高考数学最新真题专题解析—二项式定理与随机变量的分布（新高考卷）
【母题来源】2022年新高考I卷
【母题题文】
(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答)．
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．
【解答】
解：因为 (𝑥+𝑦)8 展开式的通项 𝑇𝑟+1=𝐶8𝑟𝑥8−𝑟𝑦𝑟 ，
令 𝑟=5 ，则 𝑥3𝑦5 的系数为 𝐶85=56 ；令 𝑟=6 ，则 𝑥2𝑦6 的系数为 𝐶86=28 ，
所以 𝑥2𝑦6 的系数为 −56+28=−28 ．
【母题来源】2022年新高考II卷
【母题题文】
随机变量𝑋服从正态分布𝑁(2,𝜎2)，若𝑃(2<𝑥≤2.5)=0.36，则𝑃(𝑋>2.5)=
【答案】0.14
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的意义，正态曲线的对称性及其应用．
【解答】
解：由题意可知， 𝑃(𝑋>2)=0.5 ，故 𝑃(𝑋>2.5)=𝑃(𝑋>2)−𝑃(2<𝑋⩽2.5)=0.14 ．
【命题意图】
1. 考察二项式定理及其应用，考察基本计算能力和逻辑推导能力。
2. 考察正太分布，考察正态分布特征。
【命题方向】
1.二项展开基本定理，还会涉及到三项展开。考察特定项，特定项的系数，二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用。多为小题。
2.考察正太分布，二项分布，超几何分布等常见的分布。
【得分要点】
一、二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Crn(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的Crnan－rbr叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Crnan－rbr．
2．1.2 离散型随机变量的分布列
1．问题导航
(1)离散型随机变量的分布列的定义是什么？两点分布和超几何分布的定义是什么？
(2)离散型随机变量分布列的性质有什么作用？两点分布与超几何分布的联系和区别是什么？
2．例题导读
(1)例1是求两点分布列，请试做教材P49练习1题．
(2)例2、例3是求超几何分布，请试做教材P49练习3、4题．
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，„，xi，„，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，„，n)的概率P(X＝xi)＝________p________i，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 „ xi „ xn
P p1 p2 „ pi „ pn
这个表格称为离散型随机变量X的________概率分布列，简称为X的________分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①________pi≥0，i＝1，2，„，n；
②i＝1npi＝1.
2．两个特殊分布
(1)两点分布
X 0 1
P 1－p p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，„，m，
即
X 0 1 „ m
P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN „ CmMCn－mN－MCnN
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
1．判断(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、离散型随机变量的均值
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.
随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.
知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X的分布列，在ｎ次试验中，有p1n次出现了x1，p2n次出现了x2，…，pnn次出现了xn，在ｎ次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此ｎ次试验中，X出现的平均值=nnxpnxpnxpnni221=EX，即EX=p1x1+p2x2+…+pnxn.
辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值.
二、随机变量函数的数学期望
对随机变量X，若Y=ａX＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.
对上述公式，特别地：
(1)当a=0时，E（b）=b，即常数的数学期望就是这个常数本身；
(2)当a=1时，E（X＋b）=EX＋b，即随机变量X与常数之和的期望等于X的期望与这个常数的和；
(3)当b=0时，E(aX)=aEX，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
三、常见的离散型随机变量的均值
1.两点分布：若X服从两点分布，则EX=p.
事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p，X是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p，则有P（X=0）=q，P（X=1）=p，可得:
EX=0×q＋1×p=p.
高中数学知识点总结 第 1 页 共 2 页 高中数学知识点总结：随机变量及其分布
随机变量及其分布
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， … ； ② p1 + p2 +…+pn= 1．
5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：
其中0
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPXkkmC，
其中min,mMn,且*,,,,nNMNnMNN≤≤
7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、公式： .0)(,)()()|(APAPABPABP
9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。)()()(BPAPBAP
10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中
