2021年四川省内江市威远县严陵中学八年级下学期中数学试卷解析 (2).doc

四川省内江市2021版中考数学二模试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（满分30分） (共10题；共30分)1. （3分）(2018·正阳模拟) 下列运算正确的是（）A . x2+x2=x4B . a3•a2=a6C . （2x2）3=6x6D . |1﹣ |= ﹣12. （3分） (2019七下·汝州期末) 下列计算正确的是（）A .B .C .D .3. （3分）(2017·襄阳) 下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）A .B .C .D .4. （3分）在函数y=的图象上有三点（-1，y1），（-，y2），（，y3）则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）A . y2＜y3＜y1B . y3＜y2＜y1C . y1＜y2＜y3D . y3＜y1＜y2 ．5. （3分） (2016七上·怀柔期末) 如图所示的圆柱体从左面看是（）A .B .C .D .6. （3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A . 5mB . 12mC . 13mD . 18m7. （3分） (2020九下·萧山月考) 不等式的解是（）A . 1≤x<2B . x>2C . -1≤x<D . x>8. （3分） (2019九上·宜兴期末) 如图，，直线与分别相交于点和点，若， ,则的长是（）A .B .C . 6D . 109. （3分） (2019九上·汨罗期中) 甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和，则原方程为（）.A .B .C .D .10. （3分）(2017·陆良模拟) 如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D （5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动x秒时，△EOF的面积为y（平方单位），则y 关于x的函数图象大致为（）A .B .C .D .二、填空题（满分27分） (共9题；共27分)11. （3分） (2019八上·昭通期中) 今年上半年，我市生产总值达到亿元，将亿元用科学记数法表示为________元12. （3分）(2020·长沙模拟) 如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A ，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为________．13. （3分）(2020·阿城模拟) 计算： ________.14. （3分）(2020·哈尔滨模拟) 因式分解：x2-2x2y+xy2=________。

2021年四川省宜宾市中考数学试卷（解析）2021年四川省宜宾市中考数学试卷一、选择题；本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．1. ﹣2的绝对值是（ ）A. 2B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A ．2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：A ．不是轴对称图形，B ．不是轴对称图形，C ．不轴对称图形，D ．是轴对称图形，故选D ．【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．3. 2021年宜宾市中考人数已突破64000人，数据64000用科学记数法表示为（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，由此即可求解．【详解】解：由题意可知：64000=6.4×104，故选：B ．是1212-2-36410⨯46.410⨯50.6410⨯56.410⨯【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题，关键是确定a 的值以及n 的值．4. 若长度分别是a 、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a 的取值范围即可得解．【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．5. 一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°【答案】B【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，即可求解．【详解】解：∵∠1＝55°，∴∠AFD =55°，∴∠ADF =180°-45°-55°=80°，∵MN ∥HK ，∴∠AEG =∠ADF =80°，∴∠2=80°-45°=35°．故选B ．5353a -<<+28a <<【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．6. 下列运算正确的是（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：与不是同类项，不能相加，故选项A 错误；选项B ：，故选项B 错误；选项C ：，故选项C 错误；选项D ：，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键．7. 下列说法正确的是（ ）A. 平行四边形是轴对称图形B. 平行四边形的邻边相等C. 平行四边形的对角线互相垂直D. 平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，23a a a +=()32622a a =623a a a ÷=325a a a ⋅=a 2a ()32628a a =62624a a a a -÷==33522a a a a +⋅==D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．8. 若关于x的分式方程有增根，则m 的值是（ ） A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣2 【答案】C【解析】【分析】先把分式方程化整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．【详解】解：， 去分母得：， ∵关于x 的分式方程有增根，增根为：x =2， ∴，即：m =2，故选C ．【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 9. 如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD 、BE 的交点，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是（ ）A. B. 2 【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD ⊥BC ，BD =BC =6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解． 【详解】解：AB ＝AC ＝10，BC ＝12， AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，BD =BC =6， 为322x m x x -=--322x m x x -=--()32x x m --=322x m x x -=--()2322m --=1212106AB AO BD OD ==12∴AD，过点O 作OF ⊥AB ，∵BE 平分∠ABC ，∴OF =OD ，∵∴，即：，解得：OD =3， ∴tan ∠OBD =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出，是解题的关键．10. 若m 、n 是一元二次方程x 2＋3x ﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 12 【答案】C【解析】【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m ＋n =−3，mn =−9，而m 是方程的一个根，可得m 2＋3m −9=0，即m 2＋3m =9，那么m 2＋4m ＋n =m 2＋3m ＋m ＋n ，再把m 2＋3m 、8=1212AOBDOB AB OF S AO AB S OD BDBD OD ⋅===⋅V V 106AB AO BD OD ==8106OD OD -=3162OD BD ==AB AO BD OD=24m m n ++m ＋n 的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，∴m ＋n ＝−3，mn ＝−9，∵m 是x 2＋3x −9＝0的一个根，∴m 2＋3m −9＝0，∴m 2＋3m ＝9，∴m 2＋4m ＋n ＝m 2＋3m ＋m ＋n ＝9＋（m ＋n ）＝9−3＝6．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根x 1、x 2之间的关系：x 1＋x 2=−，x 1•x 2=． 11. 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A. 27B. 42C. 55D. 210【答案】B【解析】 【分析】由题可知，孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数即可．【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数为：132＝1×52＋3×51＋2×50＝42．故选：B ．【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．12. 如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ）b ac aA. 2B.D. 3【答案】A【解析】 【分析】构造如图所示的正方形，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP 即可．【详解】如图，延长CE ，FG 交于点N ，过点N 作，延长交于，∴∠CMN =∠DPN =90°，∴四边形CMPD 是矩形，根据折叠，∠MCN =∠GCN ，CD =CG ，，∵∠CMN =∠CGN =90°，CN =CN ，∴，∴，四边形为正方形，∴，∴， ，，，设,则，在中，由可得解得；故选A ．【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和74CMPD //l AB ,CB DA l ,M P DF FG =Rt MNC Rt GNC ∆≅∆6CM CG CD ===MN NG =∴CMPD //BE MN CBE CMN V :V 4263BE CB MN CM ===2BE = 3MN ∴=3NP ∴=DF x =4AF x =-V Rt PNF 222FP NP NF +=222(42)3(3)x x -++=+2x =判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．13. 不等式2x ﹣1＞1的解集是______．【答案】【解析】【分析】根据不等式的基本性质，解不等式即可．【详解】解得：故答案为：．【点睛】本题主要考查解不等式的性质，根据不等式的基本性质解不等式是解题的关键．14. 分解因式：______．【答案】．【解析】【分析】观察所给多项式有公因式a ，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式， ，故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止．15. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是，你认为最适合参加决赛的选手是____（填“甲”或“乙”或“丙”）．【答案】乙【解析】【分析】两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定【详解】他们的平均成绩都是88.9乙的成绩更稳定，所选乙1x >211x ﹣＞1x >1x >322a a a -+=()21a a -()221a a a =-+()21a a =-()21a a -2222.25, 1.81, 3.42S S S ===甲乙丙 1.81 2.25 3.42<<∴故答案为：乙【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．16. 据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x ，则可列方程__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值，按照数量关系列方程即可得解．【详解】解：根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值列方程得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键．17. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，P 为⊙O 上的动点，连结AP ，Q 为AP 的中点，若点P 在圆上运动一周，则点Q 经过的路径长是______．【答案】【解析】【分析】连接OQ ，以OA 为直径作⊙C ，确定出点Q 的运动路径即可求得路径长．【详解】解：连接OQ ．在⊙O 中，()26521960x +=(1⨯+2)=(1⨯+2)=()26521960x +=()26521960x +=2π∵AQ =PQ ，OQ 经过圆心O ，∴OQ ⊥AP ．∴∠AQO =90°．∴点Q 在以OA 为直径的⊙C 上．∴当点P 在⊙O 上运动一周时，点Q 在⊙C 上运动一周．∵AB =4，∴OA =2．∴⊙C 的周长为．∴点Q 经过的路径长为．故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q 的运动路径是解题的关键．18. 如图，在矩形ABCD 中，ADAB ，对角线相交于点O ，动点M 从点B 向点A 运动（到点A 即停止），点N 是AD 上一动点，且满足∠MON ＝90°，连结MN ．在点M 、N 运动过程中，则以下结论中，①点M 、N 的运动速度不相等；②存在某一时刻使；③逐渐减小；④．正确的是________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②③．【解析】【分析】先根据矩形的性质与AD ，得到∠ADB =30°，∠ABD =60°，AB =AO =BO ，再分类讨论，当点M 运动到AB 的中点时，此时点N 为AD 的中点，则：，从而点M 、N 的运动速度不同，当点M 运动到AB 的中点时，，由AM 减小的速度比AN 增大的速度快，则逐渐减小，当点M 在AB 的中点时，才满足，得出结论．【详解】解：∵AD ，2π2π2πΔAMN MON S S =V AMN S V 222MN BM DN =+12M S =N S AN =ΔAMN MON S S =V AMN S V 222MN BM DN =+∴tan ∠ADB =， ∴∠ADB=30°，∠ABD =60°，∵点O 为BD的中点，∴AB =AO =BO ，设AB =1，则ADBD =2．①当点M 与点B 重合时，点N 是BD 的垂直平分线与AD 的交点，令AN =x ，则BN =DN，∴，解得：， ∴AN ， 当点M 运动到AB 的中点时，此时点N 为AD 的中点，则：从而点M 、N 的运动速度不同，故①说法正确，符合题意；②当点M 运动到AB 的中点时，，故②说法正确，符合题意；③由①得到，AM 减小的速度比AN 增大的速度快，则逐渐减小，故③说法正确，符合题意； ④只有当点M 在AB 的中点时，才满足，故④说法错误，不符合题意；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形的性质、动点问题，解题关键在于确定特殊情况，求出两点的运动路程，确定边之间的关系，得出结论．三、解答题；本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）-1；（2） AB AD x 2221)x x +=x =12M N S S AN ==，ΔAMN MON S S =V AMN S V 222MN BM DN =+101(3)4sin 602π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 2221121a a a a a ⎛⎫++÷ ⎪-⎝⎭-+1a a-【解析】【分析】（1）先算零指数幂，化简二次根式，锐角三角函数以及负整数指数幂，再算加减法即可求解； （2）先算分式的加法，再把除法化为乘法，进行约分，即可求解．【详解】解：（1）原式= ==-1； （2）原式= = =． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，锐角三角函数值以及分式的运算法则，是解题的关键．20. 如图，已知OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ．求证：△AOB ≌△COD ．【答案】证明见解析【解析】【分析】先证明∠DOC =∠BOA ，再由边角边即可证明△AOB ≌△COD ．【详解】解：由图可知：，，∵，∴，在和中： ，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解142--12-()a a a a a -+-⋅-+21211(1)()a a a a a -+⋅-+2111(1)1a a -DOC AOC AOD Ð=Ð-ÐBOA BOD AOD Ð=Ð-ÐAOC BOD ∠=∠DOC BOA Ð=ÐAOB ∆COD ∆OA OC BOA DOC OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB COD SAS ∆∆≌决本题的关键．21. 为帮助学生养成热爱美、发现美艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A ：书法，B ：绘画，C ：摄影，D ：泥塑，E ：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．（1）张老师调查的学生人数是 ．（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．【答案】(1)50名；(2)240名；(3)【解析】 【分析】(1)由A 的人数除以所占百分比即可得到总人数；(2)求出条形统计图中D 的人数后除以(1)中调查的总人数，得到D 所占的百分比，再乘以该校总人数1000即可求解；(3)画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：(1)张老师调查的学生人数为：10÷20%=50(名)，故答案为：50名；(2)条形统计图中D 的人数为：50-10-6-14-8=12(名)，其所占的百分比为：， ∴1000×24%=240(名)故该校1000人中，共有240人选修泥塑；(3)把2人选修书法的记为A 、B ，1人选修绘画的记为C ，1人选修摄影的记为D ，画树状图如图：的1612100%24%50⨯=共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，∴所选2人都是选修书法的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22. 全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D 处，又测得塔顶A 的仰角为60°，点B 、D 、C 在同一水平线上，求白塔的高度AB ． 1.7，精确到1米）【答案】35【解析】【分析】设塔高AB =x 米，利用仰角定义得到∠BCA ＝45°，∠BAD ＝60°，先利用∠C ＝45°得到BC ＝BA ＝x 米，再利用正切定义得到BD ＋15＝x ，然后解方程即可． 【详解】解：设塔高AB ＝x 米，根据题意得∠BCA ＝45°，∠BAD ＝60°，CD ＝15米，∵在Rt △ABC 中，∠C ＝45°，∴BC ＝BA ＝x 米，∵在Rt △ABD 中， tan ∠BDA =， ∴BD =， ∵BD ＋CD ＝BC ，＋15＝x ，解得x （米）． 答：白塔的高度AB 为35米．21126=x x A B B D60x tan ︒x x 35≈【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 23. 如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数的图象交于点A 、B ，与x 轴交于点，若OC ＝AC ，且＝10（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax ＋b ＞的解集．【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式；（2）根据一次函数和反比例函数图像结合已知不等式，数形结合直接可得．【详解】（1）过点A 作轴于点D，OC＝AC ，＝10k y x =50C (，)OAC S V k x32y x=42033y x =-30,8x x -<<>AD x ⊥ 50C (，)OAC S V 4AD ∴=3CD ∴===代入， 把，代入y ＝ax ＋b ，得：，解得 （2）联立解得：或（A 点坐标） ax ＋b ＞的解集，即图像中一次函数的值大于反比例函数的值． ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题，解一元二次方程，反比例函数与不等式，数形结合是本题的解题关键．24. 如图1，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA ＝∠CBD ．（1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若tan ∠ADC ＝，AC ＝2，求⊙O 半径； （3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB 的平分线DE 交⊙O 于点E ，交AB 于点F ，连结BE ．求sin ∠DBE 的值．的(8,4)A ∴k y x=8432k =⨯=32y x∴=(8,4)A 50C (，)4805a b a b =+⎧⎨=+⎩43203a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩42033y x ∴=-3242033y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3323x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩84x y =⎧⎨=⎩32(3,)3B ∴--k x∴30,8x x -<<>12【答案】（1）见详解；（2）3；（3【解析】 【分析】（1）CD 与⊙O 相切，理由：连接OD ，先判断出∠CDA ＝∠ODB ，再根据∠ADB ＝∠ADO ＋∠ODB＝90°，判断出∠CDO ＝90°，即可得出结论；（2）先判断出tan ∠CBD ＝，进而得出tan ∠CBD ＝＝，再判断出△CAD ∽△CDB ，得出，求出CD ，CB ，即可得出结论； （3）连接OE ，过点E 作EG ⊥BD 于G ，先判断出∠BOE ＝2∠BDE ＝90°，进而求出BE ＝，再利用勾股定理求出AD BD DG ＝EG ，设DG ＝EG ＝x ，则BG x ，再用勾股定理求出x ，即可得出结论．【详解】解：（1）CD 与⊙O 相切，理由：如图1，连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠CBD ，∵∠CDA ＝∠CBD ，∴∠CDA ＝∠ODB ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ADO ＋∠ODB ＝90°，12AD BD 1212CA CD AD CD CB BD ===∴∠CDA ＋∠ADO ＝90°，∴∠CDO ＝90°，∴OD ⊥CD ，∴CD 与⊙O 相切；（2）由（1）知，∠CBD ＝∠ADC ，∵tan ∠ADC ＝，∴tan ∠CBD ＝，在Rt △ADB 中，tan ∠CBD＝＝， ∵∠C ＝∠C ，∠ADC ＝∠CBD ，∴△CAD ∽△CDB ，∴，∴CD＝2CA ＝4，∴CB ＝2CD ＝8，∴AB ＝CB −CA ＝8−2＝6，∴OA ＝OB ＝AB ＝3；（3）如图2，连接OE ，过点E 作EG ⊥BD 于G ，∵DE 平分∠ADB ，∴∠ADE ＝∠BDE ＝45°，∴∠BOE ＝2∠BDE ＝90°，∴BE ，在Rt △ABD 中，AD 2＋BD 2＝AB 2＝62，1212AD BD 1212CACD AD CD CB BD ===12∵＝， ∴AD，BD∵EG ⊥BD ，∠BDE＝45°，∴∠DEG ＝∠BDE ＝45°，∴DG ＝EG ，设DG ＝EG ＝x ，则BG ＝BD −DGx ， 在Rt △BEG中，EG 2＋BG 2＝BE 2＝（）2＝18，∴x 2x ）2＝18， ∴x x （舍）， ∴EG ∴sin ∠DBE ＝． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出等腰直角三角形是解本题的关键．25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连结BC 、BE 、CE ．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE 的形状，并说明理由；（3）如图2，以C 为半径作⊙C ，在⊙C 上是否存在点P ，使得BP ＋EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =x 2+2x +6；（2）直角三角形，见解析；（3 AD BD 12EG BE =1212-【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE 上截取CF（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E （2，8），∴设该抛物线的表达式为y =a （x -2）2+8，∵与y 轴交于点C （0，6），∴把点C （0，6）代入得：a =， ∴该抛物线的表达式为y =x 2+2x +6； （2）△BCE 直角三角形．理由如下：∵抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，∴当y =0时，（x -2）2+8=0，解得：x 1=-2，x 2=6， ∴A （-2，0），B （6，0），∴BC 2=62+62=72，CE 2=（8-6）2+22=8，BE 2=（6-2）2+82=80，∴BE 2=BC 2+CE 2，∴∠BCE =90°，∴△BCE 是直角三角形；（3）如图，在CE 上截取CF （即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ， 则BF 的长即为所求．连接CP ，∵CP 为半径，是12-12-12-∴ ， 又∵∠FCP =∠PCE ， ∴△FCP ∽△PCE ，∴ ，FP =EP ， ∴BF =BP +EP ， 由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即BP +EP 为最小值．∵CF =CE ，E （2，8）， ∴F （，）， ∴BF 【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键． 12CF CP CP CE ==12CF FP CP PE ==1212121412132=。

2021年四川省内江市威远县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）2021-的绝对值是( )A ．2021-B ．2021C ．12021D ．12021- 2．（3分）据世界知识产权组织报告，2020年全球专利申请量增长4%，申请量达到27.59万件，创造了有史以来最高数量．中国专利申请量同比增长16.1%，以68720件稳居世界第一(2019年中国超越美国）．将27.59万用科学记数法表示为( )A ．427.5910⨯B ．42.75910⨯C ．50.275910⨯D ．52.75910⨯3．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上所标的字是( )A ．祝B ．你C ．顺D ．利4．（3分）若x y >，则下列式子错误的是( )A ．33x y ->-B ．33x y ->-C ．33x y +>+D ．33x y > 5．（3分）在2016年体育中考中，某班一学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为( )成绩（分)27 28 30 人数 2 3 1A ．28，28，1B ．28，27.5，1C ．3，2.5，5D ．3，2，5 6．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．正五角星D ．正六边形7．（3分）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于( )A ．160︒B ．150︒C ．140︒D ．120︒8．（3分）下列运算正确的是( )A ．11x y x y xy --=B ．1b a a b b a +=---C ．21111a a a --=--+D ．21111a a a -=-+ 9．（3分）下列命题中，真命题是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形10．（3分）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是( )A ．484822x x -=-B ．484822x x -=+C ．484822x x -=+D ．484822x x -=- 11．（3分）一副三角板按图1所示的位置摆放．将DEF ∆绕点()A F 逆时针旋转60︒后（图2)，测得10CG cm =，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为( )A ．275cmB ．2(25253)cm +C ．225(253)3cmD ．250(253)3cm 12．（3分）如图，在正方形ABCD 中，3AB cm =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD DC CB --以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止．设AMN ∆的面积为2()y cm ，运动时间为x （秒)，则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．（5分）分解因式：22288a ab b -+-= ．14．（5分）已知456a b +=，543a b +=，则a b -= ．15．（5分）在菱形ABCD 中，对角线6AC =，8BD =，则菱形ABCD 的周长为 ．16．（5分）如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为(6,4)-，则AOC ∆的面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（8分）计算：1020212(2021)3(1)|6|π---+︒--+-．18．（8分）如图，已知E 、F 是ABCD 对角线AC 上的两点，且BE AC ⊥，DF AC ⊥，连接DE 、BF ．求证：DE BF =．19．（9分）2016年3月，我市某中学举行了“爱我中国朗诵比赛”活动，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加朗诵比赛的学生共有人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，m=，n=；C等级对应扇形有圆心角为度；（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的朗诵比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小明参加市朗诵比赛的概率．20．（9分）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60︒和45︒．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）21．（10分）已知关于x的一元二次方程：22(12)10+-+=有两个不相等的实数根．k x k x（1）求k 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足1212||||23x x x x +=-，求k 的值．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）22．（6分）Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，则它的内切圆半径是 ．23．（6分）如图所示，设M 是ABC ∆的重心，过M 的直线分别交边AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP m PB =，AQ n QC =，则11m n+= ．24．（6分）若2|52|(3)52(4)m m n m m -+=--，则2m n += ．25．（6分）已知二次函数212y x bx =+的图象过点(4,0)A ，设点(1,3)C -，在抛物线的对称轴上求一点P ，使||PA PC -的值最大，则点P 的坐标为 ．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）26．（12分）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为1a ，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为n a ．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．如：数列1，3，9，27，⋯为等比数列，其中11a =，公比为3q =．然后解决下列问题． （1）等比数列3，6，12，⋯的公比q 为 ，第4项是 ．（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为1)a 和公比（设为)q ，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：1a ，1a q ，21a q ，31a q ，⋯．由此可得第n 项n a = （用1a和q 的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比2q =，第2项是10，求它的第1项与第4项．（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．27．（12分）如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线PO 交于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交O 于点A ，延长AO 与O 交于点C ，连接BC ，AF ．（1）求证：直线PA 为O 的切线；（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若6BC =，1tan 2F ∠=，求cos ACB ∠的值和线段PE 的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，1OA =，tan 3BAO ∠=，将AOB ∆绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC ∆，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，设其横坐标为t ．①设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，连接PE 交CD 于点F ，当CEF ∆与COD ∆相似时，求点P 的坐标；②当45BAP ∠=︒时，求点P 的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）2021-的绝对值是( )A ．2021-B ．2021C ．12021D ．12021- 【解答】解：2021-的绝对值为2021，故选：B ．2．（3分）据世界知识产权组织报告，2020年全球专利申请量增长4%，申请量达到27.59万件，创造了有史以来最高数量．中国专利申请量同比增长16.1%，以68720件稳居世界第一(2019年中国超越美国）．将27.59万用科学记数法表示为( )A ．427.5910⨯B ．42.75910⨯C ．50.275910⨯D ．52.75910⨯【解答】解：根据科学记数法的定义，27.59万5275900 2.75910==⨯， 故选：D ．3．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上所标的字是( )A ．祝B ．你C ．顺D ．利【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “中”与“顺”是相对面．故选：C ．4．（3分）若x y >，则下列式子错误的是( )A ．33x y ->-B ．33x y ->-C ．33x y +>+D ．33x y > 【解答】解：A 、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；B 、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；C 、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；D 、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．故选：B ．5．（3分）在2016年体育中考中，某班一学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为( ) 成绩（分)27 28 30 人数 2 3 1A ．28，28，1B ．28，27.5，1C ．3，2.5，5D ．3，2，5 【解答】解：这组数据28出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是28； 把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是(2828)228+÷=，则中位数是28； 这组数据的平均数是：(27228330)628⨯+⨯+÷=，则方差是：2221[2(2728)3(2828)(3028)]16⨯⨯-+⨯-+-=； 故选：A ．6．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．正五角星D ．正六边形【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；故选：A ．7．（3分）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于( )A ．160︒B ．150︒C ．140︒D ．120︒【解答】解：线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，∴CB BD =，20CAB ∠=︒，40BOD ∴∠=︒，140AOD ∴∠=︒．故选：C ．8．（3分）下列运算正确的是( )A ．11x y x y xy --=B ．1b a a b b a +=---C ．21111a a a --=--+D ．21111a a a -=-+ 【解答】解：（A ）原式y x xy -=，故A 错误； （B ）原式1b a b a a b a b a b-=-==----，故B 正确； （C ）原式(1)1(1)(1)1a a a a -+-==+--，故C 错误； （D ）原式(1)(1)111a a a a a a+---=+，故D 错误； 故选：B ． 9．（3分）下列命题中，真命题是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形【解答】解：A 、对角线平分且相等的四边形是矩形，故错误；B 、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，故错误；C 、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．故错误；D 、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；故选：D ．10．（3分）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是( ) A ．484822x x -=- B ．484822x x -=+ C ．484822x x -=+ D ．484822x x -=- 【解答】解：设原计划每天挖x 米，则实际每天挖(2)x +米，根据题意得，484822x x -=+． 故选：B ．11．（3分）一副三角板按图1所示的位置摆放．将DEF ∆绕点()A F 逆时针旋转60︒后（图2)，测得10CG cm =，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为( )A ．275cmB ．2(25253)cm +C ．225(253)3cm +D ．250(253)3cm + 【解答】解：过G 点作GH AC ⊥于H ，如图，60GAC ∠=︒，45GCA ∠=︒，10GC cm =，在Rt GCH ∆中，2522GH CH GC cm ===， 在Rt AGH ∆中，35633AH GH cm ==， 56(52)3AC cm ∴=+， ∴两个三角形重叠（阴影）部分的面积12GH AC =15652(52)23=⨯⨯+ 2253(25)3cm =+． 故选：C ．12．（3分）如图，在正方形ABCD 中，3AB cm =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD DC CB --以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止．设AMN ∆的面积为2()y cm ，运动时间为x （秒)，则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当点N 在AD 上时，即01x ，213322AMN S x x x ∆=⨯⨯=，点N 在CD 上时，即12x ，13322AMN S x x ∆=⨯⨯=，y 随x 的增大而增大，所以排除A 、D ；当N 在BC 上时，即23x ，2139(93)222AMN S x x x x ∆=⨯⨯-=-+，开口方向向下．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．（5分）分解因式：22288a ab b -+-= 22(2)a b -- ． 【解答】解：原式222(44)a ab b =--+22(2)a b =--．故答案为：22(2)a b --．14．（5分）已知456a b +=，543a b +=，则a b -= 3- ． 【解答】解：456543a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，①5⨯-②4⨯得：918b =， 解得：2b =， 把2b =代入①得：4106a +=，解得：1a =-，即原方程的解为：12a b =-⎧⎨=⎩，123a b -=--=-，故答案为：3-．15．（5分）在菱形ABCD 中，对角线6AC =，8BD =，则菱形ABCD 的周长为 20 ． 【解答】解：四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥，132OA OC AC ===，142OB OD BD ===，AB BC CD AD ===， 22345AB ∴=+=，∴菱形的周长20L =．故答案为：20．16．（5分）如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为(6,4)-，则AOC ∆的面积为 9 ．【解答】解：点D 为OAB ∆斜边OA 的中点，且点A 的坐标(6,4)-，∴点D 的坐标为(3,2)-，把(3,2)-代入双曲线(0)ky k x=<，可得6k =-，即双曲线解析式为6y x =-，AB OB ⊥，且点A 的坐标(6,4)-，C ∴点的横坐标为6-，代入解析式6y x=-，1y =，即点C 坐标为(6,1)-， 3AC ∴=，又6OB =，192AOC S AC OB ∆∴=⨯⨯=．故答案为：9．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（8分）计算：1020212(2021)3cos30(1)|6|π---+︒--+-． 【解答】解：原式1313(1)622=-+⨯--+ 1311622=-+++ 8=．18．（8分）如图，已知E 、F 是ABCD 对角线AC 上的两点，且BE AC ⊥，DF AC ⊥，连接DE 、BF ．求证：DE BF =．【解答】证明：BE AC ⊥，DF AC ⊥，//BE DF ∴，90BEA DFC ∠=∠=︒．四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ． BAE DCF ∴∠=∠．在ABE ∆和CDF ∆中，BEA DFCBAE DCFAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF AAS∴∆≅∆BE DF∴=．又//BE DF，∴四边形BEDF是平行四边形．DE BF∴=．19．（9分）2016年3月，我市某中学举行了“爱我中国朗诵比赛”活动，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加朗诵比赛的学生共有40人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，m=，n=；C等级对应扇形有圆心角为度；（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的朗诵比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小明参加市朗诵比赛的概率．【解答】解：（1）参加比赛学生共有：1230%40÷=（人)；B等级学生数是40416128---=（人)，（2）41001040m=⨯=，161004040n=⨯=，C等级对应扇形有圆心角为36040%144︒⨯=︒，故答案为：10，40，144；（3）设获A等级的小明用A表示，其他的三位同学用a，b，c，表示：共12种情况，其中小明参加的情况有6种，则P（小明参加市比赛）61 122==．20．（9分）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60︒和45︒．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【解答】解：（1）在Rt ADC∆中，60ADC∠=︒，3CD=米，tanAC ADCDC∠=，3tan 60AC ∴=︒=（米)，在Rt BDC ∆中，45BDC ∠=︒， 3BC CD ∴==米，3)AB AC BC ∴=-=米．（2）在Rt ADC ∆中，cos CDADC AD∠=， 3361cos602AD ∴===︒米，在Rt BDC ∆中，cos CDBDC BD∠=，3cos45BD ∴===︒21．（10分）已知关于x 的一元二次方程：22(12)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足1212||||23x x x x +=-，求k 的值． 【解答】解：（1）关于x 的一元二次方程22(12)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根，∴△22(12)40k k =-->且20k ≠，解得14k <且0k ≠， k ∴的取值范围是14k <且0k ≠； （2）原方程的两个实数根为1x 、2x ， 12221k x x k -∴+=，1221x x k =， 而14k <且0k ≠； 122210k x x k -∴+=<，12210x x k=>， 10x ∴<，20x <， 1212||||23x x x x +=-，121223x x x x ∴--=-，即1212()23x x x x -+=-．∴222123k k k--=-， 整理得23210k k --=， 解得：11k =，213k =-．又14k <且0k ≠， 11k ∴=不合题意，舍去．经检验，213k =-是方程222123k k k --=-的解．k ∴的值为13-．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）22．（6分）Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，则它的内切圆半径是 2 ． 【解答】解：如图，O 切AC 于E ，切BC 于F ，切AB 于G ，连OE ，OF ， OE AC ∴⊥，OF BC ⊥，∴四边形CEOF 为正方形，90C ∠=︒，6AC =，8BC =， 10AB ∴=，设O 的半径为r ，则CE CF r ==， 6AE AG r ∴==-，8BF BG r ==-，AB AG BG AE BF ∴=+=+，即6810r r -+-=，2r ∴=．故答案为2．23．（6分）如图所示，设M 是ABC ∆的重心，过M 的直线分别交边AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP m PB =，AQ n QC =，则11m n+= 1 ．【解答】解：分别过点B ，C 作//BE AD ，//CF AD ，交PQ 于点E ，F ，则////BE AD CF ， 点D 是BC 的中点，MD ∴是梯形的中位线，2BE CF MD ∴+=，∴1121PB CQ BE CF BE CF MDm n AP AQ AM AM AM AM++=+=+===．24．（6分）若2|52|(3)52(4)m m n m m -+=--，则2m n += 2- ． 【解答】解：2|52|(3)52(4)m m n m m -+=--， 2|52|(3)(4)25m m n m m -+-=-，则250m -，2|52|(3)52(4)m m n m m -++=--， 225(3)(4)25m m n m m -+-=-， 2(3)(4)0m n m +-=，则40m -=，30n +=， 解得：4m =，3n =-， 所以2462m n +=-=-， 故答案为：2-25．（6分）已知二次函数212y x bx =+的图象过点(4,0)A ，设点(1,3)C -，在抛物线的对称轴上求一点P ，使||PA PC -的值最大，则点P 的坐标为 (2,6)- ．【解答】解：二次函数212y x bx =+的图象过点(4,0)A ， 210442b ∴=⨯+，解得2b =-， 2122y x x ∴=-， ∴对称轴为22122x ==⨯，二次函数2122y x x =-与x 轴交于点(4,0)A ， ∴它与x 轴的另一交点是(0,0)O ，P 在对称轴上，PA PO ∴=，||||PA PC PO PC OC ∴-=-，即当P 、O 、C 三点在一条线上时||PA PC -的值最大，设直线OC 解析式为y kx =， 3k ∴=-，∴直线OC 解析式为3y x =-，令2x =，可得326y =-⨯=-，∴存在满足条件的点P ，其坐标为(2,6)-．故答案为(2,6)-．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 26．（12分）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为1a ，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为n a ．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．如：数列1，3，9，27，⋯为等比数列，其中11a =，公比为3q =． 然后解决下列问题．（1）等比数列3，6，12，⋯的公比q 为 2 ，第4项是 ．（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为1)a 和公比（设为)q ，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：1a ，1a q ，21a q ，31a q ，⋯．由此可得第n 项n a = （用1a 和q 的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比2q =，第2项是10，求它的第1项与第4项． （4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． 【解答】解：（1）根据题意知公比632q =÷=，第4项是12224⨯=， 故答案为：2，24；（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：1a ，1a q ，21a q ，31a q ，⋯．由此可得第n 项11n n a a q -=， 故答案为：11n a q -；（3）根据题意知，第1项为1025÷=，第4项为35240⨯=；（4）根据题意知21511296a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，38q ∴=，即2q =， 则13a =，∴这个等比数列的第10项为9321536⨯=．27．（12分）如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线PO 交于点E 、F ，过点B 作PO的垂线BA ，垂足为点D ，交O 于点A ，延长AO 与O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为O 的切线；（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若6BC =，1tan 2F ∠=，求cos ACB ∠的值和线段PE 的长．【解答】解：（1）连接OB ， PB 是O 的切线，90PBO ∴∠=︒，OA OB =，BA PO ⊥于D ，AD BD ∴=，POA POB ∠=∠，又PO PO =，()PAO PBO SAS ∴∆≅∆，90PAO PBO ∴∠=∠=︒，OA PA ∴⊥，∴直线PA 为O 的切线．（2）24EF OD OP =．证明：90PAO PDA ∠=∠=︒90OAD AOD ∴∠+∠=︒，90OPA AOP ∠+∠=︒，OAD OPA ∴∠=∠，OAD OPA ∴∆∆∽， ∴OD OA OA OP=，即2OA OD OP =， 又2EF OA =，24EF OD OP ∴=．（3）OA OC =，AD BD =，6BC =，132OD BC ∴==（三角形中位线定理）， 设AD x =，1tan 2F ∠=， 2FD x ∴=，23OA OF x ==-，在Rt AOD ∆中，由勾股定理，得222(23)3x x -=+， 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去），4AD ∴=，235OA x =-=，AC 是O 直径，90ABC ∴∠=︒，又210AC OA ==，6BC =，63cos 105ACB ∴∠==． 2OA OD OP =，3(5)25PE ∴+=，103PE ∴=．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，1OA =，tan 3BAO ∠=，将AOB ∆绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC ∆，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，设其横坐标为t ． ①设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，连接PE 交CD 于点F ，当CEF ∆与COD ∆相似时，求点P 的坐标；②当45BAP ∠=︒时，求点P 的坐标．【解答】解：（1）tan BO BAO AO ∠=， ∴31BO =，解得3BO =， 又由旋转可得3OC OB ==， A ∴、B 、C 三点的坐标分别为(1,0)、(0,3)、(3,0)C -，代入二次函数解析式可得09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ∴抛物线的解析式为：223y x x =--+；（2）①90DOC ∠=︒，∴当CEF ∆与COD ∆相似，有90CFE ∠=︒或90CEF ∠=︒， 当90CFE ∠=︒时，连接PE 并延长交y 轴于点H ，如图1，由题意可知l 方程为1x =-， OD OE ∴=，90DCO CDO CDO EHO ∠+∠=∠+∠=︒， DCO EHO ∴∠=∠，在ODC ∆和OEH ∆中，DCO EHO DOC EOH DO EO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ODC OEH AAS ∴∆≅∆， 3OH OC ∴==，H ∴坐标为(0,3)-，且(1,0)E -， 设直线PH 解析式为3y kx =-，把E 点坐标代入可得30k --=，解得3k =-， ∴直线PH 解析式为33y x =--，联立抛物线线解析式可得22333y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩，解得312x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩， P 点在第二象限， P ∴点坐标为(2,3)-； 当90CEF ∠=︒时，则//PE y 轴，故P 点坐标为抛物线的顶点，可求得P 点坐标为(1,4)-； 综上可知当CEF ∆与COD ∆相似时点P 的坐标为(2,3)-或(1,4)-； ②如图2，将线段BA 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BA '，连接AA '交抛物线于点P ，此时45APB ∠=︒，易知(3,2)A '-设直线AA '的解析式为y kx b =+，则有320k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AA '的解析式为1122y x =-+，联立直线AD 和抛物线解析式可得2112223y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩，解得5274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩， 5(2P ∴-，7)4， ∴当45BAP ∠=︒时，P 点坐标为5(2-，7)4．。

2020年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）的倒数是（）A．2B．C．﹣D．﹣22．（3分）下列四个数中，最小的数是（）A．0B．﹣C．5D．﹣13．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．50°D．40°5．（3分）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90B．90，90C．90，85D．90，956．（3分）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3 7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC ＝（）A．30B．25C．22.5D．208．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．（3分）如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（）A．B．C．3D．410．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5B．x＝（x+5）+5C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+511．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．12．（3分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（）A．≤t＜2B．＜t≤1C．1＜t≤2D．≤t≤2且t≠1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．（5分）2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为．15．（5分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为．16．（5分）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17．（7分）计算：（﹣）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣+（π﹣3）0．18．（9分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．19．（9分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，图中m的值为；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．20．（9分）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）分解因式：b4﹣b2﹣12＝．23．（6分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为．24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是．25．（6分）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是．（填写所有正确结论的序号）五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．27．（12分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD 交于点F．（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．2020年四川省内江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）的倒数是（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：∵×2＝1，∴的倒数是2，故选：A．2．（3分）下列四个数中，最小的数是（）A．0B．﹣C．5D．﹣1【解答】解：∵|﹣|＜|﹣1|，∴﹣＞﹣1，∴5＞1＞﹣＞﹣1，因此最小的是﹣1，故选：D．3．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．4．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．50°D．40°【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝50°．又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝130°．故选：B．5．（3分）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90B．90，90C．90，85D．90，95【解答】解：将数据重新排列为80，85，90，90，95，所以这组数据的中位数是90，众数为90，故选：B．6．（3分）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3【解答】解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC ＝（）A．30B．25C．22.5D．20【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故选：D．8．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．9．（3分）如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（）A．B．C．3D．4【解答】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，∴△AOC的面积为2，∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，∴k＝4，故选：D．10．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5B．x＝（x+5）+5C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+5【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．故选：A．11．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．12．（3分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（）A．≤t＜2B．＜t≤1C．1＜t≤2D．≤t≤2且t≠1【解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t＝；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是≤t≤2且t≠1，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠2．【解答】解：根据题意得2x﹣4≠0，解得x≠2；∴自变量x的取值范围是x≠2．14．（5分）2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为7×108．【解答】解：7亿＝700000000＝7×108，故答案为：7×108．15．（5分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为﹣．【解答】解：把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根与系数的关系得：x1•x2＝，又x1＝﹣1，∴x2＝﹣故答案为：﹣．16．（5分）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17．（7分）计算：（﹣）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣+（π﹣3）0．【解答】解：原式＝﹣2﹣2+4×﹣2+1＝﹣2﹣2+2﹣2+1＝﹣3．18．（9分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．19．（9分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有5名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为72°，图中m的值为40；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），20﹣3﹣8﹣4＝5（名），故答案为：5；（2）360°×＝72°，8÷20＝40%，即m＝40，故答案为：72°，40；（3）“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，∴P（女生被选中）＝＝．20．（9分）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【解答】解：（1）∵∠P AB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠P AB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BP A＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝60×＝30，∵30＞50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2××4×4﹣，＝16﹣．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）分解因式：b4﹣b2﹣12＝（b+2）（b﹣2）（b2+3）．【解答】解：b4﹣b2﹣12＝（b2﹣4）（b2+3）＝（b+2）（b﹣2）（b2+3），故答案为：（b+2）（b﹣2）（b2+3）．23．（6分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为40．【解答】解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，∵不等式组的解集为y≤0，∴a＞0，∴0＜a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，故答案为：40．24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是．【解答】解：∵直线l：y＝x+与x轴交于点B，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等边三角形，∴A1（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B1（，），∴A1B1＝2，∴A2（﹣，+×2），即A2（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B2（，），∴A2B2＝4，∴A3（3，+×4），即A3（3，），……，A n的纵坐标为，∴点A2020的纵坐标是，故答案为．25．（6分）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是②③④．（填写所有正确结论的序号）【解答】解：①当x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断4与4+b的大小，故①错误．②如图1中，b＝﹣3时，由，解得或，∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），观察图象可知，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确，③如图2中，b＝﹣5时，图象如图所示，M＝3时，y1＝3，∴﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，故③正确，④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，∵△＝0，∴此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，∴b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，∴M随x的增大而增大，故④正确．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝1；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．【解答】解：（1）6可分解成1×6，2×3，∵6﹣1＞3﹣2，∴2×3是6的最佳分解，∴f（6）＝，9可分解成1×9，3×3，∵9﹣1＞3﹣3，∴3×3是9的最佳分解，∴f（9）＝＝1，故答案为：；1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据题意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，∴b＝a+6，∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，∴满足条件的t为：17，28，39；∵F（17）＝，F（28）＝，F（39）＝，∵，∴F（t）的最大值为；（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解为20×21，∴f（22×3×5×7）＝，故答案为：；②∵23×3×5×7的最佳分解为24×35，∴f（23×3×5×7）＝，故答案为；③∵24×3×5×7的最佳分解是35×48，∴f（24×3×5×7）＝，故答案为：；④∵25×3×5×7的最佳分解是48×70，∴f（25×3×5×7）＝，故答案为：．27．（12分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD 交于点F．（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．∴CQ＝AP．（2）解：过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．∵AP＝AC，∴可以假设AP＝CQ＝a，则PC＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ＝∠BAP＝45°，∴∠PCQ＝90°，∴PQ＝＝＝a，∵CH⊥PQ，∴CH＝＝a，∵BP＝BQ，BT⊥PQ，∴PT＝TQ，∵∠PBQ＝90°，∴BT＝PQ＝a，∵CH∥BT，∴＝＝＝，∴＝．（3）解：结论：PF＝EQ，理由是：如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°，∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°，∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP＝∠F AP＝45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图2，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，3×2÷4＝1.5，则m＝2+1.5＝，M（0，）∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴DM的解析式为y＝﹣x+，联立抛物线解析式，解得，．∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．（3）分两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如图3所示．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF．∵点B（4，0），F（0，﹣2），∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，∴直线CD的解析式为y＝x+2．联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，解得：（舍去），，∴点D的坐标为（2，3）；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．∵∠OCH＝90°﹣∠OHC，∠OBF＝90°﹣∠BHN，∠OHC＝∠BHN，∴∠OCH＝∠OBF．在△OCH与△OBF中，∴△OCH∽△OBF，∴＝，即＝，∴OH＝1，H（1，0）．设直线CN的解析式为y＝kx+n（k≠0），∵C（0，2），H（1，0），∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2．连接直线BF及直线CN成方程组得：，解得：，∴点N的坐标为（，﹣）．∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．∵NP⊥BC，且点N（，﹣），∴直线NP的解析式为y＝2x﹣．联立直线BC及直线NP成方程组得：，解得：，∴点Q的坐标为（，）．∵点N（，﹣），点N，P关于BC对称，∴点P的坐标为（，）．∵点C（0，2），P（，），∴直线CP的解析式为y＝x+2．将y＝x+2代入y＝﹣x2+x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴点D的横坐标为．综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．。