连续小波变换及小波框架算子的一些性质

第2章 连续小波与二进小波变换信号处理的应用随处可见，当你用数码相机拍摄照片，当你听着MP3音乐，你有没有想过，正是信号处理技术使你轻松的获得娱乐。

信号处理的主要任务是将现有的信号处理技术进行总结和抽象，信号处理的任务是认识客观世界中存在的信号的本质特征，并找出规律。

从不同的角度去认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。

信号的表示方式很多，时间形式和频率形式是最重要的两种形式。

时间形式是基于传感器采样得到的信号强度数据。

这种数据很直观。

除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。

频率的表示方法是建立在傅里叶分析（Fourier Analysis ）基础之上的，由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，而时频局部性质恰好是非平稳信号最基本和最关键的性质。

为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform ）、小波变换等。

短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，它选择一个时频局部化的窗函数。

短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg 不确定准则的限制，时频窗的面积有下界。

这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。

Gabor 变换是海森伯不确定准则下的最优的短时傅里叶变换。

高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数。

具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是Gabor 变换。

与短时傅里叶变换一样，Gabor 变换也是单一分辨率的。

小波变换使用小波基函数，时频窗面积不变，但形状可改变。

小波函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析（Multiresolution Analysis ）的特点，克服了短时傅里叶变换分析非平稳信号单一分辨率的困难。

小波变换是一种时间-尺度分析方法，而且在时间、尺度（频率）两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。

和 WFT 在所有时间和频率都有相同的分辨率不一 样， 小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分 辨率，而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨 率。 即小尺度因子 （对应高频段） 有更好的尺度分辨率 （即能更精确地确定尺度因子的值） ，大尺度因子对应 于更差的尺度分辨率。
例 已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋ 5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下：
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
程序输出结果如下图所示。灰度颜色越深，表示系数的值 越大。
图1.11
3.3 几种常用的连续小波基函数
Harr 小波（1910 年由数学家 A. Harr 提出）
1 0 t 1 2 1 t 1 1 2 0 else

2
h(t)=

Parseval恒等式
正则性
可重建性 频域定义
p t (t)dt 0, R
p 1,2,, n
CWT ( , a) ,a (t ) dad a2
1 f (t ) C



CWT ( , a)
a 2



F ( )(a )e j d
8
2.1 连续小波变换
类似地，设()L2(R)， ()L2(R)， ()的 中心为 2 ( ) d c 2 ( ) 2
频宽定义为
( ) 2 ( ) 2 d c 2 ( ) 2
(容许性条件)
2
连续小波就是空间L2(R)中满足下述条件的函数或者信号
C *
R
( )

d
其中()是基本小波函数(t)的FT
3
2.1 连续小波变换
对于平移和尺度因子分别为 和a，连续小波基定义为：
t - , a (t ) ( ) a a 1 (a > 0)
14
2.1 连续小波变换
信号f(t)的连续小波变换CWT(, a)具有如下性质 容许性
能量比例性 1 2 dad 2 CWT ( , a ) f ( t ) dt 2 C a
R
C *
( )
2
d
1/ 2
9
2.1 连续小波变换
j ( ) a e (a ) 可计算 ,a
的中心和频宽分别为
c (1 / a) c
(1 / a)
与STFT对应，在时间－尺度平面(, a)上，f(t)的小波 变换主要依赖于区间

ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b， 宽度为 ta,b=a t，
1 a , b 0 ，宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 a
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上， 设 f(t)是一个给定函数， 则当 s>1 时， f(st) 表示 f(t)的一个紧缩，当 s<1 时，则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中，当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀，当 a<1 时基函数被紧缩。
然后在尺度因子 a=1 处的小波向右移动 τ 个单位到 b=τ 处，在 a=1，b=τ 处计算 CWT，这相当于得到了时 间—尺度平面上对应于点 a=1，b=τ 的变换值。 重复上述过程， 直到到达信号的结束。 这时对应于尺 度因子 a=1 的时间—尺度平面上的一行点计算完毕。 然后 a 的值增加一点点。本来这是一个连续变换， 因此 b 和 a 的值应该连续增加。但如果用计算机来计算 小波变换的话，则 b 和 a 都必须以小步长增加。这就相 当于对时间—尺度因子相平面进行采样。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ，中心为 0，则 t0= || ||
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。