斜率k 不存在”； (4)如果Δx≠0，计算k ＝ΔyΔx ；(5)输出斜率k. 应用示例思路1例1求经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的斜率k.解：x 1＝－2，x 2＝－5，y 1＝0，y 2＝3；Δx ＝－5－(－2)＝－3，Δy ＝3－0＝3；k ＝ΔyΔx ＝－33＝－1. 变式训练1．已知过点A(a,3)，B(6,5)的直线的斜率k ＝12，则a ＝______.答案：22.经过A(4，－7)，B(4,9)的直线斜率k 等于( ) A ．0 B ．16 C ．－16 D ．不存在 答案：D例2画出方程3x ＋6y －8＝0的图象． 解：由已知方程解出y ，得y ＝－12x ＋43.这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线，当x ＝0时，y ＝43；当x ＝2时，x ＝13.在坐标平面内作点A(0，43)，B(2，13)，作直线AB ，即为所求方程的图象．(如下图)点评：方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的图象是直线，以此方程的任意两解为坐标的点的连线(直线)就是该方程的图象． 变式训练已知方程4x ＋By ＋4＝0的图象过点(1,1)，则B ＝______. 解析：把点的坐标值代入方程，得4＋B ＋4＝0，解得B ＝－8. 答案：－8思路2例3 求经过点A(－2,10)，B(5,3)的直线的斜率和倾斜角． 解：k ＝3－105－－＝－1，即tan α＝－1，又∵0°≤α<180°，∴α＝135°.∴该直线的斜率是－1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角． 变式训练1．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为… ( ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再右移1个单位，得到直线y ＝－13x ＋13.答案：A2．求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α.(1)P 1(－2,3)，P 2(－2,8)；(2)P 1(5，－2)，P 2(－2，－2)．解：(1)∵过P 1，P 2的直线与x 轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)k ＝tan α＝－2－－－2－5＝0，∴直线斜率为0，倾斜角α＝0°.例4 已知三点A 、B 、C ，且直线AB 、AC 的斜率相同，求证：这三点在同一条直线上． 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而这两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合，因此A 、B 、C 三点共线． 点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有公共点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线． 变式训练1．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(12，m)共线，求实数m 的值．解：由题意知k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2，∵A、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .∴m －312－2＝－1.∴m＝92.2．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值＝__________.答案：12例5 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1，－2)，C(－6，m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD|的长．分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间的距离公式． 解：D 点的坐标为(－52，m －22)，∴k AD ＝m －22－5－52－0＝1.∴m＝7.∴D 点坐标为(－52，52)．∴|AD|＝522＋－522＝522. 变式训练1．过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．答案：l的斜率为－1，倾斜角为135°. 2．如下图中菱形ABCD 的∠BAD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率．解：由题意知直线AD 和BC 的倾斜角为60°，直线AB 和DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°；直线AD 和BC 的斜率为k ＝tan60°＝3，直线AB 和DC 的斜率为k ＝tan0°＝0，直线AC 的斜率为k ＝tan30°＝33，直线BD 的斜率为k ＝tan120°＝－ 3. 知能训练1．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法正确的是( ) A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°D ．直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D2．已知直线的斜斜角，求直线的斜率．(1)α＝0°；(2)α＝60°；(3)α＝90°；(4)α＝135°. 分析：指导学生根据定义直接求解．解：(1)∵tan0°＝0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0. (2)∵tan60°＝3，∴倾斜角为60°的直线斜率为 3. (3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在． (4)∵tan135°＝－1，∴倾斜角为135°的直线斜率为－1. 3．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a ＝______. 解析：由题意得k AB ＝k AC ，则22－a ＝2－42，解得a ＝4. 答案：44．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则a ＝______. 解析：A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即a 2－－2－1＝a 3－a 23－2，a 2＋a ＝a 3－a 2，a 2－2a －1＝0. ∵a>0，∴a＝1＋ 2. 答案：1＋ 2 拓展提升如下图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率．解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33， ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝－ 3.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率． 课堂小结 本节课学习了：1．直线方程的概念；2．直线的斜率、倾斜角和斜率公式；3．利用斜率判定三点共线．作业本节练习A 1,2题．设计感想在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口．同时本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要留给学生充分的思考时间，透彻理解直线的倾斜角和斜率的概念，能根据条件正确地求出直线的倾斜角和斜率是知识教学的目的；在形成概念的过程中，培养分析、抽象、归纳的思维能力，强化“形”“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构．新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉．从知识接受上讲似乎并无大碍，但是从知识的联系性、思维的丰富性上来说，讲多了给人一种感觉——记住结论会用就行！这或许就是新课程的理念吧．但本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求．备课资料已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况．解：①0°≤α<90°.作出y＝tanα在[0°，90°)区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈[0°，90°)时，y＝tanα＞0，并且随着α的增大，y不断增大，|y|也不断增大．所以，当α∈[0°，90°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大．②90°<α<180°.作出y＝tanα在(90°，180°)区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°)时，y＝tanα＜0，并且随着α的增大，y＝tanα不断增大，|y|不断减小．所以当α∈(90°，180°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小．点评：针对以上结论，虽然有当α∈[0°，90°)时，随着α增大直线斜率不断增大；当α∈(90°，180°)时，随着α增大直线斜率不断增大．但是当α∈[0°，90°)∪(90°，180°)时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论．。
导学案：§2.2.1直线方程的概念与直线的斜率【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材P74-P76，用红色笔进行勾画；再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过20分钟。
2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.对有关概念要在理解的基础上熟记【学习目标】1.掌握方程的直线和直线的方程的概念，直线的斜率和倾斜角，并能求直线斜率，提高理解和应用能力。
2.小组成员积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，探究并总结两点的斜率公式的推导方法。
3.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
一．问题导学：1．直线的方程、方程的直线是如何定义的？思考：（1）一次函数与二元一次方程之间有什么关系？（2）y=|x|是的直线方程吗？（3）判断：①任意一条直线一定是某个一次函数的图像( )②函数y=kx+b(x≥0)的图像是一条直线( )③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这个方程叫做这条直线的方程（）④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则这条直线叫做这个方程的直线（）2．斜率是如何定义的？过两点的斜率公式如何推导？公式适用范围是什么？思考：（1）直线的斜率k如何决定直线与x轴的倾斜程度？（2）垂直于x轴的直线的斜率_________________,为什么？（3）斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点，则a=________,b=_________3．倾斜角是如何定义的？倾斜角的范围是什么？思考：（1）任何一条直线是否都存在倾斜角？（2）直线的斜率和倾斜角之间有何关系？①当k=0时，倾斜角为，②当k>0时，倾斜角为，此时，k值增大，直线的倾斜角_______ ③当k<0时，倾斜角为，此时，k值增大，直线的倾斜角________④当k不存在时，倾斜角为 .二．合作探究：例1：求通过下列两点的直线斜率（如果存在的话），并判断其倾斜角是锐角还是钝角还是零度角还是直角？（1）A(2,2),B(-1,-3)（2）C(-1,1),D(-3,5)（3）M(3,5),N(7,5)（4）P(2,2),Q(2,6)反思归纳：用斜率公式求k时，注意当_________时，k不存在。
