正方形的性质及判定
知识归纳
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点：正方形知识的灵活应用
例题讲解
一、正方形的性质
例1：如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为
F
E D C
B
A
变式1：如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．
正
方形
菱形
矩形平行四边形
变式2：将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
例2：如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．
E
D
C
B
A
变式1：如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：
AP EF =.
F E
P
D
C
B A
例3：如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=
P
D
C
B
A
变式1：如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒， 则CME CNF ∠+∠= ．
N
M
F
E
D
C
B
A
变式2：如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=
F
E
D
C
B
A
例4：如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：
BE DG =.
G
C F
E
D
B
A
变式1：如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，
CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.
B
D
C
A
E
F
变式2：已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．
（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；
（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四
边形？并说明理由．
例5：若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射
A
B
C
D
E
F E '
G
线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．
变式1：如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ．
⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；
⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个
四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．
图3
图1图2
H D
G
C F
E
B
A
O
H G
F
E
D
C B
A
变式2：如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.
B
O D C
A
Q
P
例6：如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证：DG DA =
G F
E
C D
B
A
变式1：如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数
N
M
D
C
B
A
变式2：如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，
EG 与DF 交于H ，求证：AH =正方形的边长．
H
E
G
C
D
F
B
A
例7：把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
G
C
H
F E
D
B A
变式1：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.
l
P
M F
E D
C B
A
