勾股定理的九种证明方法 附图
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勾股定理的证明方法
一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）
左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直
角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为
的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两
个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式
，化简得。
二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）
这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直
角边为
的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所
以可以列出等式，化简得。
三、相似三角形的证法：
4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角
形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三
角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥AB，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD × BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD × AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
四、古人的证法：
如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦
为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定
了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除
之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较
为简明、直观。
C A B
D
五、项明达证法：
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，
斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、
A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
六、欧几里德射影定理证法 ：
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角
形相似则有射影定理如下：
1）（BD）^2;=AD·DC， （2）（AB）^2;=AD·AC ， （3）（BC）^2;=CD·AC 。
由公式（2）+（3）得：
（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，
即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2
七、杨作玫证法：
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜
边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作
AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作
DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，
∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，
AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形，
9
87654321PQRTH
G
F
D
A
a
b
c
a
b
c
c
c
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
CA = b，AP= a，从而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，
∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
54321
2
SSSSSc
①
∵ abaabbSSS•21438 = abb212，
985
SSS
，
∴ 824321SabbSS= 812SSb . ②
把②代入①，得
= 922SSb = 22ab.
∴ 222cba.
八、陈杰证法：
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长
分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在
一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，
则 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
∴ DM = EM―ED = ab―a = b.
又∵ ∠CMD = 90o，CM = a，
∠AED = 90o， AE = b，
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o，
∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，
∴ ∠ADC = 90o.
∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o，
∴ ∠BAF=∠DAE.
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
A
B
C
DEFGHMabcabcacab
c
1
2
3
4
5
6
7
∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a.
∴ 点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.
∵ 54322SSSSc， 6212SSSb， 732SSa，
76451
SSSSS
，
∴ 6217322SSSSSba
=76132SSSSS
=5432SSSS
=2c
∴ 222cba.
九、辛卜松证法：
设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正
方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD
的面积为 abbaba2222；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个
部分，则正方形ABCD的面积为 22214cabba =22cab.
∴ 22222cababba,
∴ 222cba.
