31 实变函数与泛函分析第三章 测度论分析

2．基本要求
掌握可测函数的定义及等价定义。掌握可测函数的有关性质。理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。
（五）积分论
1．主要内容
黎曼积分的简单回顾。勒贝格积分的建立和性质。积分的极限定理。乘积空间的测度，富比尼定理。有界变差函数。不定积分与绝对连续函数。
《实变函数》课程教学大纲
课程类型：学科专业必修课
总学时：72学分：4
适用对象：数学与应用数学专业本科生
先修课程：数学分析，复变函数
使Hale Waihona Puke 教材：《实变函数与泛函分析基础》，程其襄、张奠宙等编，北京：高等教育出版社(第二版)，2003
参考书
1、周民强编，实变函数论，北京：北京大学出版社，2001
2、江泽坚、吴智泉，实变函数论，北京：人民教育出版社，1961.
第三章测度论
1．主要内容
外测度及其性质。Lebesgne可测集及其性质。可测集类。
2．基本要求
理解测度的意义。理解外测度的意义，掌握其有关性质。理解可测集的定义，掌握可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。
第四章可测函数
1．主要内容
可测函数及其性质。叶果洛夫定理。可测函数的构造。依测度收敛。
6
2
点集
10
3
测度论
12
4
可测函数
12
5
积分论
14
五、考核方式：闭卷考试。
教研室主任： （签名）
分管系主任： （签名）
二、教学基本要求
通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分理论，使学生能够以更高的视角看积分与微分，了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力,培养抽象的思维能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。

主要内容
1. 内积空间 2. 泛函延拓定理 3. Hilbert 空间的规范正交系 4. 共轭算子
教学要求
(1) 掌握 Banach 空间的定义与基本例子（n 维欧氏空间 Rn、连续函数空间 C(A)、有 界数列空间 l∞ 、 p 次 收敛数列空间 lp、 p 方可积函数空间 Lp 等都是 Banach 空间） ；知道非 Banach 空间是存在的：C[a,b]在 Lp 范数下不是 Banach 空间； (2) 掌握内积与内积空间的定义与基本例子；熟练掌握内积的正定性、首元线性性与 共轭对称性；掌握内积诱导范数的思想；熟练掌握内积诱导范数的基本性质、和 的范数恒等式；掌握内积满足 Schwarz 不等式并且是二元连续函数的事实；掌握 内积空间的特征：范数满足平行四边形法则； (3) 掌握 Hilbert 空间的定义与基本例子；知道在同构的意义下，可分的 Hilbert 空间 只有 Rn 与 l2； (4) 掌握正交向量的定义；知道正交向量满足勾股定理，而且在实内积空间中，勾股 定理是两个向量正交的充分必要条件；了解极小化向量定理与正交分解定理（投 影定理） ； (5) 了解正交系、规范（标准）正交系、完全规范正交系或规范（标准）正交基的概 念与基本例子；掌握 Gram-Schmidt 正交化过程；知道每个非零的可分 Hilbert 空 间 X 必存在规范（标准）正交基； (6) 了解 Fourier 系数、Fourier 级数的定义； 了解最佳逼近定理； 知道 Bessel 不等式、 Parseval 恒等式；知道向量可以展成 Fourier 级数的条件； (7) 掌握 Banach 空间基本定理之 Hahn-Banach 定理；掌握 Hilbert 空间之 Riesz 表示 定理。 注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、教学要求、主要内容。

给想学实变函数和泛函分析的一点建议首先，本人学过到目前为止除了最优化理论其它还没用过，但是最大的收获是数学的一些研究方法，下面是正文不知在哪看过，希望对学弟学妹们有用。

有点长~实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。

首先，实变函数是研究L积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。

因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。

L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。

测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。

也使很多概率理论变得更加严格。

比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。

没有测度论就无法分析连续鞅等等。

另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。

所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。

如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。

没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。

再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。

为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。

所以一般都是先学实变，再学泛函。

当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。

从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。

感谢您的观看
THANKS
实变函数课程基本信息
目录
• 课程简介 • 实变函数的定义与性质 • 实变函数的积分与微分 • 实变函数的极限与连续性 • 实变函数的学习方法与建议
01
课程简介
课程背景
01
实变函数是数学专业的一门重要 课程，是进一步学习泛函分析、 概率论等课程的基础。
02
该课程主要介绍实变函数的定义 、性质、积分、微分等基本概念 和定理，以及其在数学分析中的 应用。
03
微分计算
实变函数的微分可以通过导数 的基本公式、链式法则、乘积 法则等计算方法进行计算。
04
微分应用
实变函数的微分在求函数极值 、优化问题、近似计算等领域 有着广泛的应用。
实变函数积分与微分的关系
微积分基本定理
实变函数的积分和微分之间存在密切的联系 ，微积分基本定理是它们之间的桥梁。
导数的积分
连续的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序 性、介值定理和零点定理等性质。
实变函数极限与连续性的关系
1
极限与连续的关联
实变函数的极限和连续性是密切相关的 概念。函数的连续性可以由其极限性质 推导出来，而函数的极限性质也可以通 过连续性来研究。
2
连续不一定有极限
虽然连续函数在其定义域内每一点都存 在极限，但并不是所有函数都满足这一 性质。例如，狄利克雷函数在某些点处 不具有极限。
如果一个函数在某区间上可积，那么它的积 分函数在该区间上的导数等于原函数在该区
间上的值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积分的导数
如果一个函数在某区间上可导，那么它的导 数在该区间上的积分等于原函数在该区间上 的增量。
微分与积分的关系