高一数学014 高一 年级 班 教师 方雄飞 学生 课题 §1.2.1 任意角的三角函数（3）——三角函数线 学习目标： 1. 复习三角函数的定义、2. 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 3. 利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 学习过程： 一、复习回顾 三角函数的定义 二、新课学习
当角的终边上一点(,)Pxy的坐标满足221xy时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 2．三角函数线的定义： 设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.
由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有 sin1yyyMPr， cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA 我们就分别称有向线段,,MPOMAT为角α正弦线、余弦线、正切线。 注意：(1)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（凡含有原点的线段，均以原点为起点；不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点）
(2)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值
(3)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 3．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）3； （2）23； （3）136．
54tan32tan)(354cos32cos)(254sin3
2sin)(1.1与与与
小：利用三角函数线比较大练习
诱导公式与三角函数线一 学习目标：1.借助三角函数的定义(或三角函数线)推导出,,πααπα+--的诱导公式;2.运用上述诱导公式进行三角函数的求值、化简. （一）复习巩固： 诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k思考并完成下列问题:1.点(,)x y 关于x 轴的对称点是_______.关于x 轴对称的点有什么特点?______________________ 2.点(,)x y 关于y 轴的对称点是________.关于y 轴对称的点有什么特点?___________________________ 3.点(,)x y 关于原点的对称点是_______.关于原点对称的点有什么特点?___________________________ 导入：给定一个角α1.角πα+的终边与角α的终边有什么关系? ___________________________________________2.角πα+与角α的三角函数之间有什么关系? ___________________________________________ 公式二:sin()πα+=___________;cos()πα+=__________;tan()πα+=___________.练习：0sin 225=_________=____; 0cos 225=___________=____; 0tan 225=____________=____.(二)诱思探究2 探究： 给定一个角α1.角α-的终边与角α的终边有什么关系?___________________________________________ 2.角α-与角α的三角函数之间有什么关系?公式三:sin()α-=______; cos()α-=______; tan()α-=______. 3. 0sin(390)-=_________=____; 0cos(390)-=_______=____; 0tan(390)-=__________=_____. (三)诱思探究3 探究：给定一个角α1.角πα-的终边与角α的终边有什么关系? ___________________________________________2.角πα-与角α的三角函数之间有什么关系? ___________________________________________ 公式四:sin()πα-=_________; cos()πα-=_________;tan()πα-=_________. 练习： 8sin 3π=________=_________=_____;8cos 3π=________=_________=_____;8tan 3π=________=_________=_____.(四)认真观察公式二、三、四,回答下列问题: 1.这些公式对任意角α都成立吗?_______________. 2.你能用简洁的语言概括一下公式一 ～ 四吗? ________________________________________________.(五)利用公式求下列各式的值1. 00sin135cos(45)+-2. 411sin sin33ππ+3. 1619cos()tan 34ππ-⋅ 4. 00cos300cos(2040)+-(六)运用公式化简下列各式 化简:1. 0000cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα+⋅---⋅-+ 2. cos()sin(2)sin(3)cos(8)παπαπαπα-⋅+--⋅--1.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中的横线上: (1) 13cos9π=________; (2) sin(1)π+=________; (3) sin()5π-=_______; (4) 0cos(706)'-=______.2.利用公式求下列三角函数值:(1) 0cos(420)-; (2) 7sin()6π-;(3) 0sin(1320)- (4) 79sin()6π-.3.化简:(1) 00sin(180)cos()sin(180)ααα+---;(2) 3sin ()cos(2)tan()απααπ-+--;(3) 00cos(2640)sin1665-;(4) 0000cos190sin(210)cos(350)tan(585)⋅--⋅-.4.化简求值:(1) 2000020sin 2554sin 210cos420tan(240)cos (285)+⋅⋅-+-;思考题：000cos1cos 2cos180+++ ; 基础提高1.已知1sin(3)3πα+=,求0000000sin(180)cos(720)tan(540)sin(180)tan(900)sin(180)cos(180)ααααααα+++-++----的值.2.化简: sin()cos[(1)](k Z).sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα---∈+++二 三角函数的诱导公式与三角函数线 （一）诱导公式 1.求下列各式的值。
1.2 三角函数线一、教学目标：1、知识与技能（1）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（2）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；2、过程与方法根据角终边所在位置不同, 主要是借助有向线段进一步认识三角函数以及这三种函数的值在各象限的符号.最后.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数.二、教学重、难点重点:三角函数线的正确理解.难点:三角函数线的实际应用.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用三角函数线定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.表明了正弦、余弦、正切函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机四、教学设想第三课时【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长Array度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y，过点P作PM x⊥轴交x轴于点M，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin|==MP yαOM xα==；|||||cos|随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==cosOM xα同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有sinMP yα==4.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT、,我们有tanyATx α==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.当堂检测9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】1． 作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.。
