基于BP神经网络的隐式曲面构造方法

计算机研究与发展　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｎｄ　Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ＩＳＳＮ　１０００　１２３９｜ＣＮ　１１－１７７７｜ＴＰ　４４（３）：４６７～４７２，２００７　

基于ＢＰ神经网络的隐式曲面构造方法　

李道伦　卢德唐　孔祥言　吴　刚　

（中国科学技术大学计算机科学与技术系　合肥　２３００２６）　（中国科学技术大学工程科学软件研究所合肥２３００２６）　。（中国科学技术大学安徽省计算与通信软件重点实验室　合肥２３００２６）　（南京财经大学电子商务实验室南京２１０００３）　（１ｄａｏｌ＠ｕｓｔｃ．ｅｄｕ．Ｃｎ）　

Ｉｍｐｌｉｃｉｔ　Ｓｕｒｆａｃｅｓ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＢＰ　Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ　

Ｌｉ　Ｄａｏｌｕｎ　，　一，Ｌｕ　Ｄｅｔａｎｇ　一，Ｋｏｎｇ　Ｘｉａｎｇｙａｎ２，ａｎｄ　Ｗｕ　Ｇａｎｇ４　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｈｅｆｅｉ　２３００２６）　（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｓｏｆｔｗａｒｅ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｈｅｆｅｉ　２３００２６）　。（Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｉｎ　Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ａｎｄ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ，Ｈｅｆｅｉ　２３００２６）　（Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　ａｎｄ　Ｔｒａｄｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｎ口ｎｊｉｎｇ　２１０００３）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ，ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ，ｃａｎ　ｂｅ　ｅｍｐｌｏｙｅｄ　ｔｏ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ　３Ｄ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　

ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｚｅｒｏ—ｓｅｔ　ｏｆ　ａ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ．Ｆｉｒｓｔ。ａｎ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　

ｔｈｅ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ＢＰ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ　ｚｅｒｏ—　ｓｅｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｉｓ　ｅｘｔｒａｃｔｅｄ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｓｕｒｆａｃｅ．Ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　

ｉｓ　ｎｏｔ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ，ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｐｏｉｎｔｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｐｏｉｎｔｓ　ａｎｄ　ｉｎｎｅｒ／ｅｘｔｅｒｎ　ｐｏｉｎｔｓ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｖｅｒｉｆｙ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｓｕｒｆａｃｅ　

ｒｅｃｏｎｓｔｒｔａｃｔｉｏｎ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｓｕｒｆａｃｅ；ＢＰ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｓｕｒｆａｃｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；ｆｉｔｔｉｎｇ　

摘要通过把ＢＰ神经网络与隐式曲面构造原理相结合，提出构造隐式曲面的新方法．用约束点来描　

述、控制曲面形状，构造ＢＰ网的输入与输出，通过智能学习、仿真模拟，最后从仿真超曲面抽取出的零　等值面就是隐式曲面．同时，从理论上证明了此方法所构造的隐式曲面具有任意精度．实验表明该方法　

对约束点的个数、误差、内外点与边点的距离等不敏感，表现出很好的稳定性与可操作性．该构造方法　

不仅可用于构造隐式曲面，而且在图形理解、数据分类等领域也具有良好的应用前景．　

关键词　隐式曲面；ＢＰ神经网络；曲面重建；拟舍　

中图法分类号ＴＰ３９１．４１　

由于隐式曲面具有计算量大、不易控制、难以直　

观显示等缺点　，大约于２０年前　最早开展的关　于隐式曲线与曲面的研究没能受到人们更多的关　

收稿日期：２００６—０３－２１；修回日期：２００６—１１—０３　基金项目：江苏省普通高校自然科学研究计划基金项目（０５ＫＪＢ５２００３２）　注．但近年来，由于隐式曲线与曲面具有可描述复杂　形状物体等优点　，有关隐式曲线与曲面的研究成　为热点　２－９１．

　维普资讯 http://www.cqvip.com ４６８　计算机研究与发展２００７，４４（３）　

二元隐式函数ｆ（　，Ｙ）的零集合｛（Ｘ，Ｙ）ｌｆ（　，　Ｙ）＝０｝称为隐式曲线．三元隐式函数ｆ（　，Ｙ，ｚ）的　

零集合｛（　，　，ｚ）ｌ　ｆ（　，Ｙ，ｚ）＝０｝称为隐式曲面．　由于物体是封闭的，因而描述物体边界的隐式曲线　与描述物体形状的隐式曲面也应是封闭的．目前，　构造隐式曲线、曲面的方法主要有数学方法＿ｌ。　和　神经网络法［４－９　等．　

基于神经网络构造隐式曲面的方法是近年来研　究隐式曲面构造方法之一．此方法ｌ５　Ｊ具有占用内存　小、精度高等优点；而且同样具有便于判断点与曲面　的相对位置便于各种集合操作等优点，且可用于物　

体识别等．我们称文献［４］中用神经网络逼近隐式　函数的方法为神经网络的隐式逼近法．对称地，称　

用神经网络逼近显式函数的方法为神经网络的显式　逼近法．　文献［５］提出了基于多层前馈网络构造隐式曲　面的方法．此方法的特点是输入向量的大小与曲面　的复杂程度相关．文献［６］研究了用采样点的法向、　

一阶偏导数和二阶偏导数作约束条件的方法．文献　

［７—８］则利用自组织神经网络通过竞争学习构造隐　式曲面的拓扑结构，从而得到隐式曲面．文献［９］则　

采用了连续场的方法．文献［４］同时选取封闭曲线　的内、外点作为约束点，具有简单易行的特点．　本文将文献［４］的方法推广到隐式曲面的构造　上．它具有输入向量维数少、简单等特点．　

１　ＢＰ神经网络的基本原理简介　

一个基本的ＢＰ神经元模型包括３个部分：一　

组连接权，连接强度由权值表示；累加器，用于求取　各输入信息的加权和；一个非线性激励函数，其作用　是通过非线性映射使神经元限制在一定范围内．ＢＰ　网络的基本原理结构如图１所示．它由输入层、输　出层和若干隐含层的节点组成．　

Ｆｉｇ．１　ＢＰ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ．　图１　ＢＰ网络结构　

２基于ＢＰ神经网络的隐式曲面构造算法　

２．１约束点　约束点分为３类：边界点、外部点和内部点．统　

称用于决定零曲面的３类点为约束点．　定义１＿４　Ｊ．称在物体边界上的点为边界点，简　

称为边点，其对应的函数值为０；称在物体边界之外　的点为外部点，简称为外点，其对应的函数值为正　

数，一般取１；称在物体边界之内的点为内部点，简　

称为内点，其对应的函数值为负数，一般取一１．　

图２给出的是平面上与空间上的约束点分布示　意图，其中‘ｏ’表示边点，‘＊’表示内点，‘＋’表示　

外点．图２（ａ）中的封闭曲线为物体的边界，边点数　

为１１，内点数为５，外点数为５．图２（ｂ）给出的是球　面的约束点分布示意图，其中的边点用实线顺序　

连接．　

Ｆｉｇ．２　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｐｏｉｎｔｓ。（ａ）２Ｄ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｐｏｉｎｔｓ　ａｎｄ　（ｂ）３Ｄ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｐｏｉｎｔｓ．　图２约束点分布示意图．（ａ）约束点平面分布图；（ｂ）　约束点空间分布图　

内外点可以是多层的，但文中的实验仅用一层　

内外点．　２．２神经网络的输入与输出　

设约束点数为　，其中边点数为忌，内点数为　，　

则外点数为　一是一Ｊ．约束点及其值分别构成了神　经网络的输入与输出．　

构造神经网络输入矩阵：约束点坐标（ｚ　，Ｙ　，　

ｚ　）的列向量（　Ｙ　ｚ　）Ｔ为输入矢量的第　列，整个　

约束点集就构成３行　列的输入矢量矩阵Ｐ．即　

－　…　］　

Ｐ＝ｌ　ｌ　Ｙ２　…　Ｙ　ｌ，　（１）　ｌ　

。　…　＿Ｊ　

其中，前忌列为边点坐标的列向量，后７ｚ一是一　列　为外点坐标的列向量，中间Ｊ列为内点坐标的列　向量．　

构造神经网络的输出：　

Ｔ＝ｌ０，…，０，一ａｌ，…，一ａ　，ｂｌ，…，ｂｎ－　一　，　

（２）　

其中，前忌个０为边点对应的值，［一ｎ　一，一ａｉ］为　

内点对应的函数值，［ｂｌ，…，ｂ　一　一　］为外点对应的　

函数值．

　维普资讯 http://www.cqvip.com 李道伦等：基于ＢＰ神经网络的隐式曲面构造方法　４６９　

２．３算法的数学描述　设某物体曲面Ｂ可描述为Ｂ＝｛（　，Ｙ，２）Ｉ　

厂（ｚ，Ｙ，　）＝０｝，其中厂（ｚ，Ｙ，　）是隐式函数．由隐　

式函数厂（ｚ，Ｙ，ｚ）构造显式函数　：　ｆ＝ｆ（　，Ｙ，　），（　，Ｙ，２）∈Ｂ，　

≤一１，　（ｚ，Ｙ，２）∈Ｊ，　（３）　

【≥１，　（ｚ，Ｙ，２）∈Ｏ，　其中，Ｂ，Ｊ，Ｏ分别为给定的物体边界、内点集和外　点集．　

由式（１）、式（２）及函数口的定义可得引理１．　引理１．输入矢量矩阵Ｐ第ｉ列所对应的点的　

坐标（ｚ　，Ｙ　，　）在函数　上的值为输出矢量矩阵Ｔ　

第ｉ列的值．　

由引理１易得如下引理２．　引理２．以式（１）为输入矢量矩阵，式（２）为输出　

矢量矩阵，对神经网络进行训练，则训练后的神经网　

络是对函数式（３）的逼近．　定理１．由式（３）定义的函数　是一个具有有　

限间断点的函数．　

证明．由于函数厂（ｚ，Ｙ，　）是连续函数，再注意　

到函数　的定义及内、外点的个数是有限的，可知　函数　是一个具有有限间断点的函数．　证毕．　

由函数　的定义不难有：　引理３．由式（３）定义的函数　的零等值面就　

是隐式函数ｆ（ｚ，Ｙ，　）所描述的封闭曲面．　

定理２．以式（１）为输入矢量矩阵，式（２）为输出　

矢量矩阵．对ＢＰ神经网络进行训练，则神经网络仿　

真超曲面的零等值面，能对曲面｛（ｚ，Ｙ，　）Ｉ厂（　，Ｙ，　）＝０｝进行任意精度的逼近．　

证明．先证明仿真曲面的零等值面是对实体曲　

面｛（ｚ，Ｙ，　）Ｉ厂（ｚ，Ｙ，　）＝０｝的逼近．　由引理２知，训练后的神经网络是对函数式（３）　

的逼近，又函数　的零等值面是其子集，故训练后　

的神经网络是对函数　零等值面的逼近．注意到引　理３，得证；　再证明零等值面能无限逼近实体曲面．　由于ＢＰ神经网络可以以任意精度逼近一个具　有有限间断点的非线性函数［１　，再注意到定理１，　

故在理论上可以对实体曲面进行任意逼近．　证毕．　２．４基于ＢＰ神经网络隐式曲面算法步骤　

基于ＢＰ网络的隐式曲面算法步骤：　

１）获取三维实体面数据；　２）选取约束点：所选取的边界点应能反映实体　

的表面特征；　３）构造输入矢量与输出矢量：输入矢量Ｐ与　

输出矢量Ｔ由式（１）与式（２）给出；　

４）选择神经网络：采用３层ＢＰ神经网络，隐含　

层的传递函数为ｔａｎｓｉｇ，输出层的传递函数为