数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式
欧阳家百（2021.03.07）
根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 一、n S 是数列{}n a 的前n 项的和
型一：1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 【方法】： “1n n S S --”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n 的值 (如1n =的情况
【例1】.（1）已知正数数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且对任意的正整数n
满足1n a =+，求数列{}n a 的通项公式。
（2）数列{}n a 中，11a =对所有的正整数n 都有
2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a 的通项公式
【作业一】
1－1.数列{}n a 满足2
1
*123333()3
n n n
a a a a n N -++++=∈，求数
列
{}n a 的通项公式．
（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1
()n
n a f n a -= 型一：1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列
通项公式的方法）
【方法】
1()n n a a f n --=，
12(1)n n a a f n ---=-，
……，
21(2)a a f -=2n ≥，
从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++，检验1n =的情况
型二：1
()n n a
f n a -=，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公
式的方法）
【方法】2n ≥，12121
()(1)(2)n n n n a a a
f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅
即1
()(1)(2)n
a f n f n f a =⋅-⋅⋅，检验1n =的情况
【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.
【例2】. (1) 已知2
11=a ，)2(1
1
21≥-+=-n n a a n n
，求
n a .
（2）已知数列
{}n a 满足1
2n n n a
a n +=+，且3
21=a ，求n a . 【例3】.（2009广东高考文数）在数列
{}
n a 中，
11111,(1)2
n n n n a a a n ++==++.设n
n
a b n =，求数列{}n b 的通
项公式
（三）.待定系数法
1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）
【方法】构造
1()
n n a x c a x ++=+，即1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1
n p
a c +-为等比数列 【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
(四).倒数法
1n
n n ka a ca p +=
+ (,,k p c 为非零常数)
【方法】两边取倒数，得111n n p c
a k a k
+=⋅+, 转化为待定系数法求解
【例5】. 已知数列{}n a 的首项为1
35
a =，1321n
n n a a a +=+，1,2,n =，求{}n a 的通项公式
数列专题2
1.数列a1240，则a1＋…＋ak ＋…＋a10之值为( ) A ．31 B ．120C ．130 D ．185
练习1．已知数列{an}的通项公式是an ＝2n －1
2n ，其前n 项和Sn ＝321
64，则项数n 等于( )
A ．13
B ．10
C ．9 D
．6
2.1，则数列
{1
f(n)}(n ∈N*)的前n 项和是( )
A.n n ＋1
B.n ＋2n ＋1
C.n
n －1
D.n ＋1n 练习2. 数列an ＝1n(n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐
标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9C ．10 D
．9
3.求和：Sn ＝1a ＋2a2＋3a3＋…＋n
an .
练习3(2010·昌平模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋
3n－1an＝n
3，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝n
an，求数列{bn}的前n项和Sn.
