在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt (t为参数)

第十二章第二节参数方程课下练兵场1．(2018·天津高考)设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t ，(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，那么l 1与l 2间的距离为( )A.10B.3105C.2105D ．310解析：直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)．化为一般方程为：x －11＝y －13，即 3x －y －2＝0.又l 2：3x －y ＋4＝0.由两平行线间距离公式知 d ＝|c 1－c 2|a 2＋b 2＝|4－(－2)|10＝3105.答案：B2．(2018·广东高考)假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，那么常数k ＝( )A ．25B ．－6C ．6D ．7 解析：直线l 1：3x ＋2y －7＝0，直线l 2：4x ＋ky －1＝0. 由l 1⊥l 2，∴2k ＋3·4＝0，∴k ＝－6. 答案：B3．点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)上，那么yx 的取值范畴为 ( )A ．(－22，22] B ．[－33，33] C ．[－1,1] D ．[－55，55] 解析： 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)是以(－2,0)为圆心，以1为半径的圆，设yx＝k ，求yx 的取值范畴，即求当直线y ＝kx 与圆有公共点时k 的取值范畴，如图结合圆的几何性质可得－33≤k ≤33.答案：B4．设直线参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t 2，y ＝3＋32t (t 为参数)，那么它的斜截式方程为 ( )A ．y ＝3x ＋(23－3)B ．y ＝3x ＋(3－23)C ．y ＝3x ＋(22－3)D ．y ＝3x ＋(3－22)解析：设直线的斜率为3，当t ＝－4时，x ＝0，y ＝3－23，故直线的斜截式方程为y ＝ 3x ＋( 3－23)． 答案：B5．点P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，那么x ＋2y 的最大值为 ( )A.21B.22C.23 D ．26 解析：椭圆x 26＋y 24＝1，设点P (6cos θ，2sin θ)，那么x ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22sin(θ＋φ)≤22. 答案：B6．假设P (2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，那么该弦所在的直线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：∵圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ.消去θ，得(x －1)2＋y 2＝25， ∴圆心C (1,0)，∴k CP ＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为1.∴弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)， 即为x －y －3＝0. 答案：C7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，那么圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________．解析：直线和圆的方程分不是：x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，因此圆心坐标为(0,2)，其到直线距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案：(0,2) 2 28．动圆方程x 2＋y 2－x sin2θ＋22y sin(θ＋π4)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是___________．解析：圆心轨迹的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝12sin2θ，y ＝－2sin(θ＋π4)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ)，消去参数θ得y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)．答案：y 2＝1＋2x x ∈[－12，12]9．a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，点P (x ，y )为椭圆x 2a ＋y 2b ＝1上的一点，那么x 2＋22xy ＋y 2的最大值为________． 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝2a ＋b b 2＝a 2b，解得a ＝2，b ＝4，得椭圆方程为x 22＋y 24＝1，设P (2cos θ，2sin θ)(θ为参数)，那么有 x 2＋22xy ＋y 2＝(2cos θ)2＋22×2cos θ×2sin θ＋4sin 2θ ＝2＋2sin 2θ＋sin2θ＝3＋sin2θ－cos2θ ＝3＋2sin(2θ－π4)≤3＋2，故最大值为3＋ 2. 答案：3＋ 210．(2018·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t的一般方程为x 2－y 2＝4.过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33x ＋3， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4消去y 得，23x 2－2x －7＝0，∴x 1x 2＝－212.x 1＋x 2＝3，∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21711．直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判定直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为： (x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离 d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，因此直线l 和⊙C 相交．12．极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θy ＝t sin θ(t 为参数，θ为直线l 的倾斜角)，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0. (1)假设直线l 与圆C 相切，求θ的值；(2)假设直线l 与圆C 有公共点，求θ的取值范畴．解：因为直线l 的直角坐标方程为y =x tan θ或x =0，圆C 的直角坐标方程为(x -4)2+y 2=4. 由图形可知：(1)当直线l 与圆C 相切时，θ=π6或θ=5π6；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，θ∈[0，π6]∪[5π6，π)．。

极坐标与参数方程高考真题1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6、（2018天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________．11、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）。

参数方程1．在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)。

(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值。

解析 (1)由⎩⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝4。

(2)直线l 的普通方程为x －y －2＝0。

设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，则当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |2＝2， 解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，所以直线l 与直线l ′的距离为d ＝|－22－4－(－2)|2＝2＋2， 即点P 到直线l 距离的最大值为2＋2。

答案 (1)(x －4)2＋y 2＝4 (2)2＋ 22．(优质试题·广西三市联考)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)。

(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值。

解析 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ。

∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4。

(2)将⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，代入圆的方程，得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0。

设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎨⎧ t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3。

届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2参数方程(人教A版)1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变x＝f t数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f t ，方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参y＝g t 数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程x＝－1－t，1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分y＝2＋t别是( )．A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线xx解析∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝ρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．x＝－1－t，又∵ 相加得x＋y＝1，表示直线．y＝2＋t，答案Dx＝1－2t，2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.y＝2＋3t x＝1－2t，解析参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直y＝2＋3t，3 4线4x＋ky＝1垂直可得－2 －k ＝－1，解得k＝－6.答案－6x＝5cos θ，3．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．y＝3sin θ x2y2解析题中二次曲线的普通方程为2591左焦点为(－4,0)．答案(－4,0)x＝t＋1，4．(20XX年湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t 为参数)与y＝1－2t x＝asin θ曲线C2：(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________. y＝3cos θx2y2解析曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2a＋9＝1，直x2y2 3线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为20 ，故曲线a9＝1也经过这个点，代33入解得a＝2 舍去－2.3答案2 x＝5cos θ，5．(20XX年广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和y＝sin θ5 x＝2，4(t∈R)，它们的交点坐标为________．y＝tx＝5cos θ，x22解析由(0≤θ＜π)得，5y＝1(0≤y≤1，－5x≤5)，y＝sin θ 5 x＝2，5由4(t∈R)得，x＝42，y＝t4∴5y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝5或y2＝－4(舍去)．5 25 . 则x＝4y2＝1又θ≥0，得交点坐标为1，5 25答案1，5对应学生211考向一参数方程与普通方程的互化把下列参数方程化为普通方程：x＝3＋cos θ，(1) y＝2－sin θ；1x＝1＋2t，(2)3y＝5＋2t.cos θ＝x－3，解(1)由已知由三角恒等式cos2 θ＋sin2θ＝1,sin θ＝2－y，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1.3(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋2中，3得y＝5＋2(2x－2)，即3x－y＋53＝0.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．x＝cos α，【训练1】(20XX年陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为y＝1＋sin α________．x＝cos α，x＝cos α，①解析由得y＝1＋sin αy－1＝sin α，② ①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1. 答案x2＋(y－1)2＝1考向二直线与圆的参数方程的应用x＝2＋tcos α，x＝1＋cos θ，已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其y＝sin θ y＝3＋tsin α中t为参数，α为直线l的倾斜角)．2π(1)当α＝3l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．2π解(1)当α＝3l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心3坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝23，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋3sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有π3π 3 α＋α＋解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)－12≥0，则sin ≥，即sin6 46 2或22πsin α＋6π 33ππ2πππ≤－2又0≤α＜π，故只能sin α＋6 ≥2，3≤α＋63即6α≤2.故αππ的范围是62.如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．x＝1＋t，【训练2】已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方y＝4－2t x＝2cos θ＋2，程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．[来y＝2sin θ 源: ]x＝1＋t，解由消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，y＝4－2tx＝2c os θ＋2，由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为y＝2sin θ(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝5 2522－5. 5考向三圆锥曲线的参数方程的应用x22求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆4y＝1所得的弦长．2x＝1－2，由条件可知直线的参数方程是2y＝1＋2|2×2＋0－6|55，2＋1所以所求弦长为2解(t为参数)，代入椭圆方程2 1－22 21＋t 2＝1，可得＋425即22＋2t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数2t＋t12 5，的关系可得2tt 125则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝t1＋t2 －4t1t2＝242 62 2－－4×＝555普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】(20XX年南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线1x＝t＋t 1y＝t－t(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．解3x＝－3＋2s，直线的参数方程为1y＝2(s为参数)，1x＝t＋t又曲线1y＝t－t(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－3s＋10＝0，设A、B对应的参数分别为s1，s2. ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10. ∴|AB|＝|s1－s2|＝s1＋s2 －4s1s2＝217.(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)x＝－2－2t，1．(20XX年深圳模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)2y＝3＋2t的点的坐标是________．解析由题意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝2，t＝2，代入x＝－2－2t，(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．y＝3＋2t答案(－3,4)或(－1,2)x＝2＋cos θ，2．(20XX年东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯y＝sin θ一的公共点，则实数k＝________.解析曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝3答案3 x＝cos α，3．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．y＝1＋sin α|0＋4－7|3解析曲线可化为x＋(y－1)＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦9＋16522|2k|31 k＝. 31＋k长l＝r－d＝5. 8答案5 x＝1－2t，x＝s，4．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，y＝2＋kt y＝1－2s则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋yk24＋k－1＝0，由l1∥l22＝11 k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0 k＝－1. 答案 4 －1x＝3＋3cos θ，5．(20XX年湛江调研)参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直y＝－3＋3sin θ线y＝x的最短距离为________．x＝3＋3cos θ，解析参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心y＝－3＋3sin θ|3－－3 |坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝32，2则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝2－3＝2－1)．答案3(2－1)6．(20XX年陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极x＝3＋cos θ，坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρy＝sin θ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.。

高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = A ．1(0,)2 B ．(0,)+∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,0)[,)2-∞+∞2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 3、已知复数z 满足2015(1)i z i --(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 4、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 5、设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．23 6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 A ．536B ．16C ．215D ．1127、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．103 B ．53 C ．203D ．48、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯9、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半 轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-=A ．．12 D ．12-10、在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠==== ， 则该四面体的外接球的表面积为 A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π 11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限 内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是A C 12、设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-== ，记102|()()||()()|k kkk kS f a f a f a f a =-+- 9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-= ，则下列结论正确的是A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】由x=1+t得t=x-1代入y=-1+3t整理得，，即为曲线C的普通方程.考点:参数方程与普通方程互化2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。

（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：（Ⅰ）由,得所以曲线C的直角坐标方程为（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t 1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4 （10分）【考点】极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想3.（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（I）求直线和圆的普通方程；（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.【答案】（I）,;（II）【解析】（I）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.（II）由直线与圆有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径4,由点到直线的距离公式即可得到结论.试题解析：（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.【考点】1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.4.直线（为参数）的倾斜角是【答案】.【解析】直线的斜率为，因此该直线的倾斜角为.【考点】1.直线的参数方程；2.直线的斜率5.直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【答案】3【解析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．6.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】1【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得．所以．【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）所以． 10分【考点】直线的参数方程7.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为（，）,直线l的极坐标方程为ρcos（）=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.【答案】（1）x+y-2=0 （2）相交【解析】(1)由点A（，）在直线ρcos（-）=a上,可得a=，所以直线l的方程可化为,从而直线l的直角坐标方程为.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1，0)，半径r=1,因为圆心C 到直线l的距离d=<1,所以直线l与圆C相交.9.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为．【答案】【解析】由已知得，点的直角坐标为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为．【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系.10.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，若点P(m，2)在曲线C上，求m的值．【答案】m＝16【解析】点P(m，2)在曲线C上，则，所以m＝16.11.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为坐标原点，为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．则的参数方程为 .【答案】（为参数）【解析】设点.由，可得.即的参数方程为（为参数）.【考点】1.参数方程的知识.2.向量相等.12.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于.【答案】【解析】、的普通方程分别为、，与的两个交点之间的距离即为圆截直线得到的弦长，所以，.【考点】参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.13.若直线（为参数）被圆截得的弦长为最大，则此直线的倾斜角为；【答案】【解析】直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离最小，，当时，.【考点】参数方程与普通方程的转化、极坐标与直角坐标的转化、最值问题.14.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,求此弦所在直线的方程.【答案】2x+y-5=0【解析】由于曲线表示的是圆心在原点O,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直.∵kOM=,∴弦所在直线的斜率是-2,故所求直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.15.已知直线与圆相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 .【答案】【解析】消掉可得直线方程为，利用可得圆的方程为，联立方程组得交点，交点间距离为，则所求圆的面积为.另解：因为圆心到直线的距离为，所以，则所求圆的面积为【考点】直线与圆的参数方程16.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为________．【答案】a＝4【解析】由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a.∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.17.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．(1)求|AB|的长；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【答案】（1）（2）【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t－5＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝5(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝·＝.18.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.19.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.20.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．【答案】【解析】由已知得，将两式平方相加有，，所以普通方程为.【考点】参数方程与普通方程的互化.21.过点，倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于两点，试确定的值．【答案】15．【解析】先将曲线：（圆）的参数方程化成普通方程，再将直线的参数方程代入其中，得到一个关于的一元二次方程，最后结合参数的几何意义，利用一元二次方程的根与系数之间的关系式即可求得距离之积．试题解析：由已知得直线的参数方程为（为参数），即（为参数） 3分曲线的普通方程为． 6分把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得∴点到两点的距离之积为15． 10分【考点】1．圆的参数方程；2．直线和圆相交有关计算．22.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面坐标系，圆的参数方程（为参数），若圆与相切，则实数 .【答案】.【解析】圆的直角坐标方程为，其标准方程为，圆心为，半径长为，圆的圆心坐标为，半径长为，由于圆与圆外切，则.【考点】1.参数方程与直角坐标方程之间的转化；2.两圆的位置关系23.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．24.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为 ____.【答案】（2,5）【解析】曲线的参数方程为（为参数），将代入，因为，所以其一般方程为.再将曲线的极坐标方程为转化为直角坐标系中的方程,因为，，故曲线的一般方程为.联立方程组，解得或，又，所以舍去.所以与交点在直角坐标系中的坐标为（2,5）.【考点】坐标系与参数方程25.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：则圆截直线所得弦长为 .【答案】【解析】圆C的参数方程为的圆心为,半径为3, 直线普通方程为,即,圆心C到直线的距离为,所以圆C截直线所得弦长.【考点】1.参数方程；2.点到直线的距离.26.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；⑵当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)代入消参数法求解直线方程，利用极坐标公式求解圆的普通方程；（2）借助弦长公式求出直径的长，确定圆心坐标，利用圆的标准方程求解.试题解析：(1)对于曲线消去参数得：当时，；当时，. (3分)对于曲线：，，则. (5分)(2) 当时，曲线的方程为，联立的方程消去得，即，，圆心为，即，从而所求圆方程为. (10分)【考点】1.极坐标系与参数方程的相关知识;2.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化;3.平面内直线与曲线的位置关系.27.函数的最大值是．【答案】10【解析】由分析可考虑三角代换，令，则，代入化简可得，即可得.【考点】参数方程，辅助角公式.28.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，那么，直线与圆的位置关系是 ( )A．直线平分圆B．相离C．相切D．相交【答案】D【解析】先把参数方程化为，再把圆的极坐标方程化成，再利用圆心到直线的距离.【考点】1.参数方程；2.极坐标.29.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求．【答案】圆心到直线的距离，。

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!2.4直线的参数方程作业当堂检测1．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－322．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2，3)的距离等于2的点的坐标是________．3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________．4．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．一、基础达标1．在参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.||t 1－t 22 D.||t 1＋t 222．直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!得的弦长为( )A ．7 2B ．4014C.82 D.93＋4 33．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 4．过点(0，2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3t y ＝2＋tB.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－tD.⎩⎨⎧x ＝2－3t y ＝t 5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．6．(2013·南京模拟)过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，则线段AB 的长为________．7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 二、能力提升8．已知直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，则点P 到直线的距离的最大值为( )每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)， 点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6， 此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2， 即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0， 解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12， 即12ρcos θ-32ρsin θ=12， 又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。

2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。

第2讲 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程导师提醒1．关注直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22；③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3. 答案：3椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.答案：185如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎨⎧x ＝1t①，y ＝1tt 2－1②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θy ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1， 再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin （θ＋φ）|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117， 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 【解】 (1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l距离的最小值为7.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．(2019·长沙模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t cosπ4，y ＝t sin π4(t为参数)，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 2＝1得，52t 2＋6t －1＝0，Δ＝(6)2－4×52×(－1)＝16>0.设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－25，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－2652－4×⎝⎛⎭⎫－25＝6425＝85.2．(2019·西安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0. 所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2[（r ＋12）2＋34]5≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510.[基础题组练]1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点P (1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|P A |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－1，|P A |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x－23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0. 因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得(2＋12t )2＝4(2＋32t )，即t 2＋(8－83)t－16＝0.因为Δ>0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2，所以t 1t 2＝－16，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2，0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)两边同乘以ρ得，曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l ：x －y ＋2＝0. (2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ>0得a >4，设M ⎝⎛⎭⎫－2＋22t 1，22t 1，N (－2＋22t 2，22t 2)，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ，因为|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，所以|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，所以(22a )2－4×8a ＝8a ，所以a ＝5.3．(综合型)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos （t ＋π4）|2.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.。

2017年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知复数z=，则=（）A．﹣2i B．﹣i C．2i D．i2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|（x﹣2）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（0，3]3．“x≥1”是“lgx≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为（）A．45 B．55 C．65 D．665．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x6．若数列{an}满足an+1=2an（an≠0，n∈N*），且a3与a5的等差中项是10，则a1+a2+…+an等于（）A．2n B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣17．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）A．7 B．6 C．5 D．38．某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在主视图中的投影长度为，在左视图中的投影长度为，则该长方体的体积为（）A．3+2 B．2C．6+4 D．109．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．10．下面四个命题中的真命题是（）A．命题“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0”的否定是：“?x＜2，使得x2﹣3x+2＜0”B．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5、16、27、38、49的同学均被选出，则该班人数可能为60D．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，1）内取值的概率为0.3，则X在（0，2）内取值的概率为0.611．已知=（cos2x，﹣1），=（1，sin2x+sin2x）（x∈R），若f（x）=?，则函数f（x）的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．﹣D．﹣112．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=30°，E为CD的中点．若，则AB的长为（）A．B．C．D．1二、填空题13．已知抛物线y=x2，则其准线方程是．14．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则的最大值为．15．已知f（x）=x+在区间[1，4]上的最小值为n，则二项式（x﹣）n展开式中x2的系数为．16．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f （1﹣x）．当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为．三、解答题17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=（b，﹣a），=（sinA，cosB），⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=3，c=2a，求a，c的值．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥BC；（Ⅱ）求平面CA1B1与平面A1B1C1的夹角的大小．19．私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75] 频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4 （Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[55，65），的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中赞成“车辆限行”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．已知椭圆C：（a＞b＞0），其焦距为2，点P（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=mx+t（m∈R），使得?=0成立？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）请考生在22、23两题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）存在实数x，使不等式f（x）+|x+2|﹣m≤0有解，求实数m的取值范围．2017年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知复数z=，则=（）A．﹣2i B．﹣i C．2i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则可求．【解答】解：z==，则=﹣i．故选：B．2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|（x﹣2）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（0，3]【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1≤2x≤8}={x|0≤x≤3}，B={x|（x﹣2）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，则A∩B={x|2＜x≤3}=（2，3]．故选：A．3．“x≥1”是“lgx≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】lgx≥0?x≥1．即可判断出结论．【解答】解：lgx≥0?x≥1．∴“x≥1”是“lgx≥0”的充要条件．故选：C．4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为（）A．45 B．55 C．65 D．66【考点】归纳推理．【分析】根据已知中第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有1+2个，第3个图中黑点有1+2+3个，第4个图中黑点有1+2+3+4个，…归纳可得第n个图中黑点有1+2+3+…+n个，可得结论．【解答】解：由已知中：第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有3=1+2个，第3个图中黑点有6=1+2+3个，第4个图中黑点有10=1+2+3+4个，…故第10个图中黑点有a10=1+2+3+ (10)=55个，故选B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得=，从而可得=2，直接写出渐近线方程即可．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，∴=，∴=2，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选D．6．若数列{an}满足an+1=2an（an≠0，n∈N*），且a3与a5的等差中项是10，则a1+a2+…+an等于（）A．2n B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣1【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】判断数列{an}是等比数列，由等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，列方程，解方程求出首项，然后运用等比数列的求和公式即可．【解答】解：数列{an}满足an+1=2an（an≠0，n∈N*），可知数列是等比数列，公比为2，a3与a5的等差中项是10，可得a3+a5=20，a3（1+q2）=20，解得a3=4，a1=1．则a1+a2+…+an==2n﹣1．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）A．7 B．6 C．5 D．3【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S＞5时的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=1+02+12+22+…+（k﹣1）2的值S=1+02+12+22=6＞5输出S=6．故选：B8．某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在主视图中的投影长度为，在左视图中的投影长度为，则该长方体的体积为（）A．3+2 B．2C．6+4 D．10【考点】由三视图求面积、体积．【分析】设长方体的长，宽，高分别为a，b，c．由题意可得：a2+b2+c2=10，a2+c2=6，b2+c2=5，联立解出即可得出．【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为a，b，c．由题意可得：a2+b2+c2=10，a2+c2=6，b2+c2=5，解得c=1，b=2，a=．∴该长方体的体积V=abc=2．故选：B．9．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D【解答】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，所以y=2x﹣x2=0，有3个解，即函数y=2x﹣x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x=﹣3时，y=2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D故选：A10．下面四个命题中的真命题是（）A．命题“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0”的否定是：“?x＜2，使得x2﹣3x+2＜0”B．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5、16、27、38、49的同学均被选出，则该班人数可能为60D．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，1）内取值的概率为0.3，则X在（0，2）内取值的概率为0.6【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出命题“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0”的否定可判断A错误；写出命题“若x2=1，则x=1”的否命题可判断B错误；利用系统抽样原理及特点可判断C错误；利用正态密度曲线的性质，经过运算可判断D正确．【解答】解：对于A，命题“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0”的否定是：“?x≥2，使得x2﹣3x+2＜0”，∴A错误；对于B，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，∴B错误；对于C，采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5、16、27、38、49的同学均被选出，则该班人数不会超过55（分段间隔为11），不可能为60，∴C错误；对于D，在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.3，则由正态曲线关于x=1对称，故P（0＜X＜2）=2P（0＜X＜1）=2×0.3=0.6，即X在（0，2）内取值的概率为0.6，∴D正确．故选：D．11．已知=（cos2x，﹣1），=（1，sin2x+sin2x）（x∈R），若f（x）=?，则函数f（x）的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．﹣D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的坐标运算和二倍角的余弦公式，以及两角和的余弦公式，结合余弦函数的最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由=（cos2x，﹣1），=（1，sin2x+sin2x）（x∈R），则f（x）=?=cos2x﹣sin2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），由x∈R，可得2x+=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣2．故选：A．12．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=30°，E为CD的中点．若，则AB的长为（）A．B．C．D．1【考点】向量在几何中的应用．【分析】用表示出，利用数量积运算公式列出方程即可求出AB．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，E为CD的中点，∴，=，∴=（）?（）==1．又，=1×AB×cos30°=AB，=AB2，∴1﹣AB2+AB=1，解得AB=或AB=0（舍）．故选C．二、填空题13．已知抛物线y=x2，则其准线方程是y=﹣2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】写出标准方程，然后求解准线方程即可．【解答】解：抛物线y=x2，的标准方程为：x2=8y，则其准线方程是：y=﹣2．故答案为：y=﹣2．14．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，把向量的数量积转化为线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z==2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B（2，3）时，z有最大值为2×2+3=7．故答案为：7．15．已知f（x）=x+在区间[1，4]上的最小值为n，则二项式（x﹣）n展开式中x2的系数为15 ．【考点】二项式定理的应用；基本不等式．【分析】利用导数研究函数f（x）的单调性，即可得出最小值．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：f′（x）=1﹣=，x∈[1，4]．令f′（x）=0，解得x=3．∴x∈[1，3]时，函数f（x）单调递减；x∈（3，4]时，函数f（x）单调递增．∴x=3时，函数f（x）取得最小值6．∴的通项公式：Tr+1==（﹣1）rx6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2．∴二项式（x﹣）n展开式中x2的系数为=15．故答案为：15．16．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f （1﹣x）．当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为①②③．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据奇函数的性质和f（1+x）=﹣f（1﹣x），求出函数的周期，再由所给的解析式和周期性，求出函数在一个周期性的解析式，再画出函数在R上的图象，由图象进行逐一判断．【解答】解：令x取x+1代入f（1+x）=﹣f（1﹣x）得，f（x+2）=﹣f（﹣x）∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（x），则函数是周期为2的周期函数，设0＜x＜1，则2＜x+2＜3，∵当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），∴f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设﹣1＜x＜﹣0，则0＜﹣x＜1，由f（x）=﹣f（﹣x）得，f（x）=﹣log2（﹣x+1），根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：由上图得，函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；且函数y=|f（x）|的图象是将y=f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，则函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；故①②③正确，而函数y=f（|x|）=，则图象如下图：由图得，图象关于y轴对称，故y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上不是单调递增的，故④不正确，故答案为：①②③．三、解答题17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=（b，﹣a），=（sinA，cosB），⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=3，c=2a，求a，c的值．【考点】余弦定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用⊥时?=0，列出等式，再利用正弦定理和同角的三角函数关系，求出B的值；（2）根据余弦定理，结合题意列出方程组，即可求出a、c的值．【解答】解：（1）=（b，﹣a），=（sinA，cosB），且⊥，∴?=bsinA﹣acosB=0，即bsinA=acosB；由正弦定理得sinBsinA= sinAcosB；又A∈（0，π），∴sinA≠0，∴sinB=cosB，∴tanB=；又B∈（0，π），∴B=；（2）由B=，且b=3，c=2a，根据余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+4a2﹣2a?2a?cos，解得a=或a=﹣（不合题意，舍去）；∴a=，c=2a=2．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥BC；（Ⅱ）求平面CA1B1与平面A1B1C1的夹角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，利用面面垂直的性质；（Ⅱ）推导出∠C1A1C是二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角，由此能求出平面CA1B1与平面A1B1C1的夹角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，所以AA1⊥平面ABC．解：（Ⅱ）因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB．又因为AC⊥AB，所以AB⊥平面AA1C1C，所以A1B1⊥平面AA1C1C，所以A1B1⊥A1C1，A1B1⊥A1C，所以∠C1A1C是二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角．由题意得tan∠C1A1C==1，所以二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角为45°．19．私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75] 频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4 （Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[55，65），的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中赞成“车辆限行”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，分别除以10可得图中各组的纵坐标，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如图．（Ⅱ）由表知年龄在[55，65）内的有5人，不赞成的有2人，因此X=0，1，2．根据P（X=k）=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（Ⅱ）由表知年龄在[55，65）内的有5人，不赞成的有2人，因此X=0，1，2．则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=0）=．可得X的分布列：X 0 1 2 PE（X）=0+=．20．已知椭圆C：（a＞b＞0），其焦距为2，点P（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=mx+t（m∈R），使得?=0成立？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，再由点P（1，）在椭圆C上．，可得a=2，b=，进而得到a，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得（3+4m2）x2+8tmx+4t2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，∵点P（1，）在椭圆C上，∴，解得a2=4，b2=3∴椭圆C的标准方程：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得（3+4m2）x2+8tmx+4t2﹣12=0．△=（8tm）2﹣4（3+4m2）（4t2﹣12）＞0，化简得3+4m2＞t2．x1+x2=，x1x2=，假设?=0成立，所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（mx1+t）（mx2+t）=0，（1+m2）x1x2+tm（x1+x2）+m2=0，化简得7t2=12+12m2．代入3+4m2＞t2中得．有∵7t2=12+12m2≥12，∴t2≥，即，或t．∴存在实数t，使得?=0成立，实数t的取值范围为（﹣]∪[，+∞）．21．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）判断f（x）的单调性，从而计算f（x）的最大值；（II）根据f（x）在（1，+∞）上单调递减可得f（x）＜﹣4，化简得ln （x）＜x﹣1，利用对数的运算性质计算ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…ln（n2+1）﹣2lnn!，根据f（x）的单调性化简，再使用不等式性质得出结论．【解答】解：（I）f′（x）=，令f′（x）=0得x=1，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（1）=﹣4．（II）证明：∵f（x）=lnx﹣x﹣3在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（1）=﹣4，即lnx﹣x﹣3＜﹣4，∴lnx＜x﹣1在（1，+∞）上恒成立，∴ln（+1）＜，∴ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）﹣2lnn!=ln=ln[（1+）（1+） (1)）]=ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜+++…+＜+++…+=1﹣+…+=1﹣＜1．请考生在22、23两题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y=x+，求出圆心C（）到直线l的距离d和圆C的半径r，切线长的最小值为：．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）==cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t是参数），∴直线l的直角坐标方程为y=x+，圆心C（）到直线l的距离d==1，圆C的半径r=，∴切线长的最小值为：==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）存在实数x，使不等式f（x）+|x+2|﹣m≤0有解，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值号，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为m≥（|x﹣1）+|x+2|）min，根据绝对值的性质，求出|x﹣1|+|x+2|≥3，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣1|≥1，故x﹣1≥1或x﹣1≤﹣1，解得：x≥2或x≤0，故不等式的解集是{x|x≥2或x≤0}；（Ⅱ）不等式f（x）+|x+2|﹣m≤0有解，即m≥|x﹣1|+|x+2|有解，即m≥（|x﹣1）+|x+2|）min，而|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，故m≥3．2017年3月27日。

2013年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．考点：二次函数在闭区间上的最值．专函数的性质及应用．题：分析：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．解答：解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f （a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y 的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．解答：解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．点评：本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．解答：解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．解答：解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f （c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选A．点评：熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）（2013•重庆）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5﹣4 B． 1 C．6﹣2D．考点：圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．解答：解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=5﹣4．故选A．点评：本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．解答：解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．解答：解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，]考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．解答：解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选D．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：|z|===．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）（2013•重庆）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．考点：等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．解答：解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．点评：本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：压轴题；概率与统计．分析：不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．解答：解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种故答案为：590．点评：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．解答：解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B 两点，则|AB|=16．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．解答：解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），则|AB|=16．故答案为：16．点评：本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．16．（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．考点：绝对值不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．解答：解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．解答：解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（13分）（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．（13分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．20．（12分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tan α的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数． 专题：解三角形． 分析： （1）利用余弦定理表示出cosC ，将已知等式变形后代入求出cosC 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B 的度数求出sin （A+B ）的值，进而求出cos （A+B ）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos （A+B ），将cosAcosB 的值代入求出sinAsinB 的值，将各自的值代入得到tan α的方程，求出方程的解即可得到tan α的值． 解答：解：（1）∵a 2+b 2+ab=c 2，即a 2+b 2﹣c 2=﹣ab ， ∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C 为三角形的内角， 则C=；（2）由题意==，∴（cosA ﹣tan αsinA ）（cosB ﹣tan αsinB ）=，即tan 2αsinAsinB ﹣tan α（sinAcosB+cosAsinB ）+cosAcosB=tan 2αsinAsinB ﹣tan αsin （A+B ）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin （A+B ）=，cos （A+B ）=cosAcosB ﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan 2α﹣tan α+=，即tan 2α﹣5tan α+4=0，解得：tan α=1或tan α=4．点评： 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|=4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P'Q ，求圆Q 的标准方程．考点：圆锥曲线的综合．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．解答：解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求圆Q的标准方程为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2013•重庆）对正整数n，记I n={1，2，3…，n}，P n={|m∈I n，k∈I n}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并集．考点：集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换．专题：集合．分析：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据P n中有3个数与I n={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．解答：解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，P n={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=4时，P n={|m∈I n，k∈I n}=P n={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时P n中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，P n可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P n⊇I n ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可得，n的最大值为14．点评：本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。

河南省洛阳市栾川县实验高中2024年高三下学期期末复习检测试题（一模）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，则不等式(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭2．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．23．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是324．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．355．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．26．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π7．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π8．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或09．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a ba b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．10．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 11．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =-B ．21n n S a =+C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。

高考数学复习（67） 参数方程1．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t为参数)与曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：由题意知直线l 的普通方程是4x －3y －4＝0， 曲线C 的普通方程是y 2＝4x.由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －4＝0，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－142＋＋2＝254. 2．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4，求直线l 与曲线C的交点的直角坐标．解：将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为y ＝x. 将曲线C 的参数方程化为普通方程可得y ＝2－x 2(－1≤x ≤1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x 2，得x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2，又－1≤x≤1，所以x ＝1，所以直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为(1,1)．3．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标．解：在平面直角坐标系xOy 中， 曲线C 1的普通方程是x ＝3y(y≥0)； 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.解方程组⎩⎨⎧x ＝3，x 2＋y 2＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.所以曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标为(3，1)．4．(2018·徐州高三年级期中考试)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a>0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5t ＋1，y ＝12t －1(t 为参数)，若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5t ＋1，y ＝12t －1(t 为参数)，可得直线l 的普通方程为12x －5y －17＝0，由ρ＝2acos θ(a>0)得ρ2＝2a ρcos θ 所以圆C 的标准方程为(x －a)2＋y 2＝a 2. 因为直线l 与圆C 恒有公共点， 所以|12a －17|122＋－2≤a，解得a≥1725，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1725，＋∞.5．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t(t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：直线l 的参数方程化为普通方程为4x －3y ＝0， 圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 则圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|4|42＋－2＝45， 所以AB ＝21－d 2＝65.6．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 经过极点，所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2－4x ＝0.把直线l 的参数方程代入y 2－4x ＝0，得t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 2－t 1|＝8 2.7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3.(2)因为曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y23＝1，所以曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)．所以d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32. 所以d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522. 所以22≤d≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522. 8．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ， 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7， 所以AB ＝2|t 1－t 2|＝2×1＋t 22－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62， 因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12AB·d＝12×62×22＝12.。