高等数学教案--定积分的应用

高等数学教案—定积分的应用

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第一课时

教学过程及授课内容 教学过程

i.

一.定积分应用的微元法 用定积分计算的量的特点：

(1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [],a b 有关，且在该区间上具有可

加性. 就是说，F 是确定于 [],a b 上的整体量，当把 [],a b 分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1

n

i i F F ==

∑。

(2) 所求量F 在区间[],a b 上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [],a b 的长不成正比（否则的话，F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.

用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 1Δn

i i F F ==∑;

第二步：求出每个部分量的近似值，Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ=

第三步：写出整体量 F 的近似值，1Δn

i i F F ==∑≈

1()Δn

i

i

i f x ξ=∑；

第四步：取max{Δ}0i x λ=→时的

1

()Δn

i

i

i f x ξ=∑极限，则得

1

lim ()Δ()d n

b i i a

i F f x f x x λξ→===∑⎰.

观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可（ i ξ换为 x ；i x ∆换为 d x ）.

而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 [],a b 上无限累加，即在 []

,a b

上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 F 能用定积分计算定积分应用的微元法： (一)在区间 [微小区间

[],d x x x +，然后写出在这个小区间上

ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为F 的微

);

(二)将微元d F 在[],a b 上积分（无

限累加），即得 ()d .b a

F f x x =⎰

微元法中微元的两点说明：

(1)()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分d F ;

(2)具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元

x x f F d )(d =

二、用定积分求平面图形的面积

1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.

（1）曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及Ox 轴所围图形，如下左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d b

a A f x x =⎰.

（2）由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，如下右图，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积

[()()]d b

a

A f x g x x =-⎰.

x )

y

（3）由左右两条曲线(),()x y x y ψϕ==及,y c y d ==所围成图形（见下左图）面积微元（注意，这时就应取

横条矩形d A ，即取y 为积分变量）

d [()()]d A y y y ϕψ=-，面积[()()]d d c

A y y y ϕψ=

-⎰

.

22,y x y x ==所围成的图形的交

2,,

x 得交点（0）及（1，1）.

(2)选择分变量，写出面

积取竖条或横条作d A 上取竖条，即取x 为积分变量，x 化范围为[0，1]，于

2d )d ,A x x =-

是

(3)将A 表示成定积分，并计算

例2 求22y x =及4y x =-所围成图形面积 解 作图（如下图）

1

3

1

232

00

211)d 3

3 3.A x x x x ⎛⎫

==-=

⎪

⎝⎭⎰

(θ)

求出交点坐标(2,2),(8,4)A B -。观察图得知，宜取y 为积分变量，

y x 为积分变量，即

方便之处？），于是得

2

1[(4)]2

y y dy +-

，

4

4

22322

11

1[(4)]d 418.22

6A y y y y y y --⎛⎫=+-=+-= ⎪

⎝⎭⎰

2.极坐标下的面积计算

曲边扇形：是指由曲线()r r θ=及两条射线,θαθβ==所围成的图形（如下图）取θ为积分变量，其变化范围为[,]αβ，在微小区间 [,d ]θθθ+上“以常代变”，即以小扇形面积 d A 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为

21d ()d ,2A r θθ=将d A 在[,]αβ上积分,便得曲边扇形面积为2

1()d .2A r βα

θθ=⎰

例3计算双纽线22cos 2(0)r a a θ=>所围成的图形的面积（如下图所示）. 解：由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在

第一象限 θ的变化范围为 π

[0,]4

，于是