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常微分试卷二答案

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四川大 学期末考试试题 (A卷)答案及评分标准

（2005——2006学年第一学期）

考试科目：常微分方程 适用专业名称：基础数学、应用数学、计算数学

1、（20分，每小题5分）考虑Cauchy问题dx/dt=A(t)x, x(t0)=x0，其中A是nn实矩阵函数、tR, x Rn。请选择填空：

（1）该问题解的存在唯一性条件是：____(a)______ 。

(a) A(t)对tR连续，(b) A(t)对tR可微, (c) A(t)对tR是Lipschitz的，(d)A(t)对tR连续且Lipschitz，(e) A(t)对一切tR可逆。

（2）设X(t)是其基本解矩阵，则该问题的解为_____(c)______ 。

(a) x(t)=X(t-t0)x0, (b) x(t)=exp(A(t))exp(-A(t0))x0,

(c) x(t)= X(t)X-1(t0)x0 , (d) x(t)=exp(A(t-t0))x0 。

（3）以下det X(t)表示X(t)的行列式，正确的结果是____(c) _ 。

(a) det X(t) det X(t0),

(b) 由det X((t)=0知道det X(t0)=0，但反之未必，

(c) 由det X(t0)0知道对一切t都有det X((t) 0，

(d) det X( t)=0当且仅当det X(t0)=0 。

（4）若C是nn实矩阵，X((t)C也是基本解矩阵的条件是____(b)__ 。

(a) C非零, (b) C可逆, (c) C可对角化， (d) C对称。

2、（25分）假设Cauchy问题dx/dt=ax+f(t), x(t0)=x0满足解的存在唯一性条件，其中a为实数，tR, xR。(1) 写出这个Cauchy问题解的表达式。(2)用常数变易法证明这个表达式。(3) 如果a>0而且f(t)连续有界，证明存在x0 R使该Cauchy问题存在对所有t (t0,+)都有界的解。

[解] (1) x(t)=exp(a(t-t0)x0+ t0 t exp(a(t-s) f(s) ds. [10分]

(2) 首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。

设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),

从而得到特解x(t)= exp(at)  exp(-as) f(s) ds和通解

x(t)=exp(at)c+  exp(a(t-s) f(s) ds.

通过初始条件可以确定c，并证得(1)的表达式。[10分]

(3) 由于exp(-a(t-t0)x(t)  0 (t+), x0 = - t0 + exp(a(t0-s) f(s) ds . [5分]

3、（15分）求方程0)12()12(dyyxdxyx的通解。

[解] 方程等价于dy/dx= - (2x+y+1)/(x+2y-1)。

作变换x=u-1, y=v+1把方程化为齐次型dv/du= - (2u+v)/(u+2v). [5分]

再令v=ut，得到2(t2+t+1)udu+u2(1+2t)dt=0. [5分]

分离变量得，u(t2+t+1)1/2=C,即u2+uv+v2=C2, [4分]

或x2+xy+y2+x-y=C1。 [1分]

4、（25分）计算方程d2x/dt2+ dx/dt-2x=cos(t)-3sin(t)通解。进而计算方程关于初值x(0)=1, dx/dt(0)=2的解。

[解] (1) 特征方程为2+ -2=0, =1, -2 。齐次方程的通解为

x(t)=C1exp(-2t)+C2 exp(t). [10分]

(2) 考虑算子形式的复系统 (D2+ D-2)z=exp(it)+3i exp(it). 从而

z(t)=（1/(D+2)(D-1)）{(1+3i)exp(it)}=(( 1+3i)/(i+2)(i-1)) exp(it)=-i exp(it)

=sin(t)- i cos(t)。

取实部，从而非齐次方程的特解为x(t)=Re z(t)=sin(t). [9分]

通解为x(t)= C1exp(-2t)+C2 exp(t)+ sin(t). [1分]

(3) 代入初始条件得C1 =0, C2 =1. 最终解为

x(t)= exp(t)+ sin(t). [5分]

5、（15分）考虑方程组dx/dt=3x, dy/dt=2x+y 。

（1）判断奇点（0，0）的定性性质（类型及稳定性）；

（2）求通解；

（3）画相平面轨道的草图。

[解] (1) 特征方程为2-4+3=0，特征值为1=1，2=3。

奇点为不稳定结点。[5分]

(2) 相应的特征向量为r1=col(0,1), r2 =col(1,1). 通解为：

col(x(t),y(t))= C1exp(t)r1+ C2exp(3 t) r2.

x(t)= C2e3t , y(t)= C1et + C2e3t . [5分]

(3) 草图(略) [5分]

满卷100分 本套题共2 页， 第 2 页

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大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

1 大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

一、填空题

1．微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是____________

答：1

2．若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(dyyxNdxyxM有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________

答：)()1)((yMxNyM

3．_________________________________________ 称为齐次方程.

答：形如)(xygdxdy的方程

4．如果),(yxf ___________________________________________ ,则),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy,定义于区间hxx0 上,连续且满足初始条件)(00xy ,其中

h _______________________ .

答：在R上连续且关于y满足利普希兹条件 ),min(mbah

5．对于任意的),(1yx ,),(2yxR (R为某一矩形区域),若存在常数)0(NN使

______________________ ,则称),(yxf在R上关于y满足利普希兹条件.

答： 2121),(),(yyNyxfyxf

6．方程22yxdxdy定义在矩形区域R:22,22yx上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是

___________________

答：4141x

7．若),.....2,1)((nitxi是齐次线性方程的n个解,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程

___________________________________

答：0)(1'wtaw

常微分方程标准答案-一二章

常微分方程标准答案-一二章

习题1.2

4. 给定一阶微分方程2dyxdx，

(1). 求出它的通解；

(2). 求通过点1,4的特解；

(3). 求出与直线23yx相切的解；

(4). 求出满足条件102ydx的解；

(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。

解：(1). 通解显然为2,yxcc；

(2). 把1,4xy代入2yxc得3c，故通过点1,4的特解为23yx；

(3). 因为所求直线与直线23yx相切，所以223yxcyx只有唯一解，即223xcx只有唯一实根，从而4c，故与直线23yx相切的解是24yx；

(4). 把2yxc代入102ydx即得53c，故满足条件102ydx的解是253yx；

(5). 图形如下：

-1.5-1-0.500.511.51234567y=x2+4y=x2+3y=x2+5/3 5. 求下列两个微分方程的公共解：

242422,2yyxxyxxxyy

解：由2424222yxxxxxyy可得

222210yxxy

所以2yx或212yx，2yx代入原微分方程满足，而212yx代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6. 求微分方程20yxyy的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是ykxb，则将其代入原微分方程可得

2200010kbkxkkxbkbkbkk或

所以所求直线积分曲线是0y或1yx。

8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：

(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l；

(5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。

解：因为过点,xy的切线的横截距和纵截距分别为yxy和yxy，故

考研数学二(常微分方程)模拟试卷8(题后含答案及解析)

考研数学二(常微分方程)模拟试卷8(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷8 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式为( )．

A．ae2x+bx+c

B．ax2e2x+bx+c

C．axe2x+bx2+cx

D．axe2x+bx+c

正确答案：D

解析：y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2． y’’-4y=e2x的特解形式为y=axe2x， y’’-4y=x的特解形式为y2=bx+C，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选(D)． 知识模块：常微分方程

2． 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为 ( )．

A．y’’’-y’’-y’+y=0

B．y’’’+y’’-y’-y=0

C．y’’’+2y’’-y’-2y=0

D．y’’’-2y”-y’+2y=0

正确答案：A

解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’+y=0，选(A)． 知识模块：常微分方程

3． 设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．

A．C[φ1(x)+φ2(x)]

B．C[φ1(x)-φ2(x)]

C．C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)

D．[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)

正确答案：C

解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)-φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选(C)． 知识模块：常微分方程

常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案

1.证明：因为()t是线性齐次系统（LH）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t在区间J上满足矩阵微分系统()MLH,即.()()()tAtt，.1()()()Attt所以由()At确定的线性齐次系统（LH）必唯一。

2.证明：因为()t，()t分别是.()xAtx和.()TxAtx的解，所以111()()()nkkknnkkkadtAttdta，11211111122222*121()()()nnkkknnknknnnnnkaaaaaaadtAttdtaaaa因而1111112211(,)(,)(,),,nnkkkkkknnknkknkknnkaaddddtdtdtaa11111111()0nnnnnnnnnnnnmmmmiijjiijjimkkkmkmkkkmmmmmijijkkkkaaaaaa所以(),()()()1nttttkkk常数。

3.证明：设)t为系统.()xAtx的一个基本解矩阵，则由定理2.11知1()Tt是系统.()TxAtx的基本解矩阵，由定理2.4知系统.()xAtx满足初始条件00()xtx的特解为100()))tttx，0,0,tt由题可知)t与1()Tt在0,上有界，从而由定理2.24知110()0kkt和220()0kkt使得10120(),(),Ttktttktt,利用常数变易法公式（2.32），可知式.()()yAtyBty的初始条件为00()yty的解满足01()()()()()()ttytttsBsysds因为111001()()(Ttttt所以0120120()()(),ttytkkxkkBsys，利用格朗瓦尔不等式有120()120().ttkkBsdsytkkxe记120()12ttkkBsdsCkke设0()BtdtM则00()()ttBsdsBtdtM有1212kkMCkke从而00(),ytCxtt所以系统.()()yAtyBty的一切解都在0,上有界。