八年级上学期数学期末综合检测模拟试卷及答案

2023—2024学年山东省东营市（五四制）八年级上学期期末考试数学检测试卷注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页。

2.数学试题答题卡共4页。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡。

3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD 】涂黑。

第Ⅱ卷按要求用0.5mm 碳素笔答在答题卡的相应位置上。

第I 卷（选择题 共30分）一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。

每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分。

）1.下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣1＝（x ﹣1）2B ．x 2+1＝（x +1）2C ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D ．x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）23.计算的结果是（ ）yyx y x x 88-⋅-A ．B.C. D.xy yx yx -xy -4.如果分式中的x ，y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）23-xyx yA ．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍C ．不变D ．不能确定A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，若点P （m ，m ﹣n ）与点Q （2，1）关于原点对称，则点M （m ，n ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.小乐一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km ，线路二全程90km ，汽车在线路二上行驶的平均车速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．B ．211.89075-=x x 211.89075+=x x C ．D ．21901.875+=x x 21901.875-=x x 7.如图，四边形ABCD 中，R 、P 分别是CD 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CB 上从C 向B 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长不变B ．线段EF 的长逐渐增大C ．线段EF 的长逐渐减小D ．线段EF 的长与点P 的位置有关8.如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 延长线上一点，连接BE 交CD 于点F ，连接CE ，BD 。

2023－2024学年上期期末检测八年级数学试题本试卷分A 卷和B 卷两部分，共4页，全卷满分120分，答题时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上．2．回答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案编号．3．回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡指定的位置内．4．所有题目必须在答题卷作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卷交回．A 卷（共100分）一、选择题（每题3分，共36分）下列各题的四个选项中，只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填涂在机读卡上．1．下列数中，无理数是（ ）A ．3.14BC ．－2D ．2．下列方程中是二元一次方程的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标系中，到轴的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．－44在下列哪两个数之间（ ）A ．2和3B ．3和4C ．4和5D ．5和65．的三边分别是，，，其中能构成直角三角形的是（）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，6．下列命题中真命题是（）A ．有理数和数轴上的点一一对应B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．一次函数的图象是一条直线7．某学校规定学生的体育成绩由三部分组成：大课间体育锻炼及体育课外活动表现占成绩的40%，体育理论测试占10%，体育技能测试占50%，小张的上述三项成绩依次是：95分，80分，86分，则小张这学期的体育成绩是（ ）A ．86分B ．87分C ．88分D ．89分22710xy +=4x y +=30xy+=220x x +=()3,4P --y ABC △a b c 2a =3b =4c =3a =4b =5c =4a =5b =6c =6a =7b =8c =8．已知一次函数的图象经过二，三，四象限，则一次函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知直线与的交点为，则方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．10，则点关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．11．“抖空竹”是典型的基础性节律性运动项目，深受广大人民的喜爱．图1是“抖空竹”时的一个瞬间，小莉把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，轴，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上．13＝______．()0y kx b k =+≠y bx k =-4y x =-3y x b =+()1,a 4030y x y x b +=⎧⎨--=⎩14x y =-⎧⎨=-⎩14x y =⎧⎨=-⎩14x y =⎧⎨=⎩41x y =-⎧⎨=⎩10b ++=(),P a b ()2,1-()2,1--()2,1-()2,1AB CD ∥30E ∠=︒110ECD ∠=︒A ∠P ()2,3PA x ⊥PB y ⊥C OA D OB PCD △D ()0,130,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,214．数据2，4，6，8，10，这组数据的方差为______．15．已知是的正比例函数，则＝______．16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则＝______．三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题12分）（1（2）解方程组：18．（本题7分）如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．19．（本题8分）为进一步提升学生数学核心素养，落实双减提质，某校八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现从八年级一班和二班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为，，三个等级：：，：，：．下面给出了部分信息：一班10名学生的竞赛成绩为：75，75，84，84，84，86，86，94，95，97；二班10名学生的竞赛成绩为：86，85，85，85，96，92，94，76，75，86．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：班级平均数中位数众数方差一班868552二班8542.4根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：＝______，＝______；（2）求的值；（3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个班的成绩更稳定？并说明理由．()283m y m x-=-x m ABCD AC BD D 5AB =4CD =22AD BC +)11--+2133x y x y -=⎧⎨-=⎩A D ∠=∠C B ∠=∠CF BE A B C A 90100x ≤≤B 8090x ≤<C 7080x <<bc aa b c20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．（1）在图中画出关于轴的对称图形，并写出的坐标；（2）求的面积；（3）以点，，为顶点的三角形与全等，请你直接写出点的坐标．21．（本题8分）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某玩具店购进大运会吉祥物“蓉宝”摆件和“蓉宝”钥匙扣玩偶共100个，费用为4600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：进价（元/个）售价（元/个）“蓉宝”摆件5070“蓉宝”钥匙扣4050（1）该玩具店购进“蓉宝”摆件和“蓉宝”钥匙扣玩偶各多少个？（列二元一次方程组解答）（2）该玩具店计划一次性购进两种样式吉祥物共300个，设购进“蓉宝”摆件个，且“蓉宝”钥匙扣不能少于100个，这300个玩具的销售总利润为元．请写出关于的函数关系式，并判断利润能否达到5100元，并说明理由．22．（本题9分）如图，，，，，，是上一动点，设．（1）用表示；（2）当为何值时，；()1,1A -()3,1B ()4,4C ABC △y 111A B C △1B ABC △A B D ABC △D n w w n CA BD ∥CA AB ⊥5AC =3BD =8AB =E AB AE x =x CE x CE DE =（3是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由B 卷（共20分）四、填空题（每小题4分，共8分）将答案填在答题卡相应的横线上．23．已知＝______．24．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点，…在直线上，点，，…在轴的正半轴上，若，，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第2024个等腰直角三角形顶点的横坐标为______．五、解答题（12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本题12分）如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点．（1）求点的坐标及直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）点为直线上一动点，若有，求点的坐标．+a =227a a -+1y x =+y A 1A 2A l 1B 2B 3B x 1AOB △112A B B △213A B B △x 202320232024A B B 2023B 1l 25y x =+x y A B 2l ()2,0C 1l (),3D m D 2l AGD △P 2l 43PAB ACD S S =△△P雅安市2023－2024学年上期期末检测八年级数学参考答案及评分标准A 卷一、选择题（每题3分，共36分）1．B 2．B 3．A 4．D5．B6．D7．D8．C9．B10．C11．C12．A二、填空题（每题3分，共12分）13．214．815．－316．41三、解答题（共52分）17（1）．（6分）解：原式＝＝2－1＝1（2）．（6分）解：①×3－②，得解，得将带入①得∴18．（7分）解：，理由如下：∵∴∴∵∴∴()21--2133x y x y -=⎧⎨-=⎩①②363313x y x y --+=⨯-0y =0y =1x =10x y =⎧⎨=⎩CF BE ∥A D ∠=∠AB DC ∥B BED ∠=∠C B ∠=∠C BED ∠=∠CF BE∥19．（8分）解：（1），（2）（3）∵42.4<53.7∴二班的成绩更稳定20．（8分）解：（1）（2）∵，，∴，点到直线的距离∴（3），，21．（8分）解（1）设“蓉宝”摆件购进个，“蓉宝”钥匙扣购进个由题意可得855a =．84b =()1868585859692947675868610c =⨯+++++++++=()13,1B -()1,1A -()3,1B ()4,4C 4AB =C AB 3h =1143622ABC S AB h ⋅==⨯⨯=△()14,2D -()22,4D -()32,2D --x y 10050404600x y x y +=+=⎧⎨⎩解，得（2）∵购进“蓉宝”摆件购进个，则购进“蓉宝”钥匙扣购进个∴整理，得∵∴当时，∵5000<5100∴利润不能达到5100元．22．（9分）（1）∵，，．∴（2）∵，，，∴，，∴∵∴解，得（3）作点关于直线的对称点，过点作交的延长线于点，连接，可知，，∴的最小值为6040xy =⎧⎨=⎩n ()300n -()2010300w n n =+-()1030000200w n n =+≤≤100n =>200n =max 1020030005000W =⨯+=CA AB ⊥5AC =AE x =CE ==CA BD ∥3BD =8AB =BD AB ⊥8BE x =-DE ==CE DE=()222589x x +=-+3x =C AB F F FG BD ⊥DB G FD 5BG AF AC ===8FG AB ==8DG =CE DE+=+CE DE +=+B 卷四、填空题（每题4分，共8分）23．924．五、解答题（共12分）25．解：（1）∵点在直线上∴即设直线的表达式为，且直线过点，∴解，得∴直线的解析式（2）∵直线与轴交于点202321-(),3D m 25y x =+1m =-()1,3D -2l y kx b =+()2,0C ()1,3D -203k b k b +=⎧⎨-+=⎩12k b =-⎧⎨=⎩2l 2y x =-+25y x =+x A∴∴∴（3）作交于点，设，，∴．∵，，∴．∵，∴，解得或，∴或5,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭92AC =1192732224ACD D S AC y =⨯=⨯⨯⨯=△PE OB ⊥AB E (),2P m m -+13,222E m m ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭13332222PE m m m =---=+5,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭()0,5B 113352222PAB OB S EP m ⋅==⨯⨯+△44279334PAB ACD S S ==⨯=△△13359222m ⨯⨯+=2115m =5115m =-219,1515P ⎛⎫⎪⎝⎭5181,1515P ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2018-2019学年纳溪区白节镇初级中学八年级（上）期末数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共36分）1. 下列四个标志中，是轴对称图形的是A. B. C. D.2. 下列运算中，正确的是A. B. C. D.3. 若分式 无意义，则 A. B. C. D. 或4. 如果三条线段之比是： ：2：3； ：3：5； ：4：6； ：4：5，其中能构成三角形的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 点 关于y 轴的对称点的坐标是A. B.C. D. 6. 一个多边形的外角和等于它的内角和的倍，这个多边形是A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形7. 如图， ， ，判定 ≌ 的依据是A. SSSB. SASC. ASAD. HL8. 阅读下列各式从左到右的变形你认为其中变形正确的有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个9. 如图， ， ， ，则A. B. C. D.10.在中，为直角，，于D，若，则AB的长度是A. 8B. 6C. 4D. 210.如图，已知，，BE与CF交于点D，则对于下列结论：≌ ； ≌ ； ≌ ；在的平分线上其中正确的是A. B. C. D.11.如图，已知，，，，若，则的度数为A. 度B. 度C. 度D. 度二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）12.因式分解：______．13.已知等腰三角形的两条边长为1cm和3cm，则这个三角形的周长为______14.若是完全平方式，则k的值是______．15.如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形不重叠无缝隙，则矩形的面积为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）16.解方程：．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）17.计算：18.化简：18.已知，如图，，E是AB的中点，，求证：．19.在实数范围内将下列各式分解因式：；．20.先化简，再求值：，其中．21.列方程解应用题为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行已知高铁行使速度是原来火车速度的倍，求高铁的行驶速度．22.在直角中，，，AD，CE分别是和的平分线，AD，CE相交于点F．求的度数；判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．答案和解析【答案】1. A2. D3. C4. B5. D6. D7. B8. D9. D10. A11. D12. C13.14. 7cm15.16.17. 解：两边同时乘以得，，，．检验：当时，，故是原分式方程的解．18. 解：．19. 解：原式．20. 证明：，，，，，，又是AB的中点，，在和中，，≌ ．．21. 解：原式；原式，22. 解：原式，当时，原式．23. 解：设原来火车的速度是x千米时，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的根且符合题意．故．答：高铁的行驶速度是．24. 解：中，，，、CE分别是、的平分线，，；与FD之间的数量关系为；证明：在AC上截取，连接FG，是的平分线，又为公共边在和中，≌，，，又为公共边，在和中，≌ ，．【解析】1. 解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2. 解：A、，此选项错误；B、，此选项错误；C、，此选项错误；D、，此选项正确；故选：D．根据幂的运算法则逐一计算即可判断．本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则．3. 解：分式无意义，，则．故选：C．直接利用分式无意义则分母为零进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．4. 解：，能组成三角形；，不能组成三角形；，不能够组成三角形；，能够组成三角形．故选：B．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．此题考查了三角形的三边关系判断能否组成三角形的简便方法，即只需看其中较小两个数的和是否大于第三个数．5. 解：点关于y轴对称，对称点的横坐标为2，纵坐标为3，对称点的坐标是，故选：D．根据关于y轴对称的点的特点解答即可．考查关于y轴对称的点的特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．6. 解：设它的边数是n，根据题意得，，解得．故选：D．根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式与任意多边形的外角和都是，与边数无关是解题的关键．7. 解：，，在与中，，≌ ．故选：B．根据平行线的性质得，再加上公共边，则可利用“SAS”判断 ≌ ．本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．8. 解：分子分母乘以不同的数，故错误；只改变分子分母中部分项的符号，故错误；先通分，再加减，故错误；分子分母乘以不同的数，故错误；故选：D．根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零数，分式的值不变，可得答案；根据分式、分子、分母改变其中两项的符号，结果不变，可得答案；根据分式的加法，可得答案；根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零数，分式的值不变，可得答案．本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零数，分式的值不变；注意分式、分子、分母改变其中两项的符号，结果不变．9. 解：，，，，．故选：D．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等求解即可．本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10. 解：在中，为直角，，于D，，，，，，，，，故选：A．根据题意和直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，由可以求得BC的长，从而可以求得AB 的长．本题考查含30度角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11. 解：，，在与中，≌ ，如图，连接AD；在与中，，≌ ；；，，；在与中，，≌ ，；在与中，，≌ ，；综上所述，均正确，故选：D．如图，证明 ≌ ，得到；证明 ≌ ；证明 ≌ ，得到；即可解决问题．该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定及其性质定理，这是灵活运用解题的基础．12. 解：在中，，，，，是的外角，；同理可得，，，．故选：C．根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出的度数．本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．13. 解：．可以写成，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．14. 解：当1cm为底时，其它两边都为3cm；1cm、3cm、3cm可以构成三角形，周长为7cm；当1cm为腰时，其它两边为1cm和3cm；，所以不能构成三角形，此种情况不成立；所以等腰三角形的周长是7cm．故答案为：7cm因为边为1cm和3cm，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．15. 解：是一个多项式的完全平方，，．故答案为：．这里首末两项是x和2的平方，那么中间项为加上或减去x和2的乘积的2倍也就是kx，由此对应求得k的数值即可．此题考查完全平方公式问题，关键要根据完全平方公式的结构特征进行分析，两数和的平方加上或减去它们乘积的2倍，就构成完全平方式，在任意给出其中两项的时候，未知的第三项均可求出，要注意积的2倍符号，有正负两种情形，不可漏解．16. 解：矩形的面积为：．故答案为：，利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式．17. 观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．本题考查了解分式方程解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18. 直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．19. 先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可．本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．20. 利用SAS证明 ≌ ，即可得到．本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．21. 先提取公因式3a，然后由完全平方公式进行因式分解；先提取公因式x，然后由平方差公式进行因式分解．本题考查了实数范围内分解因式因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．22. 先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．23. 根据题意，设原来火车的速度是x千米时，进而利用从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，得出等式求出即可．此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．24. 根据三角形内角和定理和角平分线的定义计算求解；在AC上截取，则；根据ASA证明 ≌ ，得，故判断．此题考查三角形内角和、全等三角形的判定和性质，角平分线问题，关键是根据全等三角形的判定与性质解答．。

2023-2024学年江西省南昌市联考八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．x5•x2＝x10B．（﹣2m3n4）2＝4m6n6C．（﹣a2）3＝﹣a6D．y4÷y4＝02．（3分）当x＝2时，下列二次根式没有意义的是（）A．B．C．D．3．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（）A．1.64×10﹣6B．1.64×10﹣5C．16.4×10﹣7D．0.164×10﹣5 4．（3分）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB 长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．5．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．6．（3分）小刚在化简时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，则整式M是（）A．B．a+b C．a﹣b D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）因式分解：ax2+ay2+2axy＝．8．（3分）＝．9．（3分）已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则代数式m3﹣2m+2023的值为．10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，线段BC的垂直平分线交AC、BC于点P和点Q，则PA的长度为．11．（3分）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝秒．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：﹣12022+（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣2；（2）解方程：．14．（6分）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）图中线段BC的长为；（3）△ABC的面积为；（4）点P在y轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，则点P的坐标为．15．（6分）先化简：，再从x＝1，2，3，4中任选一个数，求式子的值．16．（6分）如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．（1）图1中正方形ABCD的面积为，边长为；（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；Ⅱ．所作的正方形的边长为．②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹．17．（6分）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板．（1）截出的两块正方形木板的边长分别为dm，dm；（2）求剩余木板的面积；（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出个这样的木条．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的王明身高1.6米；（1）求风筝的垂直高度CE；（2）若王明同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？19．（8分）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，则甲种农机具最多能购买多少件？20．（8分）课本上，我们利用数形结合思想探索了整式乘法的法则和一些公式．类似地，我们可以探索一些其他的公式．【以形助数】借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索．（1）在其一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为．（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，因为BC＝a，AB ＝a﹣b，CF＝b，所以长方体①的体积为ab（a﹣b），类似地，长方体②的体积为，长方体③的体积为：（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积的式子相加，并将得到的多项式分解因式，结果为．（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为．【以数解形】（5）对于任意数a、b，运用整式乘法法则证明（4）中得到的等式成立．五、（本大题2小题，共18分）21．（9分）已知直线l为长方形ABCD的对称轴，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，点D的对应点D′恰好落在对称轴l上．（1）如图，当点E在边DC上时，①填空：点D′到边AB的距离是；（直接写出结果）②求DE的长．（2）当点E在边DC的延长线上时，（友情提醒：可在备用图上画图分析）①填空：点D′到边CD的距离是；（直接写出结果）②填空：此时DE的长为．（直接写出结果）22．（9分）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；．请根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：①分式是分式（填“真”或“假”）；②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：＝．（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．六、（本大题12分）23．（12分）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．（1）如图1，在△ABC中，AB＝，AD⊥BC，D为垂足，AD为△ABC的“妙分线”．若BD＝1，则CD长为；（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是CB延长线上一点，E为AB 上一点，BE＝BD，连接CE并延长交AD于点F，BH平分∠ABC，分别交CF，AC于点G，H，连接AG．求证：AG是△AFC的“妙分线”；（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3．若AC为△BCD的“妙分线”，直接写出CD的长．2023-2024学年江西省南昌市联考八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．【分析】根据同底数幂的乘法即可判断A，根据幂的乘方和积的乘方即可判断B和C，根据同底数幂的除法即可判断D．【解答】解：A．x5⋅x2＝x7，该选项计算错误，故该选项不符合题意；B．（﹣2m3n4）2＝4m6n8，该选项计算错误，故该选项不符合题意；C．（﹣a2）3＝﹣a6，该选项计算正确，故该选项符合题意；D．y4÷y4＝1，该选项计算错误，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．2．【分析】根据二次根式有意义的条件：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，求解即可．【解答】解：当x＝2时，，，，故选项A、B、C不符合题意；x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，即没有意义，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】利用勾股定理即可求得CB的长度，然后根据实数与数轴的关系即可求得答案．【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．【点评】本题考查勾股定理及实数与数轴的关系，结合已知条件求得CB的长度是解题的关键．5．【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．B、梯形的面积为：＝；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，∴＝，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．6．【分析】由题意列出算式，利用分式的加减法法则解答即可得出结论．【解答】解：∵化简时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，∴＝＝＝＝，∴M＝a+b．故选：B．【点评】本题主要考查了分式的加减法，利用已知条件列出算式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：ax2+ay2+2axy＝a（x2+y2+2xy）＝a（x+y）2．故答案为：a（x+y）2．【点评】本题考查的是因式分解，熟知利用提公因式法以及完全平方公式进行因式分解是解题的关键．8．【分析】先根据积的乘方运算得到原式＝[（+1）（﹣1）]2023×（﹣1），然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝[（+1）（﹣1）]2023×（﹣1）＝（2﹣1）2023×（﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方运算法则是解决问题的关键．9．【分析】根据所给等式m2﹣m﹣1＝0，可得m2﹣m＝1，m2＝m+1两个式子，把代数式m3﹣2m+2023中的m3分成m2•m，把m2＝m+1代入，化简后再把m2﹣m＝1代入求解即可．【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，m2＝m+1．∴m3﹣2m+2023＝m2•m﹣2m+2023＝（m+1）m﹣2m+2023＝m2+m﹣2m+2023＝m2﹣m+2023＝1+2023＝2024．【点评】本题考查了用整体思想求代数式的值的问题．整体思想，通常把等式中含字母的项看成一个整体，得到相应的值；或者把等式中的最高次项看成一个整体，得到相应的值．10．【分析】连接PB，然后根据线段垂直平分线的性质，可以得到PC＝PB，根据勾股定理可以求得AC的长，再设AP＝x，则可以用含x的代数式表示出PB，最后根据勾股定理即可计算出AP的长．【解答】解：连接PB，如图，∵PQ垂直平分BC，∴PC＝PB，∵∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝＝4，设PA＝x，则PC＝4﹣x，∴PB＝4﹣x，∵∠PAB＝90°，∴AP2+AB2＝PB2，∴x2+32＝（4﹣x）2，解得x＝，即PA＝，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．【分析】根据时间＝距离÷速度，结合学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院列分式方程即可．【解答】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5x里，∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，∴，故答案为：．【点评】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．12．【分析】先根据勾股定理求出BC，再分FA＝FB、AF＝AB、BF＝AB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，由勾股定理得：，当FA＝FB时，DF⊥AB，∴，∴t＝10÷2＝5；当AF＝AB＝20时，∠ACB＝90°，则BF＝2BC＝24，∴，即，解得：，由勾股定理得：，∴；当BF＝AB＝20时，∵BF＝20，BC＝12，∴CF＝BF﹣BC＝8，由勾股定理得：，∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝16，∴，∴t＝8÷2＝4；综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为5或或4，故答案为：5或或4．【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+＝；（2）去分母得：1﹣x2+1＝﹣x（1+x），解得：x＝﹣2，检验：把x＝﹣2代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝﹣2是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．14．【分析】（1）根据图形即可得到结论；（2）根据勾股定理即可得到结论；（3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到答案；（4）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：（1）点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（0，2）；故答案为：（3，4），（0，2）；（2）BC＝＝；故答案为：；＝4×3﹣×2×3﹣×1×4﹣×1×3＝5.5；（3）S△ABC故答案为：5.5；（4）设P（0，m），∵△ABP的面积等于△ABC的面积，∴|m﹣2|×3＝5.5，解得：m＝或﹣，∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．故答案为：（0，）或（0，﹣）．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，坐标与图形性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式＝，然后把x＝3或4代入计算即可．【解答】解：＝＝；∵x≠1，2，∴取x＝3时，原式＝（或取x＝4，原式＝）．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握通分，约分是解题关键．16．【分析】（1）利用勾股定理可求得正方形的边长，面积等于边长的平方；（2）①为直角边长为2，2的直角三角形的斜边，据此作正方形即可．（3）根据题意画出面积为8的格点正方形，根据算术平方根得到，尺规作图即可．【解答】解：（1）正方形的边长为：，面积为：，故答案为：10，；（2）①如图所示的正方形即为所作；②如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数．【点评】本题考查的是实数与数轴、算术平方根的概念，掌握三角形的面积公式是解题的关键．17．【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为dm，dm，再利用二次根式的性质化简，即可求解；（2）先求矩形的长和宽，再用矩形的面积减去两个正方形的面积，即可求解；（3）求剩余的木料的长和宽，即可求解．【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为＝3dm，＝4dm，故答案为：3，4；（2）根据题意得：矩形的长为3（dm），宽为4dm，∴剩余木板的面积＝（7）﹣18﹣32＝6（dm2）；（3）根据题意得：从剩余的木料的长为3dm，宽为4＝（dm），∵3，，∴能截出2×1＝2块这样的木条．故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握二次根式的化简和运算，矩形的面积公式是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6（米），答：风筝的高度CE为16.6米；（2）由题意得，CM＝9米，∴DM＝6，∴BM＝＝＝10（米），∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米），∴他应该往回收线7米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．19．【分析】（1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需（x+1.5）万元，根据“用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．”列出方程，即可求解；（2）设甲种农机具最多能购买a件，根据题意，列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需（x+1.5）万元，根据题意得：，解得：x＝3，经检验：x＝3是方程的解且符合题意．答：甲种农机具一件需4.5万元，乙种农机具一件需3万元，（2）设甲种农机具最多能购买a件，则：4.5a+3（20﹣a）≤72.6，解得：a≤8.4，因为a为正整数，所以甲种农机具最多能购买8件．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．20．【分析】（1）由大正方体的体积减去小正方体的体积可得；（2）根据长方体的体积＝长×宽×高，可求体积；（3）根据提公因式法可求得；（4）根据几何体体积的不同表示方法可得：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；（5）运用整式乘法法则可证明：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）成立．【解答】解：（1）由题意可得：a3﹣b3．故答案为：a3﹣b3．（2）由题意可得：b2（a﹣b），a2（a﹣b）故答案为：b2（a﹣b），a2（a﹣b）（3）由题意可得：b2（a﹣b）+a2（a﹣b）+ab（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）（4）根据几何体体积的不同表示方法可得：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）（5）∵右边＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3．∴右边＝左边∴对于任意数a、b，a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）成立．【点评】本题考查了因式分解的应用，立体图形，整式的乘法，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．五、（本大题2小题，共18分）21．【分析】（1）设直线l交CD于点M，交AB于点N，①当点E在边DC上，则点D′在线段MN上，由矩形的性质得∠D＝∠DAB＝90°，DC＝AB＝8，由轴对称的性质得l⊥AB，l⊥DC，，，则∠DMN＝∠ANM＝90°，由折叠得D′E＝DE，A′D＝AD＝5，勾股定理求得D′N即可求解；②先求得MN＝AD＝5，则D′M＝5﹣3＝2，再根据勾股定理列方程得（4﹣DE）2+22＝DE2，求得DE；（2）①点E在边DC的延长线上，则点D′线段MN的延长线上，D′N＝3，则D′M ＝8，于是得到问题的答案；②由勾股定理得EM2+D′M2＝D′E2，而EM＝DE﹣4，D′M＝8，D′E＝DE，则（DE ﹣4）2+82＝DE2，求得DE＝10，于是得到问题的答案．【解答】解：（1）设直线l交CD于点M，交AB于点N，①如图，点E在边DC上，则点D′在线段MN上，∵四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝8，∴∠D＝∠DAB＝90°，DC＝AB＝8，∵直线l是长方形ABCD的对称轴，∴l⊥AB，l⊥DC，，，∴∠DMN＝∠ANM＝90°，MN⊥AB，由折叠得D′E＝DE，A′D＝AD＝5，∴，∴点D'到边AB的距离是3，故答案为：3；②∵DC∥AB，AD⊥AB，MN⊥AB，∴MN＝AD＝5，∴D′M＝5﹣3＝2，∵EM2+D′M2＝D′E2，且EM＝4﹣DE，∴（4﹣DE）2+22＝DE2，解得，∴DE的长为；（2）①如图2，点E在边DC的延长线上，则点D′线段MN的延长线上，∵∠AND′＝90°，AN＝4，AD′＝5，∴，∴D′M＝5+3＝8，∴点D′到边CD的距离是8，故答案为：8；②∵∠D′ME＝90°，∴EM2+D′M2＝D′E2，∵EM＝DE﹣4，D′M＝8，D′E＝DE，∴（DE﹣4）2+82＝DE2，解得DE＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质，轴对称的性质，解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．22．【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；【解答】解：（1）①分式中，分子的次数小于分母的次数，∴分式是真分式；②，故答案为：①真；②（2）＝＝，若这个分式的值为整数，则x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1或x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，∴x＝4或x＝2或x＝5或x＝1．【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．六、（本大题12分）23．【分析】（1）利用勾股定理求出AD，再根据等腰直角三角形的性质求出CD即可；（2）证明△AFG是直角三角形，△ACG是等腰三角形，根据三角形的“妙分线”的定义可得结论；（3）如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，符合条件，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝，BD＝1，∴AD＝＝＝2，∵AD为△ABC的“妙分线”，∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝2，故答案为：2；（2）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC＝90°，∵AB＝BC，BE＝BD，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠CEB＝∠AEF，∴∠AFE＝∠CBE＝90°，∴△AFG是直角三角形，∵BH平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，∵AB＝BC，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∴△AGC是等腰三角形，∴AG是△AFC的“妙分线”；（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．有两种情形：①当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，AC为△BCD或△BCD'的“妙分线”，∵BC＝3，又∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝，∴AH＝＝＝，＝•BC•AH＝•AB•CD，∵S△ABC∴××＝×5CD，∴CD＝3，∴AD＝＝4，∴S△BCD＝•BD•CD ＝×（5+4）×3＝，设CD′＝x，DD′＝y，∴，解得：，∴CD'＝，综上所述，CD的长为3或．【点评】本题属于三角形综合题，考查了新定义—原三角形的“妙分线”的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题。