圆锥曲线复习与小结
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圆锥曲线复习与小结（1）
一、知识回顾
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
定义 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方
程 标准方程 12222byax(ba>0) 12222byax(a>0,b>0) y2=2px
参数方程
为离心角）参数(sincosbyax
为离心角）参数(tansecbyax ptyptx222(t为参数)
范围 ─axa，─byb |x| a，yR x0
中心 原点O（0，0） 原点O（0，0）
顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) ,
(0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)
对称轴 x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b. x轴
焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) )0,2(pF
焦距 2c （c=22ba） 2c （c=22ba）
离心率 )10(eace )1(eace e=1
准线
x=ca2 x=ca2 2px
渐近线 y=±abx
焦半径 exar )(aexr 2pxr
通径
ab22 ab22
2p
焦参数
ca2 ca2
P
2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
3. 等轴双曲线
4. 共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
二、几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的最小距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．
例2 设Q是圆x2+y2=4上的动点，另有点(3,0),A线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
3．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分OB的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程.
4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x被双曲线截得线段长等于25，求此双曲线方程．
三、课堂练习
1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．
2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．
3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．
4．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
四、作业 同步练习 080F1
圆锥曲线复习与小结（2）
教学目标：1.使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置的判定及直线与圆锥曲线相交的有关问题．
2.培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．
教学重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
教学难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．
教学过程
一、点、直线与圆锥曲线的位置关系
1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．
2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离．这三种位置关系的条件是：
设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0 ; 由0(,)0AxByCFxy 消去y（或x）得：
ax2+bx+c=0 (a≠0) ;令Δ=b2-4ac, 则
（1）Δ>0⇔相交；
（2）Δ=0⇔相切
（3）Δ<0⇔相离.
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
二、例题
例1 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆2215xym总有公共点，求m的取值范围．
提示：分别从曲线和方程与数形结合思想两个角度分析、解题.
例2 椭圆C: 22143xy上有相异两点关系直线l: y=4x+m 对称，求m的取值范围．
点拨1：对称点在直线 l’ ： 14yxn上，且l’与椭圆C有两个不同的交点，可用“判别式法”.
点拨2：两对称点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)连线的中点M(x0，y0)在椭圆C内，可用“内点法”．
说明：判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法
例3.已知抛物线C：y=─x2+mx─1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线段AB有两个交点，求m的取值范围.
提示：转化为一元二次方程根的分布.
例4.过椭圆C：12222byax(a>b>0)上一动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，求△MON面积的最小值
点拨：充分利用平几知识解题.
三、练习
1.设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为35，求k的值．
2.(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？
(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？
3.求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．
四、作业 同步练习 08F2
圆锥曲线复习与小结（3）
教学目标：使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等．
教学重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．
教学难点：双圆锥曲线的相交问题．
教学过程
一、与圆锥曲线有关的几种典型题
1．圆锥曲线的弦长求法
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：
(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
例1 过抛物线214yx的焦点作倾斜角为α的直线l交抛物线于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．
2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．
例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：
(1)x2+y2的最大值与最小值；
(2)x+y的最大值与最小值．
3．与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．
例3 在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：
(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；
4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题
直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”
与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法．
例4.已知曲线22212():1:12yaCxCyx及有公共点，求实数a的取值范围．
二、练习
1.求椭圆2214xy到点A(1,0)的距离为最小的点P的坐标.
2．已知圆(x-1)2+y2=1与抛物线y2=2px有三个公共点，求P的取值范围．
3.证明：椭圆221205xy与双曲线221123xy的交点是一个矩形的顶点．
三、作业 同步练习 08F3
圆锥曲线复习与小结（4）
教学目标：通过对例题的分析、讨论，使学生进一步明确本章的主要数学思想方法及如何应用基本的数学思想方法解题.
教学过程
一、例题
例1 已知抛物线C:y2=4x,若椭圆的左焦点及相应准线与C的焦点F和准线l分别重合（如图所示）.
（1） 求椭圆短轴端点B与焦点F的连线中点P的轨迹方程.
（2） 若M(m,0)是x轴上一点，Q是（1）所求曲线上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求其值，若无，说明其理由.
例2 已知直线l:y=mx-4和抛物线C:y2=8x,m是何实数时，l与C有仅有一个公共点？若l与C有两个公共点，求l的倾斜角α的取值范围.
例3 如图，已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.
例4 已知椭圆2214xy的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p>0)与椭圆在第一象限内的xy2=4xyPOFBCxlyOBA
