在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt (t为参数)

第十二章第二节参数方程课下练兵场1．(2018·天津高考)设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t ，(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，那么l 1与l 2间的距离为( )A.10B.3105C.2105D ．310解析：直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)．化为一般方程为：x －11＝y －13，即 3x －y －2＝0.又l 2：3x －y ＋4＝0.由两平行线间距离公式知 d ＝|c 1－c 2|a 2＋b 2＝|4－(－2)|10＝3105.答案：B2．(2018·广东高考)假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，那么常数k ＝( )A ．25B ．－6C ．6D ．7 解析：直线l 1：3x ＋2y －7＝0，直线l 2：4x ＋ky －1＝0. 由l 1⊥l 2，∴2k ＋3·4＝0，∴k ＝－6. 答案：B3．点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)上，那么yx 的取值范畴为 ( )A ．(－22，22] B ．[－33，33] C ．[－1,1] D ．[－55，55] 解析： 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)是以(－2,0)为圆心，以1为半径的圆，设yx＝k ，求yx 的取值范畴，即求当直线y ＝kx 与圆有公共点时k 的取值范畴，如图结合圆的几何性质可得－33≤k ≤33.答案：B4．设直线参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t 2，y ＝3＋32t (t 为参数)，那么它的斜截式方程为 ( )A ．y ＝3x ＋(23－3)B ．y ＝3x ＋(3－23)C ．y ＝3x ＋(22－3)D ．y ＝3x ＋(3－22)解析：设直线的斜率为3，当t ＝－4时，x ＝0，y ＝3－23，故直线的斜截式方程为y ＝ 3x ＋( 3－23)． 答案：B5．点P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，那么x ＋2y 的最大值为 ( )A.21B.22C.23 D ．26 解析：椭圆x 26＋y 24＝1，设点P (6cos θ，2sin θ)，那么x ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22sin(θ＋φ)≤22. 答案：B6．假设P (2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，那么该弦所在的直线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：∵圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ.消去θ，得(x －1)2＋y 2＝25， ∴圆心C (1,0)，∴k CP ＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为1.∴弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)， 即为x －y －3＝0. 答案：C7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，那么圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________．解析：直线和圆的方程分不是：x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，因此圆心坐标为(0,2)，其到直线距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案：(0,2) 2 28．动圆方程x 2＋y 2－x sin2θ＋22y sin(θ＋π4)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是___________．解析：圆心轨迹的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝12sin2θ，y ＝－2sin(θ＋π4)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ)，消去参数θ得y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)．答案：y 2＝1＋2x x ∈[－12，12]9．a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，点P (x ，y )为椭圆x 2a ＋y 2b ＝1上的一点，那么x 2＋22xy ＋y 2的最大值为________． 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝2a ＋b b 2＝a 2b，解得a ＝2，b ＝4，得椭圆方程为x 22＋y 24＝1，设P (2cos θ，2sin θ)(θ为参数)，那么有 x 2＋22xy ＋y 2＝(2cos θ)2＋22×2cos θ×2sin θ＋4sin 2θ ＝2＋2sin 2θ＋sin2θ＝3＋sin2θ－cos2θ ＝3＋2sin(2θ－π4)≤3＋2，故最大值为3＋ 2. 答案：3＋ 210．(2018·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t的一般方程为x 2－y 2＝4.过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33x ＋3， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4消去y 得，23x 2－2x －7＝0，∴x 1x 2＝－212.x 1＋x 2＝3，∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21711．直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判定直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为： (x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离 d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，因此直线l 和⊙C 相交．12．极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θy ＝t sin θ(t 为参数，θ为直线l 的倾斜角)，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0. (1)假设直线l 与圆C 相切，求θ的值；(2)假设直线l 与圆C 有公共点，求θ的取值范畴．解：因为直线l 的直角坐标方程为y =x tan θ或x =0，圆C 的直角坐标方程为(x -4)2+y 2=4. 由图形可知：(1)当直线l 与圆C 相切时，θ=π6或θ=5π6；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，θ∈[0，π6]∪[5π6，π)．。

极坐标与参数方程高考真题1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6、（2018天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________．11、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）。

参数方程1．在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)。

(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值。

解析 (1)由⎩⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝4。

(2)直线l 的普通方程为x －y －2＝0。

设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，则当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |2＝2， 解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，所以直线l 与直线l ′的距离为d ＝|－22－4－(－2)|2＝2＋2， 即点P 到直线l 距离的最大值为2＋2。

答案 (1)(x －4)2＋y 2＝4 (2)2＋ 22．(优质试题·广西三市联考)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)。

(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值。

解析 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ。

∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4。

(2)将⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，代入圆的方程，得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0。

设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎨⎧ t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3。

届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2参数方程(人教A版)1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变x＝f t数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f t ，方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参y＝g t 数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程x＝－1－t，1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分y＝2＋t别是( )．A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线xx解析∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝ρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．x＝－1－t，又∵ 相加得x＋y＝1，表示直线．y＝2＋t，答案Dx＝1－2t，2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.y＝2＋3t x＝1－2t，解析参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直y＝2＋3t，3 4线4x＋ky＝1垂直可得－2 －k ＝－1，解得k＝－6.答案－6x＝5cos θ，3．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．y＝3sin θ x2y2解析题中二次曲线的普通方程为2591左焦点为(－4,0)．答案(－4,0)x＝t＋1，4．(20XX年湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t 为参数)与y＝1－2t x＝asin θ曲线C2：(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________. y＝3cos θx2y2解析曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2a＋9＝1，直x2y2 3线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为20 ，故曲线a9＝1也经过这个点，代33入解得a＝2 舍去－2.3答案2 x＝5cos θ，5．(20XX年广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和y＝sin θ5 x＝2，4(t∈R)，它们的交点坐标为________．y＝tx＝5cos θ，x22解析由(0≤θ＜π)得，5y＝1(0≤y≤1，－5x≤5)，y＝sin θ 5 x＝2，5由4(t∈R)得，x＝42，y＝t4∴5y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝5或y2＝－4(舍去)．5 25 . 则x＝4y2＝1又θ≥0，得交点坐标为1，5 25答案1，5对应学生211考向一参数方程与普通方程的互化把下列参数方程化为普通方程：x＝3＋cos θ，(1) y＝2－sin θ；1x＝1＋2t，(2)3y＝5＋2t.cos θ＝x－3，解(1)由已知由三角恒等式cos2 θ＋sin2θ＝1,sin θ＝2－y，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1.3(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋2中，3得y＝5＋2(2x－2)，即3x－y＋53＝0.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．x＝cos α，【训练1】(20XX年陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为y＝1＋sin α________．x＝cos α，x＝cos α，①解析由得y＝1＋sin αy－1＝sin α，② ①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1. 答案x2＋(y－1)2＝1考向二直线与圆的参数方程的应用x＝2＋tcos α，x＝1＋cos θ，已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其y＝sin θ y＝3＋tsin α中t为参数，α为直线l的倾斜角)．2π(1)当α＝3l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．2π解(1)当α＝3l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心3坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝23，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋3sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有π3π 3 α＋α＋解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)－12≥0，则sin ≥，即sin6 46 2或22πsin α＋6π 33ππ2πππ≤－2又0≤α＜π，故只能sin α＋6 ≥2，3≤α＋63即6α≤2.故αππ的范围是62.如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．x＝1＋t，【训练2】已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方y＝4－2t x＝2cos θ＋2，程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．[来y＝2sin θ 源: ]x＝1＋t，解由消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，y＝4－2tx＝2c os θ＋2，由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为y＝2sin θ(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝5 2522－5. 5考向三圆锥曲线的参数方程的应用x22求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆4y＝1所得的弦长．2x＝1－2，由条件可知直线的参数方程是2y＝1＋2|2×2＋0－6|55，2＋1所以所求弦长为2解(t为参数)，代入椭圆方程2 1－22 21＋t 2＝1，可得＋425即22＋2t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数2t＋t12 5，的关系可得2tt 125则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝t1＋t2 －4t1t2＝242 62 2－－4×＝555普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】(20XX年南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线1x＝t＋t 1y＝t－t(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．解3x＝－3＋2s，直线的参数方程为1y＝2(s为参数)，1x＝t＋t又曲线1y＝t－t(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－3s＋10＝0，设A、B对应的参数分别为s1，s2. ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10. ∴|AB|＝|s1－s2|＝s1＋s2 －4s1s2＝217.(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)x＝－2－2t，1．(20XX年深圳模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)2y＝3＋2t的点的坐标是________．解析由题意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝2，t＝2，代入x＝－2－2t，(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．y＝3＋2t答案(－3,4)或(－1,2)x＝2＋cos θ，2．(20XX年东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯y＝sin θ一的公共点，则实数k＝________.解析曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝3答案3 x＝cos α，3．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．y＝1＋sin α|0＋4－7|3解析曲线可化为x＋(y－1)＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦9＋16522|2k|31 k＝. 31＋k长l＝r－d＝5. 8答案5 x＝1－2t，x＝s，4．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，y＝2＋kt y＝1－2s则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋yk24＋k－1＝0，由l1∥l22＝11 k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0 k＝－1. 答案 4 －1x＝3＋3cos θ，5．(20XX年湛江调研)参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直y＝－3＋3sin θ线y＝x的最短距离为________．x＝3＋3cos θ，解析参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心y＝－3＋3sin θ|3－－3 |坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝32，2则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝2－3＝2－1)．答案3(2－1)6．(20XX年陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极x＝3＋cos θ，坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρy＝sin θ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.。

高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = A ．1(0,)2 B ．(0,)+∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,0)[,)2-∞+∞2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 3、已知复数z 满足2015(1)i z i --(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 4、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 5、设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．23 6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 A ．536B ．16C ．215D ．1127、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．103 B ．53 C ．203D ．48、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯9、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半 轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-=A ．．12 D ．12-10、在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠==== ， 则该四面体的外接球的表面积为 A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π 11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限 内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是A C 12、设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-== ，记102|()()||()()|k kkk kS f a f a f a f a =-+- 9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-= ，则下列结论正确的是A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】由x=1+t得t=x-1代入y=-1+3t整理得，，即为曲线C的普通方程.考点:参数方程与普通方程互化2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。

（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：（Ⅰ）由,得所以曲线C的直角坐标方程为（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t 1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4 （10分）【考点】极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想3.（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（I）求直线和圆的普通方程；（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.【答案】（I）,;（II）【解析】（I）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.（II）由直线与圆有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径4,由点到直线的距离公式即可得到结论.试题解析：（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.【考点】1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.4.直线（为参数）的倾斜角是【答案】.【解析】直线的斜率为，因此该直线的倾斜角为.【考点】1.直线的参数方程；2.直线的斜率5.直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【答案】3【解析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．6.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】1【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得．所以．【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）所以． 10分【考点】直线的参数方程7.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为（，）,直线l的极坐标方程为ρcos（）=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.【答案】（1）x+y-2=0 （2）相交【解析】(1)由点A（，）在直线ρcos（-）=a上,可得a=，所以直线l的方程可化为,从而直线l的直角坐标方程为.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1，0)，半径r=1,因为圆心C 到直线l的距离d=<1,所以直线l与圆C相交.9.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为．【答案】【解析】由已知得，点的直角坐标为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为．【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系.10.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，若点P(m，2)在曲线C上，求m的值．【答案】m＝16【解析】点P(m，2)在曲线C上，则，所以m＝16.11.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为坐标原点，为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．则的参数方程为 .【答案】（为参数）【解析】设点.由，可得.即的参数方程为（为参数）.【考点】1.参数方程的知识.2.向量相等.12.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于.【答案】【解析】、的普通方程分别为、，与的两个交点之间的距离即为圆截直线得到的弦长，所以，.【考点】参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.13.若直线（为参数）被圆截得的弦长为最大，则此直线的倾斜角为；【答案】【解析】直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离最小，，当时，.【考点】参数方程与普通方程的转化、极坐标与直角坐标的转化、最值问题.14.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,求此弦所在直线的方程.【答案】2x+y-5=0【解析】由于曲线表示的是圆心在原点O,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直.∵kOM=,∴弦所在直线的斜率是-2,故所求直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.15.已知直线与圆相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 .【答案】【解析】消掉可得直线方程为，利用可得圆的方程为，联立方程组得交点，交点间距离为，则所求圆的面积为.另解：因为圆心到直线的距离为，所以，则所求圆的面积为【考点】直线与圆的参数方程16.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为________．【答案】a＝4【解析】由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a.∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.17.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．(1)求|AB|的长；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【答案】（1）（2）【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t－5＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝5(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝·＝.18.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.19.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.20.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．【答案】【解析】由已知得，将两式平方相加有，，所以普通方程为.【考点】参数方程与普通方程的互化.21.过点，倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于两点，试确定的值．【答案】15．【解析】先将曲线：（圆）的参数方程化成普通方程，再将直线的参数方程代入其中，得到一个关于的一元二次方程，最后结合参数的几何意义，利用一元二次方程的根与系数之间的关系式即可求得距离之积．试题解析：由已知得直线的参数方程为（为参数），即（为参数） 3分曲线的普通方程为． 6分把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得∴点到两点的距离之积为15． 10分【考点】1．圆的参数方程；2．直线和圆相交有关计算．22.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面坐标系，圆的参数方程（为参数），若圆与相切，则实数 .【答案】.【解析】圆的直角坐标方程为，其标准方程为，圆心为，半径长为，圆的圆心坐标为，半径长为，由于圆与圆外切，则.【考点】1.参数方程与直角坐标方程之间的转化；2.两圆的位置关系23.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．24.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为 ____.【答案】（2,5）【解析】曲线的参数方程为（为参数），将代入，因为，所以其一般方程为.再将曲线的极坐标方程为转化为直角坐标系中的方程,因为，，故曲线的一般方程为.联立方程组，解得或，又，所以舍去.所以与交点在直角坐标系中的坐标为（2,5）.【考点】坐标系与参数方程25.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：则圆截直线所得弦长为 .【答案】【解析】圆C的参数方程为的圆心为,半径为3, 直线普通方程为,即,圆心C到直线的距离为,所以圆C截直线所得弦长.【考点】1.参数方程；2.点到直线的距离.26.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；⑵当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)代入消参数法求解直线方程，利用极坐标公式求解圆的普通方程；（2）借助弦长公式求出直径的长，确定圆心坐标，利用圆的标准方程求解.试题解析：(1)对于曲线消去参数得：当时，；当时，. (3分)对于曲线：，，则. (5分)(2) 当时，曲线的方程为，联立的方程消去得，即，，圆心为，即，从而所求圆方程为. (10分)【考点】1.极坐标系与参数方程的相关知识;2.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化;3.平面内直线与曲线的位置关系.27.函数的最大值是．【答案】10【解析】由分析可考虑三角代换，令，则，代入化简可得，即可得.【考点】参数方程，辅助角公式.28.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，那么，直线与圆的位置关系是 ( )A．直线平分圆B．相离C．相切D．相交【答案】D【解析】先把参数方程化为，再把圆的极坐标方程化成，再利用圆心到直线的距离.【考点】1.参数方程；2.极坐标.29.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求．【答案】圆心到直线的距离，。

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!2.4直线的参数方程作业当堂检测1．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－322．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2，3)的距离等于2的点的坐标是________．3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________．4．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．一、基础达标1．在参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.||t 1－t 22 D.||t 1＋t 222．直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!得的弦长为( )A ．7 2B ．4014C.82 D.93＋4 33．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 4．过点(0，2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3t y ＝2＋tB.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－tD.⎩⎨⎧x ＝2－3t y ＝t 5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．6．(2013·南京模拟)过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，则线段AB 的长为________．7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 二、能力提升8．已知直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，则点P 到直线的距离的最大值为( )每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)， 点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6， 此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2， 即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0， 解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12， 即12ρcos θ-32ρsin θ=12， 又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。

2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。