当前位置：文档之家 › 等价关系习题

等价关系习题

  • 格式：doc
  • 大小：206.00 KB
  • 文档页数：3

习题十:等价关系与等价类

1．设R和‘R是集合A上的等价关系，用例子证明R‘R不一定是等价关系。

2．试问由4个元素组成的有限集上所有的等价关系的个数为多少？

3．给定集合S=｛1，2，3，4，5｝，找出S上的等价关系R，此关系R能够产生划分｛｛1，2｝，｛3｝，｛4，5｝｝并画出关系图。

4．设R是一个二元关系，设S｛ba,|对于某一c，有Rca,且Rbc,｝ ，证明若R是一个等价关系，则S也是一个等价关系。

5．设正整数的序偶集合A，在A上定义的二元关系R如下：,,,,Rvuyx当且仅当yuxv，证明R是一个等价关系。

6．设R是集合A上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a，在A中同时也存在一个b，使ba,在R之中，则R是一个等价关系。

7．设21RR和是非空集合A上的等价关系，确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的提供反例证明。

a)1)(RAA

b)21RR

c)21R

d))(21RRr(即21RR的自反闭包)。

8．设*C是实数部分非零的全体复数组成的集合，*C上关系R定义为：0)()acdcRbaii（，证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。

9．设和‘是非空集合A上的划分，并设R和‘R是分别由和诱导的等价关系，那么，细分的充要条件是RR。

10．设jR表示I上的模j等价关系，kR表示I上的模k等价关系，证明I/kR细分I/jR当且仅当k是j的整数倍。

11．A，B是全集E的子集，各命题及由这些命题构成的集合X如下所示。

zywvutsrqpX,,,,,,,,,，其中 —

欢迎下载 2 p: EBA; q: BBA; r: BA; s: ccBA; t: BAc;

u: ccAB; v: BA; w: BBA; y: cBA; z: AB.

又R是X上的命题间的等价关系，求商集X/R（cA表示A的绝对补集）。

12． R为集合X上的二元关系，7,6,5,4,3,2,1X，1,7,6,6,3,6,4,2,2,1,1,1R，求

（1） R的等价闭包R（即包含R的最小的等价关系）；

（2） 求RX/。

13． 设R是集合A上的等价关系，S是A上的对称关系，试问RSSR~~ 是否是A上的等价关系？若是，请给出证明；若不是，请具体分析它具有哪些性质，并对不成立的性质举出反例。

14．设R是A上的二元关系，定义RbcRcaAcbaS,,,,,，证明：若R是A上的等价关系，则S也是等价关系，且S=R。

15． 设R和S是集合A上的关系，证明或否定下面结论：

（1） 若R，S是传递的，则SR传递的充分必要条件是RSSR；

（2） 若R，S是等价关系，则SR是等价关系的充分必要条件是RSSR。

16． 知R，S是集合A上等价关系，且商集为：fgedcbaRA,,,,,,/，gfgdbcaSA,,,,,,/，显然，SR也是等价关系，先画出SR有向图，再写出商集SRA/。

17．证明定义在实数集合R上的关系是整数3,,,yxRyxyxS是一个等价关

系。

18. 设1R是A上的等价关系，2R是B上的等价关系，A且B。关系R满足：

Ryx,y,x2,211当且仅当121Rx,x且221Ry,y。

试证明：R是BA上的等价关系。

19. 设N是自然数集合，定义N上的二元关系R：

是偶数yxNyNxyxR,,,

（1） 证明R是一个等价关系；

（2） 求关系R的等价类；

（3） 试设计一个从N到N的函数f,使得由f诱导的等价关系就是关系R。 —

欢迎下载 3 20. 设R是集合A上的一个具有传递和自反性质的关系，T是A上的关系，使得,Ra,b,,且RbaTba 证明T是一个等价关系。

21. 设R是集合X上的关系，对所有的Xzyx,,来说，如果有xRy和yRz就有zRx，则称关系R是循环关系，试证明：当且仅当R是一个等价关系，R才是自反和循环的。

22. 设R是A上的二元关系，1R是R的逆关系。证明：R是传递的当且仅当1R是传递的。

23. 给定6,5,4,3,2,1X，R是X上关系，其生成矩阵如下。

100000000001000000000000001000000100

问：)(Rts是否为X上等价关系？如是，写出商集)(/RtsX，如不是，说明原因。（)(Rts是R的对称、传递闭包）

24. 已知集合X上的二元关系R的关系矩阵为：

000001010000000000000001000100010010RM

求（1）RtM； （2）RrstM。

25. 集合8,7,6,5,4,3,2,1A，R为A上二元关系，

。8,8,3,8,7,7,6,6,4,6,2,6,5,5,1,5,6,4,4,4,2,4,8,3,3,3,6,2,4,2,2,2,5,1,1,1R求RA。

合集下载

等价关系证明题

等价关系证明题

第 1 页 共 2 页 等价关系证明题

【原创实用版】

目录

1.等价关系证明题的概念和分类

2.等价关系证明题的解题方法

3.等价关系证明题的例题解析

4.总结与展望

正文

一、等价关系证明题的概念和分类

等价关系证明题是数学中一种常见的题型，主要涉及到集合、方程、不等式等数学概念的等价关系的证明。等价关系证明题可以分为以下几类：集合相等、集合包含关系、方程根的等价关系、不等式解集的等价关系等。

二、等价关系证明题的解题方法

1.集合相等关系的证明：通常采用元素与集合关系的互证方法，即证明两个集合的元素具有一一对应的关系。

2.集合包含关系的证明：可以采用直接证明和反证法两种方法。直接证明是证明集合 A 中的任意元素都属于集合 B；反证法是假设集合 A

中有元素不属于集合 B，然后推导出矛盾。

3.方程根的等价关系证明：通常采用代数方法，将方程的根与等价条件建立起代数关系，然后证明这个代数关系成立。

4.不等式解集的等价关系证明：可以采用代数方法、几何方法等多种方法，关键是将不等式的解集与等价条件建立起代数关系或几何关系。

三、等价关系证明题的例题解析

例题：证明集合 A={x|x^2-3x+2=0}与集合 B={1,2}是相等关系。 第 2 页 共 2 页 解析：首先解出集合 A 中的元素，得到 A={1,2}，然后证明 A 与 B

的元素具有一一对应的关系，即 A 中的任意元素都属于 B，B 中的任意元素都属于 A。因此，集合 A 与集合 B 是相等关系。

四、总结与展望

等价关系证明题是数学中常见的题型，涉及到多种数学概念的等价关系的证明。解决这类问题需要掌握一定的数学方法和技巧，如元素与集合关系的互证方法、直接证明与反证法、代数方法等。在实际解题过程中，还需要灵活运用这些方法和技巧，提高解题效率。

“等价关系”部分习题参考答案

“等价关系”部分习题参考答案

“等价关系”部分习题参考答案

《二元关系》部分习题参考答案

3.5 等价关系和划分（P129）

第2题

证明：?x∈A，∈R；?∈R，∈R；?∈R，∈R，则有∈R，所以R是自反的、对称的、传递的，因而R 是等价关系。

第3题

解：(1)A上最大等价关系是全域关系，故其元素个数为n2个。

(2)A上最大等价关系的秩是1。

(3)A上最小等价关系是相等关系，故其元素个数为n个。

(4)A上最小等价关系的秩为n。

第5题

解：(a)不是等价关系。因为A?A-R1不具有自反性。

(b)也不是等价关系。也不具有自反性。

(c)是等价关系。

(d)不是等价关系。

(e)不是等价关系。

第7题

解：(a)R=“<”不是等价关系，因为

(b)它不是等价关系。因为<0,0>?R，所以不具有自反性。R诱导的等价关系是R?<0,0>。

(c)它不是等价关系。因为<0,0>?R,故它不具有自反性，有<0,1>∈R,但<1,0>?R，故它不具有对称性。R诱导的等价关系是：

{|(a≥0∧b≥0)∨(a≤0∧b≤0)}

(d)它不是等价关系。因为<0,0>?R，所以不具有自反性。

(e) 它不是等价关系。因为R不具有对称性。R诱导的等价关系为I上的全域关系。

第10题 解：A的所有划分如下：

π1={{a，b，c}} π2={{a}，{b，c}}

π3={{b}，{a，c}} π4={{c}，{a，b}} π5={{a}，{b}，{c}}

的哈斯图为：

第11题

解：(a) π1所诱导的等价关系的序偶为：

R1={,,,,,,,,,} (b) π2和π3诱导的等价关系分别是：

R2={,,,}

R3=A?A

(c){{ π1, π2, π3},细分}的哈斯图为：

第12题

解：(a)如果π1=π2，则π1?π2是A的划分，其他情况不是A的划分。

(b)如果π1=π2，则π1?π2是A的划分，其他情况不是A的划分。

(c) 如果π1?π2=?，则π1-π2是A的划分，其他情况不是A的划分。

等价关系证明题 2

等价关系证明题 2

第 1 页 共 2 页 等价关系证明题

（原创版）

目录

1.等价关系证明题的概念与分类

2.等价关系证明题的解题方法

3.等价关系证明题的例题解析

4.总结与建议

正文

一、等价关系证明题的概念与分类

等价关系证明题是数学中一种常见的题型，主要涉及到集合、方程、不等式等数学概念的等价关系。等价关系证明题可以分为以下几类：集合的等价关系证明题、方程的等价关系证明题、不等式的等价关系证明题等。

二、等价关系证明题的解题方法

1.集合的等价关系证明题：通常采用集合的运算法则和集合的等价条件进行证明。

2.方程的等价关系证明题：主要采用代数方法，通过变形、化简、消元等手段，转化为易于证明的形式。

3.不等式的等价关系证明题：可以采用代数方法，也可以利用不等式的性质进行证明。

三、等价关系证明题的例题解析

例题：设集合 A={x|x^2-3x+2=0}，集合 B={1,2}，证明 A 与 B 是等价关系。

解：首先解集合 A 中的方程，得到 A={1,2}，因此 A 与 B 具有相同的元素，所以 A 与 B 是等价关系。 第 2 页 共 2 页 四、总结与建议

在解决等价关系证明题时，需要熟练掌握集合、方程、不等式等数学概念的性质和运算法则，以及等价关系的定义和判断方法。同时，要注意在证明过程中保持逻辑清晰，步骤严谨。

等价关系证明题 3

等价关系证明题 3

等价关系证明题

摘要：

1.等价关系证明题的概述

2.等价关系的基本性质

3.证明等价关系的方法

4.举例说明等价关系证明题的解法

正文：

一、等价关系证明题的概述

等价关系证明题是数学中一种常见的题目类型，主要考察学生对等价关系的理解和应用。等价关系是指两个数学表达式在某些特定条件下具有相同的值，通过证明等价关系，可以加深对数学概念的理解，提高解题能力。

二、等价关系的基本性质

等价关系具有以下几个基本性质：

1.自反性：对于任意的 x，x 与 x 等价。

2.对称性：如果 a 与 b 等价，那么 b 与 a 也等价。

3.传递性：如果 a 与 b 等价，b 与 c 等价，那么 a 与 c 也等价。

三、证明等价关系的方法

证明等价关系的方法主要有以下几种：

1.代入法：将等价关系的一个表达式代入另一个表达式，证明它们的值相等。

2.恒等变形法：对等价关系的两个表达式进行恒等变形，最终证明它们的值相等。

3.反证法：假设等价关系的两个表达式的值不相等，然后通过推理证明这个假设是错误的。

四、举例说明等价关系证明题的解法

例如，证明以下等价关系：

x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

解法：

1.代入法：将 x^2 + 2x + 1 代入 (x + 1)^2，得到：

(x + 1)^2 = (x + 1) * (x + 1) = x^2 + 2x + 1

因此，x^2 + 2x + 1 与 (x + 1)^2 等价。

2.恒等变形法：对 x^2 + 2x + 1 和 (x + 1)^2 进行恒等变形，得到：

x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1

(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

因此，x^2 + 2x + 1 与 (x + 1)^2 等价。

通过以上证明，我们可以得出结论：x^2 + 2x + 1 与 (x + 1)^2 是等价关系。