舒城韶申辅导学校一元二次方程培优训练题

九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案

一、一元二次方程

1．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．

【答案】（1）k＞34；（2）15.

【解析】

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22mn，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，

∴k＞34；

(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，

设方程的两个根为m，n，

∴m＋n＝5，mn＝5，

∴矩形的对角线长为：222215mnmnmn.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．

【解析】

【分析】 （1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；

⼀元⼆次⽅程专题能⼒培优（含答案）

第2章 ⼀元⼆次⽅程 2.1 ⼀元⼆次⽅程

专题⼀ 利⽤⼀元⼆次⽅程的定义确定字母的取值1.已知2

(3)1m x -+=是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m 的取值范围是（ ）

A.m ≠3

B.m ≥3

C.m ≥-2

D. m ≥-2且m ≠3

2. 已知关于x 的⽅程2

1

(1)(2)10m

m x m x +++--=，问：

（1）m 取何值时，它是⼀元⼆次⽅程并写出这个⽅程； （2）m 取何值时，它是⼀元⼀次⽅程？

专题⼆ 利⽤⼀元⼆次⽅程的项的概念求字母的取值3.关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-1）x 2+5x+m 2

-1=0的常数项为0，求m 的值．

4.若⼀元⼆次⽅程2

(24)(36)80a x a x a -+++-=没有⼀次项，则a 的值为 .

专题三 利⽤⼀元⼆次⽅程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的⽅程x 2

+bx+a=0的⼀个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2

6.若⼀元⼆次⽅程ax 2

+bx+c=0中，a －b+c=0，则此⽅程必有⼀个根为 .

7.已知实数a 是⼀元⼆次⽅程x 2

－2013x+1=0的解，求代数式221

20122013

a a a +--的值.

知识要点：1.只含有⼀个未知数（⼀元），并且未知数的最⾼次数是2（⼆次），等号两边都是整式的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程.

2.⼀元⼆次⽅程的⼀般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2

是⼆次项，a 是⼆次项系数；bx 是⼀次项，b 是⼀次项系数；c 是常数项.3.使⼀元⼆次⽅程的两边相等的未知数的值，叫做⼀元⼆次⽅程的解，⼜叫⼀元⼆次⽅程的根.温馨提⽰：1.⼀元⼆次⽅程概念中⼀定要注意⼆次项系数不为0的条件.

2.⼀元⼆次⽅程的根是两个⽽不再是⼀个.

⽅法技巧：1.ax k

+bx+c=0是⼀元⼀次⽅程的情况有两种，需要分类讨论.

2.利⽤⼀元⼆次⽅程的解求字母或者代数式的值时常常⽤到整体思想，需要同学们认真领

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？

(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．

【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．

试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；

（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．

考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．

2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．

【答案】x1=1+3，x2=1﹣3

【解析】

试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.

试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，

解得：x1=1+3，x2=1﹣3．

3．已知关于x的一元二次方程222130xkxk有两个实数根．

1求k的取值范围； 2设方程两实数根分别为1x，2x，且满足221223xx，求k的值．

【答案】（1）134k；（2）2k．

【解析】

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．

【答案】x1=1+3，x2=1﹣3

【解析】

试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.

试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，

解得：x1=1+3，x2=1﹣3．

2．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．

【答案】（1）120；（2）20．

【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．

试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；