二次函数压轴题分类复习CMG

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（1132，0）、N1（13，﹣1）；M2（1132，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

中考数学热点问题《二次函数压轴题的突破与提升》

六大必考模型专题练习

题型一：求图形面积类问题

1. 如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 .

2. 如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,此时△PCD的面积为________.

3.如图,已知二次函数2yxbxc的图象与y轴交于点A, 与x轴正半轴交于B,C两点,且BC＝2,ABCS ＝3,则b的值为( )

A.-5 B.4或-4 C. 4 D.-4

4.如图,抛物线经过A(-2,0),B,C(0,2)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标. 题型二：参数求值类问题

1. 若函数y=(m-1)x|m|+1是二次函数,则m的值为____.

2. 抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知二次函数y=-x2+2x+m.

(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围.

4. 当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1求a的值.

5. 已知二次函数263ykxx的图象与x轴有交点，求k的取值范围.

题型三：利用图像分析类问题

1. 下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象是( )

2. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量x的取值范围是 ( )

A.x<-2 B.-20 D.x>4

3.已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（ ）．

Ａ．0ac Ｂ．0b Ｃ．04ac-2b Ｄ．

二次函数在中考高频压轴题中的分类训练

基础知识：如图，已知抛物线y=- 14x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（3）证明:△ABC为直角三角形

（5）在BC上求一个点D，使得OD将△ABC的面积平分

(一)最值问题:

(6) 在抛物线的对称轴上求一点P,使PA+PC的值最小值？若P1是∠ABC角平分线上的一点，P2是射线BC上的一点，求CP1+P1P2最小值

（7）M为BC上方抛物线上的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；

（8）M为BC上方抛物线上的一点，求△BCM面积的最大值； 变式练习:1若点E是抛物线顶点，点D（4，m）在抛物线上，在X轴和Y轴上找两个点M,N使四边形DEMN的周长最小，求M和N点的坐标

2.若点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE\\BC,交AC于点E，连接CQ，当△CQE面积最大时，求点Q坐标

3.若点Q是抛物线上的动点，过点Q作QE\\X轴,交线段AC于点E，交线段BC于点F,分别过E,F两点向X轴作垂线，垂足分别为M,N，当矩形EMNF面积最大时，求点Q坐标

4.若M为BC上方抛物线上的一点，N为线段BC上的一点，且MN垂直于BC,垂足为N，求MN的最大值；

5.若M为BC上方抛物线上的一点，连接OM交BC于点N，求ONMN的最大值；

6.若M为BC上方抛物线上的一点，N为线段BC上的一点，且MN平行于AC,交点为N，求MN的最大值；

(二)面积问题:

(9)在抛物线上找一个点P,使△ABC与△PBC的面积相等

变式练习:1若点F是抛物线上的一个动点，是否存在点F使△BCF的面积为8，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由

(三)等腰三角形问题:

(10)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

中考压轴题-

二次函数综合

（八大题型+

解题方法）

1、求证“两线段相等”的问题：

借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；

然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距

离公式或点到x轴y轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行

化简,即可证得两线段相等;

2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：

由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个

端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y轴的线段长度计

算公式-yy

下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的

性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;

3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

先用点斜式或称K点法求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,

最后用中点坐标公式即可;

4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：

方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线

与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字

母y消掉,得到一个关于x的的一元二次方程,由题有△=2

b

-4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交

点,所以2

b

-4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出

x、y的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离;

方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,

再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;

方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点