阿波罗提出的难题──倍立方体问题
传说在公元前４世纪，古希腊的雅典流行某种病疫，为了消除灾难，雅典人向神求助，神谕说，“要使温疫不流行，除非把太阳神阿波罗殿前的立方体香案的体积扩大一倍。”雅典人很高兴，他们认为这很容易办到，于是把旧香案的各棱放大一倍，做了一个新的立方体香案。新香案放到殿前后，人们以为可以心安理得了，未曾想疫势更加猖獗。雅典人没有办法，只得再去祈求神谕，神谕明白地告诉他们，新香案的体积并不是旧香案的两倍。这下人们给难住了。据说，人们把问题提到柏拉图那里，柏拉图又将问题交给了几何学家。
不管传说是不是真的，倍立方体问题确实曾在柏拉图的学园里研究过，并且欧多克斯、梅纳科莫斯、甚至柏拉图本人都给过了高等几何的解法。
但是，我们知道，倍立方体，化圆为方，三等分角三个问题并称几何三大难题，为初等几何作图中的三大作图不能问题。之所以不能，是因为作图条件是有限制的：只能使用圆规和无刻度的直尺。这是古希腊人对作图的要求。在《几何原本》中，欧几里德对几何作图给出了明确的规定：作图的工具只能是直尺和圆规，直尺是没有刻度的，只能用来画线，进行线段延长。圆规，只能用来画圆或画弧。这两种工具的使用次数还必须是有限的，否则也算作图不能问题。对于倍立方体问题。事实上，要作出棱长是32的立方体，而32的棱长是无法通过圆规和直尺有限次使用作出，因而倍立体问题便成为一个作图不有问题。
倍立方体的第一个进展，无疑是希波克拉底对此问题的简化：作两给定线段s和2s的两个比例中项。如果我们令x和y表示这两个比例中项，则s∶x=x∶y=y∶2s在这几个比例式中：x2=sy,y2=2sx，消去y得:x3=2s3，于是以x为边的立方体的体积就等于以s为边的立方体体积的二倍。
在希波克拉底作出简化后，倍立方体问题就成为两给定线段的两个比例中项了。这样，陆续出来一些高等几何的解法。用带刻度的尺也能解决了。
1 古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？
用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．
在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则
EG=GF=GA=BA，
从中得到：
2 ∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，
并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．
如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．
为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
1 尺规作图小史话
山东 石少玉
尺规作图有着悠久的历史.这里的“尺”指的是没有刻度的直尺，主要用来在两点间连接一条线段，或将线段向两方延长；这里的“规”指的是“圆规”，是用来画圆的工具.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
在数学史上，首先提出尺规作图限制的是古希腊的安那萨哥拉斯，他因政治上的问题，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其它有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.由于监狱条件简陋，他不可能用规范的圆规作图，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这样尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规来解决问题.但最早以理论形式具体明确这个规定的则是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人们所崇尚的尺规作图规则也一直被遵守并流传下来.
由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的就是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其它工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的制约，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡儿创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明了立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了是无理数，因此化圆为方问题也不可能用尺规作图解决.这才结束了历时两千年的数学难题公案.
瀚 一
从一传锈谈“三太 何难题＂
南京师范大学附属实验学校周 蕾
传说公元前４００年时，古希腊的第罗斯岛上流行着一种可怕的传染 病，一时人心惶惶，不可终日．人们来到阿波罗神像前，请求阿波罗神的 指示．阿波罗神给了祈求人这样一个指示：“神殿前有一个正方体祭坛， 如果能不改变它的形状而把它的体积增加１倍，那么就能消灭传染病．” 人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛，可是，那 传染病传播得更加厉害了．人们又来到阿波罗神像前祈求．神说：“我要 你们增加一倍的是祭坛的体积，你们把长、宽、高都增加１倍，祭坛的体 积不是要比原来体积大７倍了吗？”人们绞尽脑汁想找出一个答案，可是 始终没有人能解答这个难题．人们去向哲学家柏拉图请教．这就是古希 腊三个难题的开端．刚才的传说便是指其中的一个难题：作一个正方 体，使它的体积是已知正方体体积的两倍．另外两个难题是：三等分一
（３）学生视力在图示的这五个 范围中的哪个范围内的人数最多？ （４）从左向右数起，第一小组 的频率是——． （５）若视力在４．８５～５．４５均 属正常，那么全市约有——名 初中生视力正常． 解析由频数分布直方 图，从左到右各视力段的人数分别 人数（人） ７０ ６０ ５０ ４０ ３０ ２０ １０ Ｏ ３．９５ ４ ２５ ４・５５ ４・８５ ５・１５ ５・４５视力 图２ 为３０人、４０人、５０人、７０人、５０人，从而 （１）本次共抽取了（３０＋４Ｏ＋５０＋７０＋５０）名，即２４０名学生进行调查． （２）样本指的是２４０名学生的视力． （３）视力在４．８５～５．１５范围内的人数最多． （４）从左到右数起，第一小组的频率等于３０÷２４０，为０．１２５． （５）全市初中生视力正常的学生人数约等于３０ ０００×［（７０＋５０）÷ ２４０］，即为１５ ０００名．
维普资讯 个任意角；作一个正方形，使它面积等于已 这３个问题便是数学史上著名的三大 世纪首次由古希腊雅典城内一个包括各方 出的．古代希腊人较重视圆规、直尺在数学 此他们提出了用尺规作图来解决这３个问题．这３个作图题一般分别称 为：１．三等分角；２．倍立方；３．化圆为方．从表面上看，这３个问题并不 起眼，似乎很简单，古希腊学者也研究出了各种画法．但是，所有解答都 无法严格遵守尺规作图的限制（尺规作图是指只用圆规和没有刻度的单 边直尺来作图）． 在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾拿起直尺 和圆规来挑战它．无数的人失败了，人们在失败中逐渐怀疑这些问题是 无法用尺规作图法解决的．于是转而研究这些问题的反面．因为谁要是 证明了这几个几何难题不能用尺规作图法解决，谁也就解决了三大几何 难题． 在１７世纪，笛卡儿发明了解析几何之后，数学家们借助“几何与代 数”统一的思想，解决了这三大难题．三大几何难题，最后因代数学的发 展才得以解决，将这３个问题翻译成代数思维，即： １．倍立方设给定的立方体的边为单位长，设边长为 的立方体 的体积为２，则 满足： 一２．于是，我们的问题是：数 一 ２是否能 用直尺和圆规作出？ ２．化圆为方 设圆的半径为一个单位，要作一面积等于单位圆的 正方形，设这个正方形边长为 ，则 。一７【．于是，问题相当于能否用尺 规作出一条长为、／７【的线段？ ３．三等分角 可以用各种不同的方式来得到这个问题的代数等价 问题，常用的方式之一是将三等分角的问题转化为方程的根能否用尺规 作出． 可见，最终这３个问题都归结为一些数可否用尺规作出的问题． １８７３年，法国数学家闻脱兹尔在研究阿贝尔定律化简时，首先证明 了三等分角和倍立方问题是不能用尺规作图解决的；接着，１８８２年，德 国数学家林德曼证明化圆为方问题也是不能用尺规作图解决的，三大几 何难题这才算彻底解决了．２ ４００多年来，人类在解决三大几何作图难题 的漫漫征程中显示出卓越的智慧和顽强的意志．
