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2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第三章 第八节 解三角形应用举例 含解析

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课时作业

A组——基础对点练

1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是

( )

A．50 m B．100 m

C．120 m D．150 m

解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.

答案：A

2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )

A．北偏东10° B．北偏西10°

C．南偏东80° D．南偏西80°

解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.

答案：D

3.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，

∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )

A．502 m B．503 m

C．252 m D.2522 m

解析：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，

∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502，故A，B两点的距离为502 m.

答案：A

4．(2018·昆明市检测)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于( )

A．1 B.2 C.3 D．2

解析：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝310，cos∠BAC＝－110.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×5×2×(－110)＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝12AB·ACsin∠BAC＝12×2×5×310＝32，所以BC边上的高h＝2S△ABCBC＝2×323＝1，故选A.

答案：A

5.(2018·西安模拟)游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于

．

解析：依题意，设乙的速度为x m/s，

则甲的速度为119x m/s，

因为AB＝1 040，BC＝500，

所以ACx＝1 040＋500119x，解得：AC＝1 260，

在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC

＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝8491＝1213，

所以sin∠BAC＝1－cos2∠BAC＝1－12132＝513.

答案：513

6．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为

25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得 ∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝ .

解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝2523－1sin90°＋θ，即25sin 45°＝2523－1cos θ，得到cos θ＝3－1.

答案：3－1

7.知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？

参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314

解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，

所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.

又由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC

＝5×327＝5314，

所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，

故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．

8.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝12，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.

在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA＝72.

(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.

在△PBA中，由正弦定理得，3sin 150°＝sin αsin30°－α，

化简得3cos α＝4sin α.

所以tan α＝34，即tan∠PBA＝34.

B组——能力提升练

1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

A．102海里 B．103海里

C．203海里 D．202海里

解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，

解得BC＝102(海里)．

答案：A

2．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角β＝15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角γ＝60°，则山高h＝( )

A.22a米 B.a2米 C.32a米 D．a米

解析：在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，

所以asin 30°＝PBsin 15°，所以PB＝6－22a，

所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β

＝6－22a×sin 60°＋asin 15°＝22a(米)．

答案：A

3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：3≈1.732)( )

A．8.4 km B．6.6 km

C．6.5 km D．5.6 km

解析：因为AB＝1 000×160＝503 km，

所以BC＝ABsin 45°·sin 30°＝5032(km)．

所以航线离山顶的高度h＝5032×sin 75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4 km.所以山高为18－11.4＝6.6(km)．

答案：B

4.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)

①测量A，C，b

②测量a，b，C

③测量A，B，a

则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为( )

A．3 B．2 C．1 D．0

解析：对于①，利用内角和定理先求出B＝π－A－C，

再利用正弦定理bsin B＝csin C解出c，

对于②，直接利用余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab即可解出c，

对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，

再利用正弦定理asin A＝csin C解出c.

答案：A

5．(2018·福州市质检)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为 ．

解析：设塔高为h m．依题意得，tan α＝h80，tan β＝h160，tan γ＝h240.因为α＋β

＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝sin90°－γsin γcos90°－γcos γ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h80＋h1601－h80·h160·h240＝1，解得h＝80，所以塔高为80

m.

答案：80 m

6．(2018·遂宁模拟)海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时．

解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°，

由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos

120°，

整理，得36x2－9x－10＝0，

解得x＝23或x＝－512(舍)．

所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时．

答案：23

7．如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为π3的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.

(1)求S关于θ的函数关系式．

(2)求S的最大值及相应的θ角．

解析：(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．

由扇形半径为1 m，

得PD＝sin θ，OD＝cos θ.

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2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第二章 第八节 函数与方程及应用解析

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第二章 第八节 函数与方程及应用解析

课时作业

A组——基础对点练

1、(2018·乌鲁木齐模拟)函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是( )

A、(－12,0) B、(0,12)

C、(12,1) D、(1,32)

解析：因为f(12)＝－2＜0,f(1)＝e－1＞0,所以零点在区间(12,1)上、

答案：C

2、函数f(x)＝2x6－x4－1的零点个数是( )

A、4 B、2

C、1 D、0

解析：函数f(x)＝2x6－x4－1的零点个数,就是方程2x6－x4－1＝0的实根的个数,变形为2x6＝x4＋1,显然x＝0不是方程的根；当x≠0时,等价于2x2＝1＋1x4,令g(x)＝2x2,h(x)＝1＋1x4,作出函数g(x)和h(x)的图像如图所示,数形结合知函数g(x)和h(x)的图像有2个交点,即函数f(x)有2个零点、

答案：B

3、已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )

A、{1,3} B、{－3,－1,1,3}

C、{2－7,1,3} D、{－2－7,1,3}

解析：当x≥0时,f(x)＝x2－3x,

令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0,

得x1＝3,x2＝1.

当x＜0时,－x＞0,∴f(－x)＝(－x)2－3(－x),

∴－f(x)＝x2＋3x,∴f(x)＝－x2－3x.

令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0,

得x3＝－2－7,

x4＝－2＋7＞0(舍),

∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－7,1,3},故选D.

答案：D

4、已知a,b,c,d都是常数,a＞b,c＞d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )

A、a＞c＞b＞d B、a＞b＞c＞d

C、c＞d＞a＞b D、c＞a＞b＞d

解析：f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017,又f(a)＝f(b)＝2 017,c,d为函数f(x)的零点,且a＞b,c＞d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图像,如图所示,由图可知c＞a＞b＞d,故选D.

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第九节第三课时定点、定值、探索性问题解析

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第九节第三课时定点、定值、探索性问题解析

课时作业

A组——基础对点练

1、已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1,动点C的轨迹为

E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(km<0)与曲线E相交于A,B两个不同点,且OA→

·OB→

＝5,证明：

直线l经过一个定点、

解析：(1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离,

∴曲线E是以点(1,0)为焦点,直线x＝－1为准线的抛物线,

设其方程为y2

＝2px(p>0),∴p

2＝1,∴p＝2,

∴动点C的轨迹E的方程为y2＝4x.

(2)证明：设A(x

1,y

1),B(x

2,y

2),

由y＝kx＋m，

y2＝4x，得k2

x2＋(2km－4)x＋m2＝0,

∴x

1＋x

2＝4－2km

k2,x1·x2＝m2

k2.

∵OA→

·OB→

＝5,∴x

1x

2＋y

1y

2＝(1＋k2

)x

1x

2＋km(x

1＋x

2)＋m2＝m2＋4km

k2＝5,

∴m2＋4km－5k2＝0,∴m＝k或m＝－5k.

∵km<0,∴m＝k舍去,∴m＝－5k,满足Δ＝16(1－km)>0,

∴直线l的方程为y＝k(x－5),

∴直线l必经过定点(5,0)、

2、(2018·昆明市检测)已知点A,B的坐标分别为(－2,0),(2,0),直线AM,BM相交

于点M,且它们的斜率之积是－1

2,点M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,交y轴于R点,若RP→

＝λ1PF→

,RQ→

＝λ2QF→

,

证明：λ

1＋λ

2为定值、

解析：(1)设点M(x,y),由已知得y

x＋2·y

x－2＝－1

2(x≠±2),

化简得曲线E的方程：x2

2＋y2＝1(x≠±2)、

(2)证明：设点P,Q,R的坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0)、

由RP→

＝λ

1PF→

,得(x1,y1－y

0)＝λ1(1－x1,－y1),

所以x

1＝λ

1

1＋λ1,y1＝y

0

1＋λ1,

因为点P在曲线E上,所以1

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习第八章 第五节 椭 圆 Word版含解析

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习第八章 第五节 椭 圆 Word版含解析

课时作业

组——基础对点练

．已知椭圆＋＝(>)的左焦点为(－)，则＝( )

． ．

． ．

解析：由＝(>)⇒＝，故选.

答案：

．方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )

．> ．＝

．< ．<<

解析：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，即方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，可得<<，故选.

答案：

．已知椭圆的中心在原点，离心率＝，且它的一个焦点与抛物线＝－的焦点重合，则此椭圆方程为( )

＋＝ ＋＝

＋＝ ＋＝

解析：依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝(>>)，由已知可得抛物线的焦点为(－)，所以＝，又离心率＝＝，解得＝，＝－＝，所以椭圆方程为＋＝，故选.

答案：

．椭圆＋＝(>>)的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，若，，成等差数列，则此椭圆的离心率为( )

－

解析：由题意可得＝＋，即＝－＋＋＝，故＝＝.

答案：

．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且∠＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )

．

解析：如图，假设，分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得＋＝，－＝，∴＝＋，＝－.设＝，又∠＝，则在△中，由余弦定理得，＝(＋)＋(－)－(＋)(－) ，化简得，(－)＋(＋)＝，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，∴＋＝，又＋≥

＝，

∴≤，即·≥，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选.

答案：

．若＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是．

解析：将椭圆的方程化为标准形式得＋＝，因为＋＝表示焦点在轴上的椭圆，所以>，解得<<.

答案：()

．若椭圆的方程为＋＝，且此椭圆的焦距为，则实数＝.

解析：由题可知＝.①当焦点在轴上时，－－(－)＝，解得＝.②当焦点在轴上时，－－(－)＝，解得＝.故实数＝或.

答案：或

．已知椭圆＋＝(>>)的离心率等于，其焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△中，＋ )的值等于．

高中同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第八节 曲线与方程 Word版含解析

高中同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第八节 曲线与方程 Word版含解析

1 课时作业

A组——基础对点练

1．(2017·南昌模拟)方程(x2＋y2－2x)x＋y－3＝0表示的曲线是( )

A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线

C．一个圆 D．一条直线

解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或② x＋y－3≥0，x2＋y2－2x＝0.

注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0.

答案：D

2．(2018·呼和浩特调研)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

解析：设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1|＋|PO|＝12(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆．

答案：B

3．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为( )

A．直线 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，

∵△ABP为正三角形，

∴P到y轴的距离d＝32R，

即|x|＝32R.

而R＝|PF|＝x－a2＋y2，

2 ∴|x|＝32·x－a2＋y2.

整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，

即x＋3a212a2－y24a2＝1.

∴点P的轨迹为双曲线．故选D.

答案：D

4．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为 ．

解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝yx＋1·yx－1＝λ，