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高中数学二次函数对称轴问题

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高中数学二次函数对称轴
问题

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二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对
称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。

分析：将fx()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2
当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：
（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是
fmfn()()、
中的较大者。
（2）当bamn2，时
若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()
若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()
当a0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为
解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴
变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数
在定区间上的最值”。

例1.函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

图1图2
练习.已知232xx，求函数fxxx()21的最值。
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函
数在动区间上的最值”。

例2.如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。

图1图2图8
例3.已知2()23fxxx，当[1]()xtttR，时，求()fx的最大值．
二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a0时))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf

当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图212212910
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们
称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4.已知x21，且a20，求函数fxxax()23的最值。
图3
例5.(1)求2f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数)(axxy在]1,1[x上的最大值。
4.轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函
数在动区间上的最值”。

例6.已知24()(0),yaxaa，求22(3)uxy的最小值。
二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7.已知函数2()21fxaxax在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

例8.已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。
例9.已知二次函数2f(x)ax(2a1)x1在区间3,22上的最大值为3，求实数a的
值。
补充练习作业

1求函数322xxy在1,ttt的最大值和最小值
2若函数1)(2axxxf在3,0上的最小值为2求实数a的值
3关于x的不等式0122axx在3,1x上恒成立，求a的取值范围
4设222axxxf当,1x时，axf)(恒成立，求a的取值范围
5已知函数1,1,)1(23)(22xaxaxxf
（1） 写出函数最小值)(ag的解析式
（2） 若)(xf的最小值为13求a的值

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新教材数学函数对称性高中洋葱数学

新教材数学函数对称性高中洋葱数学

新教材数学函数对称性高中洋葱数学新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。

所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。

一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

高中函数对称轴的总结归纳

高中函数对称轴的总结归纳

高中函数对称轴的总结归纳在高中数学中，函数作为一个重要的概念经常被学生们所接触和学习。

而其中一个重要的内容就是函数的对称性质，特别是对称轴。

本文将对高中函数对称轴的相关知识进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、对称轴的定义及特点对称轴是指函数图像关于某一条直线对称的性质。

在平面直角坐标系中，如果对于函数图像上的任意一点，它关于直线x=a对称的点也在图像上，那么直线x=a就是函数的对称轴。

对称轴有以下几个特点：1. 对称轴一般是垂直于x轴的直线，但也可以是斜线。

2. 对称轴将函数图像分成两个部分，每个部分关于对称轴对称。

3. 对称轴上的点对应的x坐标值是相等的，即x=a对应于x=-a。

二、常见函数及其对称轴1. 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。

奇函数的对称轴一定是y轴，因为对于任意的x，有f(x)=-f(-x)。

奇函数的图像关于y轴中心对称。

2. 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。

偶函数的对称轴一定是x轴，因为对于任意的x，有f(x)=f(-x)。

偶函数的图像关于x轴中心对称。

3. 二次函数二次函数的一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0。

二次函数的对称轴的x坐标可以通过求解方程f(-x)=f(x)得到。

具体而言，首先将f(x)中的x替换为-x，然后将f(-x)与f(x)进行比较，令两个函数相等，解方程得到x的值，即得到对称轴的x坐标。

4. 三角函数三角函数的对称轴一般与x轴垂直，具体位置与函数的性质相关。

例如，正弦函数和余弦函数的对称轴为x轴，而正切函数的对称轴为直线x=π/2+kπ，其中k为整数。

三、对称轴的求解方法1. 根据函数的性质直接判断根据函数的定义和性质，可以直接判断函数的对称轴。

例如，奇函数的对称轴为y轴，偶函数的对称轴为x轴。

2. 求解方程判断对称轴位置对于一些复杂的函数，可以通过求解方程f(-x)=f(x)来确定对称轴的位置。

对称轴和顶点坐标公式

对称轴和顶点坐标公式

如何使用顶点坐标公式和对称轴推导二次函数的解析式二次函数是高中数学中重要的知识点，同时也是SAT、ACT等美国高考中的常考内容。

在学习二次函数时，对称轴和顶点坐标公式有着重要的作用，通过使用它们可以快速推导二次函数的解析式。

首先我们来看顶点坐标公式，它的表示形式为（h，k），其中h为顶点x坐标，k为顶点y坐标。

那么如何通过顶点坐标公式推导二次函数的解析式呢？我们来举个例子：给出顶点坐标为（-1，3），另一点坐标为（1，-1），推导出这个二次函数的解析式。

首先，我们可以通过顶点坐标公式得到该二次函数的顶点坐标为（-1，3）。

接下来，我们可以利用标准式y = a(x-h)² + k来推导该二次函数的解析式。

将给出的另一点坐标（1，-1）代入，得到-1 = a(1+1)² + 3。

化简后得到a = -1/4。

因此，该二次函数的解析式为y = -1/4(x+1)² + 3。

接下来让我们来看对称轴的坐标公式，它的表示形式为x = h，其中h为对称轴的x坐标。

那么如何通过对称轴推导二次函数的解析式呢？我们还是举个例子：给出对称轴坐标为x = 2，顶点坐标为（2，-5），推导出该二次函数的解析式。

我们可以根据对称轴的坐标公式得到x = 2是对称轴的x坐标，那么顶点的x坐标也一定为2。

因此，我们可以得到该二次函数的顶点坐标为（2，-5）。

接下来，我们可以利用标准式y = a(x-h)² + k来推导该二次函数的解析式。

将顶点坐标（2，-5）代入，得到-5 = a(2-2)² + k。

化简后得到k = -5。

另外，由于对称轴为x = 2，那么我们可以通过平移的方式得到顶点坐标为（0，-5）的二次函数。

因此，我们可以得到该二次函数的解析式为y = a(x-2)² - 5。

最后，我们可以利用题目中给出的另一点来求得a的值。

将（3，-2）代入，得到a = 1/4。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将对二次函数的定义、性质、图像及其相关内容进行总结。

一、二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a 表示二次项的系数，b 表示一次项的系数，c 表示常数项。

二次函数的定义域为全体实数集。

二、二次函数的性质1. 凹凸性：二次函数的凹凸性取决于a 的正负性。

当a > 0 时，函数图像开口向上，为凹函数；当 a < 0 时，函数图像开口向下，为凸函数。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是 x = -b / (2a)。

对称轴是图像的中心线，函数图像关于对称轴对称。

3. 零点：二次函数的零点是指函数值等于零的 x 值。

二次函数的零点可以有 0、1 或 2 个。

当判别式 D = b^2 - 4ac > 0 时，有 2个不同的实零点；当 D = 0 时，有一个实零点；当 D < 0 时，没有实零点。

4. 最值：当二次函数的开口向上时，函数的最小值为 f(-b / (2a)) = c - (b^2 - 4ac) / (4a)；当二次函数的开口向下时，函数的最大值为 f(-b / (2a)) = c + (b^2 - 4ac) / (4a)。

三、二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其开口方向、顶点、对称轴和零点等特征在前面已经介绍过。

关于图像的绘制，可以根据以下步骤进行：1. 确定顶点：顶点的横坐标为 -b / (2a)，纵坐标为 f(-b / (2a))。

2. 确定对称轴：对称轴的方程为 x = -b / (2a)。

3. 确定开口方向：根据 a 的正负性可以确定开口方向。

4. 确定零点：根据判别式 D 的值可以确定零点的情况。

除了以上内容，二次函数还与一些相关概念有密切联系：1. 判别式：二次函数的判别式 D = b^2 - 4ac 可以用来判断二次函数的零点情况。