集合章节复习1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.（属于、不属于）3．集合表示方法有列举法，描述法，韦恩图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B真子集A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B {x|x∈A或x∈B}交集A∩B {x|x∈A且x∈B}补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}5.常用结论(1)∅⊆A.(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.1．若A ＝{}x ，|x |，则x <0.( √ ) 2．任何集合至少有两个子集．( × )3．若{}x |ax 2＋x ＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a ＝0.( × ) 4．设A ，B 为全集的子集，则A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .( √ )类型一 集合的概念及表示法例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N }D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } 答案 B解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；C 选项中M ，N 均为数集，显然有NM ；D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1的值域，故选B.反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 答案 {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}．类型二 集合间的基本关系例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A ，B ，当A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况． 跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若集合A ＝∅，则∅⊆A ；②若集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{－1,1}，则A ＝B ； ③已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a >2. 答案 ③解析 ∅是任何集合的子集，故①正确； ∵x 2－1＝0，∴x ＝±1，∴A ＝{－1,1}， ∴A ＝B ，故②正确；若A ⊆B ，则a ≥2，故③错误．类型三集合的交、并、补运算命题角度1用符号语言表示的集合运算例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3，6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{1} B．{3,6}C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}答案 B解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴∁U B＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁U B)＝{3,6}，故选B.命题角度2用图形语言表示的集合运算例4设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}．则图中阴影部分表示的集合为____________．答案{x|1≤x<2}解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，因为∁U B＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}．反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出V enn图(如图)，则没有参加过比赛的同学有：45－(12＋20－6)＝19(名)．答这个班共有19名同学没有参加过比赛．类型四关于集合的新定义题例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A 为封闭集．①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A.其中正确结论的序号是________．答案②④解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④. 反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．跟踪训练5 设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }(b >a )的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512 答案 C解析 方法一 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，解得0≤m ≤14，13≤n ≤1.取字母m 的最小值0，字母n 的最大值1，可得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤1， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0≤x ≤34∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 23≤x ≤1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 23≤x ≤34， 此时得集合M ∩N 的“长度”为34－23＝112.方法二 集合M 的“长度”为34，集合N 的“长度”为13.由于M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集， 而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1，由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是⎝⎛⎭⎫34＋13－1＝112.1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案 B2．下列关系中正确的个数为( ) ①22∈R ；②0∈N ＋；③{－5}⊆Z . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①③正确．3．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <0} C ．{x |0<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 A解析 由A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}， 得A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}．故选A.4．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{b ，d ，e }，那么(∁I M )∩(∁I N )等于( ) A ．∅ B ．{d } C ．{b ，e } D ．{a ，c } 答案 A5．已知集合U ＝R ，集合A ＝{}x |x <－2或x >4，B ＝{}x |－3≤x ≤3，则(∁U A )∩B ＝________. 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案{}x |－2≤x ≤3.解析 由图知(∁U A )∩B ＝{}x |－2≤x ≤3.1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系． 2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．课时对点练一、选择题1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于() A．{1,4} B．{－1，－4}C．{0} D．∅答案 D解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N ＝∅，故选D.2．已知集合A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 D解析A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}答案 D解析画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是()A．－1 B．0 C．1 D．1或－1答案 A解析由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a＞3 B．a≥3C．a≥7 D．a＞7答案 A解析因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x＜7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a＞3.6．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()答案 A解析如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.二、填空题7．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(∁U B)＝________.答案{1,4}解析∵∁U B＝{x|x<2或x>3}，∴A∩(∁U B)＝{1,4}．8．设集合A＝{1，－1，a}，B＝{1，a}，A∩B＝B，则a＝______.答案0解析∵A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，∴a ∈A . 要使a 有意义，a ≥0. ∴a ＝a ，∴a ＝0或a ＝1， 由元素互异，舍去a ＝1.∴a ＝0.9．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N ＝________. 答案 {(3，－1)}解析 M ，N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中的元素也是点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴M ∩N ＝{(3，－1)}．10．已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－12≤a ≤2或a >3 解析 ①若A ＝∅，则A ∩B ＝∅， 此时2a >a ＋3，即a >3.②若A ≠∅，如图，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－12≤a ≤2或a >3. 三、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M .解结合图形可得M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x，y)⎪⎪xy≥0，－2≤x≤52，－1≤y≤32.12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；(2)当A＝{x∈Z|－2≤x≤5|}时，求A的非空真子集的个数；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．考点集合各类问题的综合题点集合各类问题的综合解(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．(2)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，2m－1<－2或⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≥m＋1，m＋1>5，解得m>4.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．13．设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.四、探究与拓展14．已知全集U ＝{2,4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋4,4}，∁U A ＝{7}，则a ＝________.答案 －2解析 由题意，得a 2－a ＋1＝7，即a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3.当a ＝3时，A ＝{7,4}，不合题意，舍去，故a ＝－2.15．对于集合A ，B ，我们把集合{}(a ，b )|a ∈A ，b ∈B 记作A ×B .例如，A ＝{}1，2，B ＝{}3，4，则有：A ×B ＝{}(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，B ×A ＝{}(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，A ×A ＝{}(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，B ×B ＝{}(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4). 据此，试回答下列问题：(1)已知C ＝{}a ，D ＝{}1，2，3，求C ×D ；(2)已知A ×B ＝{}(1，2)，(2，2)，求集合A ，B ；(3)若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，试确定A ×B 中有多少个元素． 考点 集合各类问题的综合题点 集合各类问题的综合解析 (1)C ×D ＝{}(a ，1)，(a ，2)，(a ，3).(1，2)，(2，2)，(2)因为A×B＝{}所以A＝{}1，2，B＝{}2.(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．。
高中数学必修一第一章知识点归纳第一章是高中数学必修一的开篇，主要讲解了数的性质、整式的加减乘除以及分式的加减乘除等内容。
下面将对第一章的知识点进行归纳总结。
一、数的性质1. 自然数：自然数是人们最早认识和使用的数，包括0和正整数。
2. 整数：整数包括自然数、0和负整数。
3. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
4. 实数：实数包括有理数和无理数，实数是数轴上的点。
5. 数轴：数轴是用来表示实数的直线，它以0为原点，正方向为右侧，负方向为左侧。
二、整式的加减乘除1. 代数式：代数式是由数、变量和运算符号组成的式子。
2. 同类项：同类项是指具有相同变量因子的代数式中的项。
3. 整式的加法：整式的加法是将同类项相加，要保持同类项的特性。
4. 整式的减法：整式的减法是将减数中各项的系数取相反数，然后与被减数相加。
5. 整式的乘法：整式的乘法是将各项的系数相乘，同时将各项的指数相加。
6. 整式的除法：整式的除法是将除式乘以被除式的倒数，再进行整式的乘法运算。
三、分式的加减乘除1. 分式：分式是由分子和分母组成的有理数表达式。
2. 分式的加法：分式的加法是将分式的分母取公倍数，然后将分子相加，再化简。
3. 分式的减法：分式的减法是将分式的分母取公倍数，然后将分子相减，再化简。
4. 分式的乘法：分式的乘法是将分式的分子与分母相乘，然后化简。
5. 分式的除法：分式的除法是将除式的分子与被除式的分母相乘，然后化简。
第一章主要介绍了数的性质、整式的加减乘除以及分式的加减乘除等内容。
通过学习这些知识点，我们可以更好地理解数的概念和运算规则，为后续的学习打下坚实的基础。
数学是一门系统性强的学科，需要我们掌握好基础知识，才能更好地应对复杂的问题。
希望同学们能够认真学习，多做练习，提高数学素养，为未来的学习和发展打下良好的基础。
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
