圆锥曲线中的定点定值问题

圆锥曲线中的定点、定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =，用一个参数表示另外一个参数()k f m =，即可带用其他式子，消去参数k ．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：2()0y kg x -+=，只要因式()0g x =，就和参数k 没什么关系了，或者说参数k 不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ．③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．题型一：面积定值【典例1-1】如图所示，已知椭圆22:14x C y +=，A ，B 是四条直线2x =±，1y =±所围成的矩形的两个顶点．若M ，N 是椭圆C 上的两个动点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于直线OA ，OB 的斜率之积，试探求OM N V 的面积是否为定值，并说明理由．【典例1-2】（2024·湖北荆州·三模）从抛物线28y x =上各点向x 轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为Γ.(1)求Γ的轨迹方程；(2),,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，①若//AC DF ，求BDBF的值；②证明：三角形ABC 与三角形DEF 的面积之比为定值.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，M 在椭圆E 上，且12MF F △(1)求椭圆E 的方程；(2)直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于P ，Q 两点，且22434k m +=，求证：OPQ △（O 为坐标原点）的面积为定值.【变式1-2】（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ^；（ii ）记PMQ V ，HNQ V ，MNQ V 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知()1,0A -，()10B ,，平面上有动点P ，且直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为1.(1)求动点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与Ω交于点M （M 在第一象限），过点B 的直线与Ω交于点N （N 在第三象限），记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，且124k k =.试判断AMN V 与BMN V 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.题型二：向量数量积定值【典例2-1】（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ l ×+×uuu r uuu r uuu r uuu r为定值？若存在，求出l 的值；若不存在，说明理由.【典例2-2】（2024·上海闵行·二模）已知点12F F 、分别为椭圆22:12x y G +=的左､右焦点，直线:l y kx t =+与椭圆G 有且仅有一个公共点，直线12,F M l F N l ^^，垂足分别为点M N 、.(1)求证：2221t k =+；(2)求证：12F M F N ×uuuu r uuuu r为定值，并求出该定值；【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P æççè，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆C 的方程；(2)设5,04M æöç÷èø，过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点，试问：MA MB ×uuu r uuu r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式2-2】（2024·高三·河南南阳·期末）P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线b y x a =-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a=-于R ，若△OMQ ，V ONR 的面积之和为2ab．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ×uuu r uuu r为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足MD CD ^，连接CM ，交椭圆E 于点P .(1)求椭圆E 的方程；(2)求证：OM OP ×uuuu r uuu r为定值.【变式2-4】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，且3AF =uuu r ，以F为圆心，OF 为半径的圆F 经过点B .(1)求C 的方程；(2)过点A 且斜率为()0k k ¹的直线l 交椭圆C 于P ，（ⅰ）设点P 在第一象限，且直线l 与y x =-交于HHAO Ð，求k 的值；（ⅱ）连接PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，且QT BT ×为定值，已知点Q 在定直线上，求Q 所在定直线方程.题型三：斜率和定值【典例3-1】已知椭圆()222:11x M y a a +=>与双曲线222:1y N x a-=的离心率的平方和为234.(1)求a 的值；(2)过点1,02Q æöç÷èø的直线l 与椭圆M 和双曲线N 分别交于点A ，B ，C ，D ，在x 轴上是否存在一点T ，直线TA ，TB ，TC ，TD 的斜率分别为TA k ，TB k ，TC k ，TD k ，使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【典例3-2】（2024·河南·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设()3,P t ，过点P 的两条直线1l 和2l 分别交椭圆C 于点,D E 和点,M N （1l 和2l .不重合），直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k .若PM PN PD PE =，判断12k k +是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.【变式3-1】椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-（0k ¹）与C 交于A ，B 两点（异于点P ）.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值.【变式3-2】（2024·宁夏银川·一模）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，左顶点为A ，则上顶点为1B ，且1AB 20y -+=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是直线3x =上一点，过点P 的两条不同直线分别交C 于点D ，E 和点M ，N ，且PD PMPN PE=，求证：直线DE 的斜率与直线MN 的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值【典例4-1】（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左顶点为E ，虚轴的上端点为P ，且3PF =，PE =(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设M N 、是双曲线C 上不同的两点，Q 是线段MN 的中点，O 是原点，直线MN OQ 、的斜率分别为12k k 、，证明：12k k ×为定值．【典例4-2】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E右焦点，π3AFB Ð=.(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【变式4-1】已知椭圆22122:1(0)22x y C a b a b +=>>左右焦点12,F F 分别为椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，过点1F 且斜率不为零的直线与椭圆1C 相交于,A B 两点，交椭圆2C 于点M ，且2ABF △与12BF F △的周长之差为4-(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；(2)若直线2MF 与椭圆1C 相交于,D E 两点，记直线1MF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【变式4-2】（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点1F ，2F 分别为双曲线22222:144x y C a b -=的左､右顶点，过点1F 的直线分别交双曲线1C 的左､右两支于,A B 两点，交双曲线2C 的右支于点M （与点2F 不重合），且12BF F △与2ABF △的周长之差为2.(1)求双曲线1C 的方程；(2)若直线2MF 交双曲线1C 的右支于,D E 两点.①记直线AB 的斜率为1k ，直线DE 的斜率为2k ，求12k k 的值；②试探究：DE AB -是否为定值？并说明理由.【变式4-3】已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)过点((1)求双曲线C 的标准方程；(2)设过点()2,0P 且斜率不为0的直线l 与双曲线C 的左右两支交于A ，B 两点.问：在x 轴上是否存在定点Q ，使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.题型五：斜率比定值【典例5-1】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0M p ，过点F 且斜率存在的直线交C 于不同的,A B 两点，当直线AM 垂直于x 轴时，3AF =.(1)求C 的方程；(2)设直线,AM BM 与C 的另一个交点分别为,D E ，设直线,AB DE 的斜率分别为12,k k ，证明：（ⅰ）12k k 为定值；（ⅱ）直线DE 恒过定点.【典例5-2】如图所示，已知点()1,0K ，F 是椭圆22195x y+=的左焦点，过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，直线,AK BK 分别与椭圆交于,P Q 两点．(1)证明：直线PQ 过定点．(2)证明：直线PQ 和直线AB的斜率之比为定值．【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，DM x ^轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且||1||2DP DM =．(1)点M 在圆224x y +=上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记（1）中所求点P 的轨迹为,(0,1)A G ，过点10,2æöç÷èø作一条直线与G 相交于,B C 两点，与直线2y =交于点Q ．记,,AB AC AQ 的斜率分别为123,,k k k ，证明：123k k k +是定值．【变式5-2】（2024·云南·二模）已知椭圆EO ，焦点在x 轴上，右焦点为F ，A 、B 分别是E 的上、下顶点.E 的短半轴长是圆O 的半径，点M 是圆O 上的动点，且点M 不在y 轴上，延长BM 与E 交于点,N AM AN ×uuuu r uuu r的取值范围为(0,4).(1)求椭圆E 、圆O 的方程;(2)当直线BM 经过点F 时，求AFN V 的面积;(3)记直线AM 、AN 的斜率分别为12k k 、，证明:21k k 为定值.【变式5-3】（2024·河南·三模）已知点())A B ,，动点V 满足直线VA 与直线VB 的斜率之积为13，动点V 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程：(2)直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，且BP BQ BM PQ ^^,交PQ 于点M ，求定点N 的坐标，使MN 为定值；(3)过（2）中的点N 作直线交曲线C 于,G H 两点，且两点均在y 轴的右侧，直线,AG BH 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值．题型六：斜率差定值【典例6-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，D 为椭圆C 的右顶点，且124DF DF ×=uuu u r uuuu r.(1)求椭圆C 的方程；(2)设()4,2M -，过点()4,0Q -的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），直线AM 与直线2x =-交于点N ，设直线NA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：21k k -为定值.【典例6-2】已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点æççè，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【变式6-1】已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，1F 为左焦点，且1ABF V P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，点()3,1-在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．题型七：线段定值【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知椭圆E ：()2221024x y b b +=<<.(1)若椭圆E 22y x =-与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：OM ON ^；(2)P 为直线l ：4x =上的一个动点，A ，B 为椭圆E 的左、右顶点，PA ，PB 分别与椭圆E 交于C ，D 两点，证明CA PD PC BD××为定值，并求出此定值.【典例7-2】如图，已知圆22:210T x y ++-=，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为)，线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA AH l =uuu r uuur ，CB BH m =uuur uuur ，试探究l m +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(3)过点()2,1M 作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得1MP MQ k k ×=.且MD PQ ^，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得DF 为定值.【变式7-1】已知点N 在曲线22:11612x y C +=上，O 为坐标原点，若点M 满足2ON OM =uuu r uuuu r ，记动点M 的轨迹为G ．(1)求G 的方程；(2)设,C D 是上G 的两个动点，且以CD 为直径的圆经过点O ，证明：2211OCOD+为定值．【变式7-2】（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 满足=，点P 的轨迹为C ，过点(2,0)F 作直线l ，与轨迹C 相交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)求OAB △面积的取值范围；(3)若直线l 与直线1x =交于点M ，过点M 作y 轴的垂线，垂足为N ，直线NA ，NB 分别与x 轴交于点S ，T ，证明：||||SF FT 为定值．【变式7-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知12(2,0),(2,0),(1,0),(1,0)A B F F --，动点P 满足34PA PB k k ×=-，动点P 的轨迹为曲线1,PF t 交t 于另外一点2,Q PF 交t 于另外一点R .(1)求曲线t 的标准方程;(2)已知1212PF PF QF RF +是定值，求该定值;题型八：坐标定值【典例8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，122AF AF AF -=uuur uuuu r uuuu r ，12AF F △(1)求C 的方程；(2)B 是C 上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线l 过点2F 且与C 交于M ，N 两点（均异于点B ），点P 在l 上，设直线BM ，BP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若2312k k k -=，问点P 的横坐标是否为定值？若为定值，求出点P 的横坐标；若不为定值，请说明理由.【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，012P PP V ，ABC V 分别为抛物线y 2=2px(p >0)的切线三角形和切点三角形，F 为该抛物线的焦点．当直线AB 的斜率为1-时，AB 中点的纵坐标为2-．(1)求p ．(2)若直线AC 过点F ，直线,AB BC 分别与该抛物线的准线交于点,D E ，记点,D E 的纵坐标分别为,D E y y ，证明：D E y y 为定值．(3)若,,A B C 均不与坐标原点重合，证明：012FA FB FC FP FP FP ××=××【变式8-1】（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点P 与两定点()11,0A -，()21,0A 连线的斜率之积为3．(1)求动点P 的轨迹E 的方程：(2)过点()2,0的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，点A ，B 均在y 轴右侧，且点A 在第一象限，直线2AA 与1BA 交于点M ，证明：点M 横坐标为定值．题型九：角度定值【典例9-1】抛物线C ：()20x py p =>的焦点为()0,1F ，直线l 的倾斜角为a 且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于两点A ，B .（1）若16AB =，求角a ；（2）分别过A ，B 作抛物线C 的切线1l ，2l ，记直线1l ，2l 的交点为E ，直线EF 的倾斜角为b .试探究a b -是否为定值，并说明理由.【典例9-2】（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于B ，D （异于点A ）两点，直线AB ，AD 分别与直线4x =交于M ，N 两点，试问MFN Ð是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【变式9-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy¢=+ìí¢=+î①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点(,)P x y 变换为点(),P x y ¢¢¢的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d æöç÷èø唯一确定，我们将a b c d æöç÷èø称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转a 角得到点(),P x y ¢¢¢（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4（到原点距离不变）得到的双曲线方程C ；(3)已知由（2）得到的双曲线C ，上顶点为D ，直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点（B 在第一象限），与x 轴交于点T ö÷÷ø.设直线DA ，DB 的倾斜角分别为a ，b ，求证：a b +为定值.【变式9-2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：MQN Ð为定值.题型十：直线过定点【典例10-1】（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M 经过定点1(F ，且与圆222:(16F x y +=内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B 的动点，设直线PB 交直线4x =于点T ，连接AT 交轨迹C 于点Q ；直线AP ，AQ 的斜率分别为AP k ，AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ×为定值；（ii ）设直线:PQ x ty n =+，证明：直线PQ 过定点.【典例10-2】（2024·广西·模拟预测）已知圆E 恒过定点()1,0，且与直线=1x -相切，记圆心E 的轨迹为G ，直线11:10l x m y --=与G 相交于A ，B 两点，直线22:10l x m y --=与G 相交于C ，D 两点，且121m m =-，M ，N 分别为弦,AB CD 的中点，其中A ，C 均在第一象限，直线AC 与直线BD 的交点为G ．(1)求圆心E 的轨迹G 的方程；(2)直线MN 是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．【变式10-1】（2024·江西·二模）已知()12,0F -，()22,0F ，M 是圆O ：221x y +=上任意一点，1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的垂直平分线与直线2F N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设(),0E t （0t >）为曲线C 上一点，不与x 轴垂直的直线l 与曲线C 交于G ，H 两点（异于E 点）.若直线GE ，HE 的斜率之积为2，求证：直线l 过定点.【变式10-2】在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M ：()22616x y -+=外切，又与圆N ：(223x y +-=外切．(1)求椭圆C 的方程．(2)已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，连接AF ，BF 并分别延长交椭圆C 于D ，E 两点，证明：直线DE 过定点．题型十一：动点在定直线上【典例11-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，A ，B 分别为C 的上、下顶点，O 为坐标原点，直线4y kx =+与C 交于不同的两点M ，N ．(1)设点P 为线段MN 的中点，证明：直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值；(2)若AB 4=，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【典例11-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2H æö-ç÷èø，离心率12e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点()4,3P 且倾斜角为135o 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，点R 为椭圆C 上任意一点，求RMN V 面积的最小值.(3)如图，过点()4,3P 作两条直线,AB CD 分别与椭圆C 相交于点,,,A B C D ，设直线AD 和BC 相交于点Q .证明点Q 在定直线上.【变式11-1】已知A ，B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点，P 是C 上异于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，且12||4k k AB ==.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点(4,0)的直线:4l x my =+，交C 的左，右两支于D ，E 两点（异于A ，B ）.（i ）求m 的取值范围；（ii ）设直线AD 与直线BE 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.【变式11-2】已知椭圆G ：()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交椭圆G 于点3(1,)2P ．过点P 作椭圆G 的切线，交x 轴于点Q ．(1)求点Q 的坐标；(2)过点Q 的直线（非x 轴）交椭圆G 于A 、B 两点，过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D ，求证：线段AD 的中点在定直线上．【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C 的中心在原点O 、对称轴为坐标轴，A æççè、12B ö÷÷ø是椭圆上两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A 和2A ，M ，N 为椭圆上异于1A 、2A 的两点，直线MN 不过原点且不与坐标轴垂直．点M 关于原点的对称点为S ，若直线1A S 与直线2A N 相交于点T ．（i ）设直线1MA 的斜率为1k ，直线2MA 的斜率为2k ，求12k k -的最小值；（ii ）证明：直线OT 与直线MN 的交点在定直线上．题型十二：圆过定点【典例12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 、B 分点是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上不同于A 、B 的一点，ABP V 面积的最大值是2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)记直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，且直线AP 、BP 与直线6x =分别交于D 、E 两点．①求D 、E 的纵坐标之积；②试判断以DE 为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【典例12-2】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的两点,A B 的横坐标分别为4,8,AB -=.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点()0,8Q 的直线l 与抛物线C 交于点,M N ，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.【变式12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ¢过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B ．(1)求椭圆的方程；(2)试判断以AB 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．【变式12-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线2:2(0)E x py p =>，焦点为F ，点(2,1)C 在E 上，直线1l ∶1y kx =+(0)k ¹与E 相交于,A B 两点，过,A B 分别向E 的准线l 作垂线，垂足分别为11,A B .(1)设1111,,FA B FAA FBB V V V 的面积分别为123,,S S S ，求证：21234S S S =×；(2)若直线AC ，BC 分别与l 相交于,M N ，试证明以MN 为直径的圆过定点P ，并求出点P 的坐标.1．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点Z 对应的复数z 满足2297z z --=，设点Z 的运动轨迹为W ．点O 对应的数是0．(1)证明W 是一个双曲线并求其离心率e ；(2)设W 的右焦点为1F ，其长半轴长为L ，点Z 到直线Lx e=的距离为d （点Z 在W 的右支上），证明：1ZF ed =；(3)设W 的两条渐近线分别为12l l ，，过Z 分别作12l l ，的平行线34l l ，分别交21l l ，于点P Q ，，则平行四边形OPZQ 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．2．（2024·湖南常德·三模）已知O 为坐标原点，椭圆C ：2221(1)x y a a +=>的上、下顶点为A 、B ，椭圆上的点P 位于第二象限，直线PA 、PB 、PO 的斜率分别为123,,k k k ，且312114k k k =-+.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点O 分别作直线PA 、PB 的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.3．已知一张纸上画有半径为4的圆E ，在圆E 内有一个定点F ，且EF =，折叠纸片，使圆上某一点F ¢刚好与F 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当F ¢取遍圆上所有点时，所有折痕与EF ¢的交点形成的曲线为C ．(1)若曲线C 的焦点在x 轴上，求其标准方程；(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线C 恒有两个交点,A B ，且OA OB ^，（O 为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；(3)在（1）的条件下，P 是曲线C 上异于上顶点1A 、下顶点2A 的任一点，直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ，若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出定值．4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的一个动点，12PFF V 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)求12PF PF ×uuu r uuu u r的取值范围；(3)过椭圆的左顶点A 作直线l x ^轴，M 为直线l 上的动点，B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点Q ．试判断数量积AQ OM ×uuu v uuuu v ，OQ OM ×uuu v uuuu v是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上下焦点分别为()10,F c ，()20,F c -. 已知点(e 和(都在双曲线上， 其中e 为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;(2)设,A B 是双曲线上位于y 轴右方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P .(i) 若122AF BF -=，求直线1AF 的斜率；(ii) 求证：12PF PF +是定值.6．已知椭圆22142x y +=，设动点P 满足OP OM ON =+uuu r uuuu r uuu r ，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-．问：是否存在两个点1F ，2F ，使得21PF PF +为定值？若存在，求1F ，2F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为2，设F 为C 的右焦点，T 为C 的左顶点，过F 的直线交C 于A ，B 两点，当直线AB 斜率不存在时，TAB △的面积为9．(1)求C 的方程；(2)当直线AB 斜率存在且不为0时，连接TA ，TB 分别交直线12x =于P ，Q 两点，设M 为线段PQ 的中点，记直线AB ，FM 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(,2)M m 是抛物线C 上一点，且||2MF =．(1)求抛物线C 的方程．(2)若()()004,0P y y >是抛物线C 上一点，过点(1,4)Q -的直线与拋物线C 交于,A B 两点（均与点P 不重合），设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．9．（2024·河南新乡·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是12,A A ，椭圆C 的焦距是2，P （异于12,A A ）是椭圆C 上的动点，直线1A P 与2A P 的斜率之积为34-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，Q 是12PFF V 内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点,M N ，使得QM QN +为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.10．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线O ：2x y =，圆C ：()2221x y +-=，O 为坐标原点.(1)若直线l ：()0y kx m k =+¹分别与抛物线O 相交于点A ，B （A 在B 的左侧）、与圆C 相交于点S ，T （S 在T 的左侧），且OAT !与OBS V 的面积相等，求出m 的取值范围；(2)已知1A ，2A ，3A 是抛物线O 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中12A A ，13A A 均与圆C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.11．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，C 上的点到1F 的最小距离为1，P是C 上一点，且12PFF V 的周长为6．(1)求C 的方程；(2)过点2F 且斜率为k 的直线l 与C 交于M ，N 两点，过原点且与l 平行的直线与C 交于A ，B 两点，求证：2ABMN为定值．12．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点P 为圆()22:24C x y -+=上任意一点，()2,0A -，线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程；(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.（i ）证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；（ii ） 求证：OS OT ×是定值.13．（2024·湖北·模拟预测）已知F 为抛物线G ：()20y mx m =>的焦点，A ，B ，C 是G 上三个不同的点，直线AB ，BC ，AC 分别与x 轴交于F ，D ，E ，其中AB 的最小值为4.(1)求G 的标准方程；(2)ABC V 的重心G 位于x 轴上，且D ，G ，E 的横坐标分别为d ，g ，e ，32g d e --是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.14．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹G 交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG V 的重心的横坐标为定值．。

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。

设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN的长为. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）；由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值. 【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+-- ()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k xk x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x kk x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=-()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ； （2）求证： OA OB ⋅是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =-()()1122,,,OA x y OB x y ==，∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-，∴OA OB ⋅是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的,右焦点为求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 的距离为定值2. 【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离d==，当AB的斜率不存在时, 11x y= ,可得,1x d==依然成立.所以点O 到直线点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x yb aa b-=>>渐近线方程为y=，O为坐标原点，点(M在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OP OQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y-=；（Ⅱ）221113OP OQ+=.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ⊥，可设出直线,OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的坐标可求得221113OP OQ+=。

重难点突破之圆锥曲线中的定点问题、定值问题1．（2024·浙江金华·一模）已知和为椭圆：上两点.(1)求椭圆的离心率；(2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.2．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知椭圆过点，其长轴长为4，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.3．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点．(1)求证：直线过定点，并求出定点坐标；(2)求四边形面积的最大值．4．（2024·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T．(1)求的方程和双曲线的渐近线方程；(2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；(3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为(1)求直线的方程及椭圆的方程.(2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求证：的值为定值.(3)在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围.6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.(1)判断曲线为何种圆锥曲线.(2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？(3)设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点.（i）若，求；（ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点.7．（2024·云南大理·一模）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求；(3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由.8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程；(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．9．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由.10．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.(1)求W的方程；(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.11．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点.（i）求证：点在定直线上；（ii）若的面积为6，求点的坐标.12．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P．(1)若，，求椭圆C的方程(2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值．1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.3．（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.4．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．重难点突破之圆锥曲线中的定点问题、定值问题1．（2024·浙江金华·一模）已知和为椭圆：上两点.(1)求椭圆的离心率；(2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【难度】0.4【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率；（2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可.【详解】（1）由可知，求出，代入，得，，则，，可知椭圆的离心率为.（2）（i）由（1）可知椭圆的方程为，设，，过点的直线为，与联立得：.恒成立.所以，得，所以，直线的方程为：.（ii）由（i）可知，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得，记以为直径的圆与轴交于，两点，由圆的弦长公式可知，所以，为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.2．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知椭圆过点，其长轴长为4，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)(2)直线过定点，坐标为.【难度】0.4【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题【分析】（1）先求出，再代入点解出，进而得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，直曲联立解出，再由，解出值即可.【详解】（1）由椭圆长轴长为，可知，将代入椭圆方程：，所以椭圆的方程为：.（2）设直线的方程为，，由则直线的方程为，令，得，同理可得，所以，所以，把直线代入椭圆方程中，得出，所以，代入，化简得，所以直线过定点.【点睛】关键点点睛：由题意得出再代入化简是本题的关键点.3．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点．(1)求证：直线过定点，并求出定点坐标；(2)求四边形面积的最大值．【答案】(1)证明见解析，(2)【难度】0.4【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题【分析】（1）依题求出椭圆方程，设，由直线，方程分别与椭圆方程联立，求出点的坐标，由对称性知，定点在轴上，设为，由求出的值即得；（2）根据图形，可得四边形的面积，代入和，经过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值.【详解】（1）由题意知，，椭圆：如图，设，当时，直线的方程为：，代入，得，则，从而，点又直线的方程为：，代入，得则，从而，点由对称性知，定点在轴上，设为由，即，化简得，因故得，解得.即直线过定点，而当时，直线也过定点．综上，直线恒过定点．（2）由图可知四边形的面积为，令，当且仅当时等号成立，因在上单调递增，而，故当时，四边形面积有最大值．【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和四边形面积的最值问题，数据计算较大.求解直线过定点问题，一般是通过消参后将直线方程化成含一个参数的方程，再求定点；对于四边形面积问题，常运用合理的拆分或拼接，使其表达式易于得到，再利用基本不等式，或函数的单调性求其范围即可.4．（2024·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T．(1)求的方程和双曲线的渐近线方程；(2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；(3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为(2)证明见解析(3)是，．【难度】0.4【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、抛物线中的定值问题、根据抛物线方程求焦点或准线、判断直线与抛物线的位置关系【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解；（2）结合题意联立方程组和，化简即可求解；（3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明.【详解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为．（2）联立方程组，消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取，又由，求得直线的方程为，联立方程组，消去得，因为，所以直线与抛物线相切．（3）因为，得准线为线段的中垂线，则直线与直线的倾斜角互补，即，设，由条件知，联立方程组，消去得，则，联立方程组，消去得，则，所以，故为定值．【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为(1)求直线的方程及椭圆的方程.(2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求证：的值为定值.(3)在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【难度】0.4【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、求椭圆的长轴、短轴、根据韦达定理求参数【分析】（1）由长轴长的长度可求的值，又利用点和直线的倾斜角可得，进而用可求，从而可得直线方程和椭圆的方程；（2）设，，则关于原点的对称点，即，由的斜率可得三点共线，进而得，设代入椭圆方程，由韦达定理可得，，从而计算可得结果；（3）由题意可知四边形为梯形，由点到直线的距离可得高，进而结合梯形的面积公式利用基本不等式可得结果.【详解】（1）由长轴长为，可得，.因为点上顶点，直线的倾斜角为，所以中，，则，又，则.因为，，所以直线的方程为.椭圆的方程为.（2）设，，，则关于原点的对称点，即，由，三点共线，又，.设代入椭圆方程得，，，.，，.（3）四边形为梯形，令，则（当即时等号成立）.【点睛】关键点点睛：设关于原点的对称点，即，进而由平行关系判断三点共线，设，由韦达定理可得，，从而计算可得结果；在求的范围的时候，通过变形利用基本不等式可求最大值即可.6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.(1)判断曲线为何种圆锥曲线.(2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？(3)设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点.（i）若，求；（ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点.【答案】(1)椭圆(2)且(3)（i）；（ii）证明见解析【难度】0.4【知识点】求双曲线中的弦长、根据方程表示双曲线求参数的范围、求平面轨迹方程、直线过定点问题【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果.（2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果.（3）（i）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果；（ii）先设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标.【详解】（1）设，由，得，当时，，即，所以曲线为椭圆.（2）由，得.若曲线为双曲线，则，所以可化为，所以，则；故应满足且曲线为双曲线.（3）由，得曲线的方程为，则的右焦点坐标为，所以直线的方程为.联立得.设，则（i）若，则.（ii）因为点关于轴的对称点为点，所以，则直线的方程为，根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上，令，得.当且时，，故直线过定点.【点睛】本题难点在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用.7．（2024·云南大理·一模）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求；(3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)直线恒过定点，理由见解析【难度】0.15【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程；（2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设，直线，表达出，结合，从而得到；方法三：设，直线，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根之和，从而，故，求出；（3）方法一：设，联立椭圆方程，由得到，由韦达定理得到，，故，得到，同理可得，，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点.方法二：点在时，求导，得到切线斜率，，求出，同理可得，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点.【详解】（1）设椭圆的标准方程为：，，椭圆的标准方程为：.（2）方法一：点差法：设，则①，又在椭圆上，则，，两式相减得：，即：②，由①②得，.而.方法二：椭圆方程代换：设，直线，①，②，又，即③，由①②③得，；方法三：联立方程：设，直线，①，联立方程得，，②，由①②得，，则.又，.（3）设，先求椭圆在点处的切线的方程.方法一：根据判别式求解椭圆在点处的切线，设，联立方程得，，，，，.，即.同理可得，.，可得T点的横坐标，即，又，可得，，由题意可知直线的斜率不为0，设.，整理得，，即.又，则.，即直线恒过定点.方法二：导数的几何意义：.当点在时，.，则切线斜率，，即.当点在时，同理可得.，同理可得，.，可得T点的横坐标，即，又，可得，，由题意可知直线的斜率不为0，设.，整理得，，即.又，则.，即直线恒过定点.【点睛】知识点点睛：过圆上一点的切线方程为：，过圆外一点的切点弦方程为：.过椭圆上一点的切线方程为，过双曲线上一点的切线方程为8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程；(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．【答案】(1)；(2)证明见解析；【难度】0.4【知识点】根据韦达定理求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得；（2）对直线的斜率分等于0和不等于0讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得.【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，由三角形面积为，得，则，，所以的方程是.（2）由（1）知，点，当直线的斜率为0时，设直线，则，，且，即，，不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，由消去x得：，则，直线与的斜率分别为，，于是，整理得，解得或，当时，直线过点，不符合题意，因此，直线：恒过定点.9．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由.【答案】(1)；(2).【难度】0.4【知识点】求椭圆的切线方程、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】（1）由题意得，求出即可得解；（2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况去分析求解即可，对于直线斜率存在且不为0情况，先设切线方程，接着联立椭圆方程利用和整理得切线l的斜率，从而得切线方程，再利用点到直线距离公式和即可计算求解.【详解】（1）由题可得，且椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），当直线斜率不存在时，则由（1）得或，当时，，，此时，同理可得时，；当直线斜率存在时，设，联立，则，整理得①，又即，故，将其代入上式①可得即，故，所以，整理得，所以点到l的距离的乘积为.综上，是定值且.10．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.(1)求W的方程；(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.【答案】(1)(2)(3)证明见解析，2【难度】0.4【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解；（2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解；（3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解.【详解】（1）由题意，点在圆上运动，设，，，由得，，又，所以，所以的方程为；（2）直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以直线被圆C截得的弦长为；（3）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立得，所以，，故，.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.11．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点.（i）求证：点在定直线上；（ii）若的面积为6，求点的坐标.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）或【难度】0.65【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解；（2）（i）由题意得到的斜率互为相反数，构造方程即可求解；（ii）写出直线方程，由点到线的距离公式求得高，代入三角形面积公式求解即可.【详解】（1）因为，由抛物线的定义得，又，所以，因此，即，解得，从而抛物线的方程为.（2）（i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数，，同理，则，化简得，则，所以点在定直线上.（ii），则直线，即线段的长度：，点到直线的距离，可得的面积为，因为，且，化简得，令，则，即.解得或，由知或，所以或所求点的坐标为，或者.12．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P．(1)若，，求椭圆C的方程(2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值．【答案】(1)(2)证明见解析，.【难度】0.65【知识点】椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可.（2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可．【详解】（1）由，，得：，解得，又点在椭圆上，则，解得，所以椭圆的方程为．（2）证明:依题意，令，直线，由，得，直线AB的斜率，直线AP的斜率，则，即，有，得，，于是得点，，，所以为定值.1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【答案】(1)(2)证明见详解【难度】0.4【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析.【难度】0.4【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 3．（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析。

高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
定点定值方法归纳
一、研究定点、定值问题的基本思路
解析几何中的定点、定值及探索性问题主要以解答题形式考查，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大.解决问题时注意代数方程是解决定点定值问题的桥梁。

二、定点问题基本有一下两种思考方式
（1）引进参数法：引进动点坐标或者动线中的系数作为参数，表示变化量，再通过条件，构造变化量对应的方程，研究变化量方程的关系（特别是变化量任意改变对应方程恒成立问题），找到定点。

（2）探索法：根据动点或动线的一些特殊情况，先探索出定点，再证明该定点与变量无关。

三、解决定值问题也有如下类似的思考方式
（1）引进参数法：引进参数作为变化量，最后利用代数式说明所求定值的代数式与参数无关。

（2）探索法：用特殊情况探索出定值，最后再利用代数式证明定值。

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