2013-2014学年高中数学第十七教时绝对值不等式与一元二次不等式练习课教案新人教A版必修1

二 绝对值不等式

2.绝对值不等式的解法

1．掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题．

2．了解绝对值不等式的几何解法．

1．含有绝对值的不等式的解法(同解性)

(1)|x|＜a ，a>0， ，a≤0.

(2)|x|＞a ，a>0， ，a＝0， ，a<0.

对于不等式|x|＜a(a＞0)，由绝对值的几何定义知，它表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合．如图：

【做一做1】 若集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝( )

A．{3} B．{0} C．{0,2} D．{0,3}

2．|ax＋b|≤c(c＞0)，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c(c＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组__________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集．

(2)|ax＋b|≥c(c＞0)的解法是：先化为________或__________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集．

【做一做2－1】 若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2＜5x－6，则p是q的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【做一做2－2】 |2x＋1|＞|5－x|的解集是__________．

3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

有三种不同的解法：

解法一可以利用绝对值不等式的________．

解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的______，进而去掉__________．

解法三可以通过________，利用__________，得到不等式的解集．

|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的三种解法可简述为：①几何意义；②根分区间法；③构造函数法． 【做一做3】 不等式|x－1|＋|x－2|＜2的解集是__________．

- 1 - 2．2 基本不等式

第1课时 基本不等式

[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

[重点] 基本不等式的内容及证明．

[难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．

知识点 两个不等式

[填一填]

1．重要不等式：∀a,b∈R,有a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时,等号成立．

2．基本不等式：如果a,b∈R＋,那么ab≤a＋b2,当且仅当a＝b时,等号成立．其中a＋b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

[答一答]

1．下面是基本不等式ab≤a＋b2的一种几何解释,请你补充完整．

如图所示,AB为⊙O的直径,AC＝a,CB＝b,过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于D,连接OD,AD,BD.

(1)由射影定理可知,CD＝ab,而OD＝a＋b2；

(2)因为OD≥CD,所以a＋b2≥ab,当且仅当C与O重合,即a＝b时,等号成立；

(3)基本不等式ab≤a＋b2的几何意义是半径不小于半弦．

2．不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式ab≤a＋b2成立的条件有什么不同？ - 2 - 提示：不等式a2＋b2≥2ab对任意实数a,b都成立；ab≤a＋b2中要求a,b都是正实数．

3．(1)基本不等式中的a,b可以是代数式吗？

(2)a＋b2≥ab与a＋b22≥ab是等价的吗？

提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数,否则不成立．

(2)不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R.

类型一

用基本不等式比较大小

[例1]

若0

[解] ∵0

∴a＋b>2ab,a2＋b2>2ab,∴四个数中最大的应从a＋b,a2＋b2中选择．

而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1),

∵0

∴a2＋b2－(a＋b)<0,即a2＋b2

《绝对值不等式的解法》教学设计

教学目标

1、理解并掌握xa和xa型不等式的解法.

2、充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明.

教学重、难点

重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用.

难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.

教学过程

一、复习引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解.

请同学们回忆一下绝对值的意义.

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值.即

0000xxxxxx，如果，如果，如果.

在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式.

二、新课学习：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式.下面分别就这两类问题展开探讨.

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式.主要的依据是绝对值的几何意义.

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型.

第一种类型：设a为正数.根据绝对值的意义，不等式ax的解集是}|{axax，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间(－a，a)，如图所示.

a a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解.

第二种类型：设a为正数.根据绝对值的意义，不等式ax的解集是

{|xax或ax}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间),(),,(aa的并集.如下图所示.

-a a

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解.

3、cbax和cbax型不等式的解法.

cbaxccbax

第二课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用(习题课)

简单的分式不等式的解法

[例1] 解下列不等式：

(1)x＋12x－1＜0；(2)1－x3x＋5≥0；(3)x－1x＋2＞1.

[解] (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，

∴－1＜x＜12，

故原不等式的解集为x－1＜x＜12.

(2)原不等式可化为x－13x＋5≤0，

∴（x－1）（3x＋5）≤0，3x＋5≠0，

∴－53≤x≤1，x≠－53，即－53＜x≤1.

故原不等式的解集为x－53＜x≤1.

(3)原不等式可化为x－1x＋2－1＞0，

∴x－1－（x＋2）x＋2＞0，

∴－3x＋2＞0，则x＜－2.

故原不等式的解集为{x|x＜－2}．

简单分式不等式的解法

(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零；

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

[跟踪训练]

解下列不等式： (1)2x－13x＋1≥0；(2)2－xx＋3＞1.

解：(1)原不等式可化为（2x－1）（3x＋1）≥0，3x＋1≠0.

解得x≤－13或x≥12，x≠－13.

∴x＜－13或x≥12，

∴原不等式的解集为xx＜－13或x≥12.

(2)原不等式可化为（2－x）－（x＋3）x＋3＞0，

化简得－2x－1x＋3＞0，

即2x＋1x＋3＜0，

∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－12.

∴原不等式的解集为x－3＜x＜－12.

不等式恒成立问题

[例2] 已知函数y＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，不等式y＜0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若对于一切实数x，不等式y≥－2恒成立，求实数m的取值范围．