各类刚体的转动惯量的证明
1.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量2
mR J =.
在圆环上取一质元，其质量为dl dm λ=，dl 为圆弧元，λ为线密度（R
m πλ2=
）。该质元对中心垂直轴Z 的元转动惯量dl R dm R dJ 2
2
λ==，圆环对该轴的转动惯量为
2
20
322mR R dl R dJ J R
====⎰⎰
ππλλ2.转轴沿圆环直径的转动惯量2
2
mR J =.
在圆环上靠近转轴的一处取一质元dm ，其弧长为dl ，质元与圆心的连线和转轴Z 的夹角（微夹角）为θd 圆环的线密度
R
m
πλ2=
，其中=dl θRd ，θπ
θπλd m Rd R m dl dm 22==
=.
该质元的转动惯量为
θ
θπ
θπθd mR d m R dm R dJ 2
22
2
sin 22)sin (===θθπ
πθθπd mR mR d mR )2cos 44()22cos 1(22
22-=-=则圆环对该转轴的转动惯量为
22sin 84)2cos 44(2
20
20
2
222mR mR mR d mR mR dJ J =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰
⎰π
π
θππθθππ3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量2
2
mR J =
.
在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的细圆环，圆盘的质量面密度为2
R m
πσ=，该圆环的元面积为rdr dS π2=，圆环的质量为dr r dS dm σπσ2==.
该圆环对转轴的转动惯量为dr r dm r dJ 3
2
2σπ==则整个圆盘的转动惯量为
22121224
40
3mR R r dr r dJ J R
R
=
====⎰⎰
σπσπσπ4.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量)(2
2
2r R m J +=
.
在圆筒上取一微截圆筒，其质量为dm ，再在该微截圆筒上取一宽度为dr ，半径为r 的元圆筒，记取得的元圆筒质量为dM （由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元圆筒看成质量为dm 和dM 的圆环）.圆环的面密度)
(22r R dm
-=
πσ.
元圆筒的面积rdr
dS π2=元圆筒的质量rdr dS dM σπσ2==元圆筒对Z 轴的转动惯量为
dr
r r rdr dJ R
r
R
r
⎰⎰==32
2)2(πσπσ))((21
)(21212222444r R r R r R r R
r
+-=-==πσπσπσdm r R r R r R 2
)()()(21222
222-=-+=σπ则整个圆筒的转动惯量为
)(2
2220
22r R m
dm r R dJ J m
+=+==⎰
⎰.5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量2
2
mR J =.
在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm ，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。在圆盘上取一宽度为dr ，半径为r 的圆环，记该圆环的质量为dM 。圆盘的面密度为2
R dm
πσ=
.圆环的面积为rdr dS π2=，质量rdr
dS dM πσσ2==圆环的转动惯量dr
r dM r dJ 3
2
02σπ==
圆盘的转动惯量为
dm
R R r dr r dJ dJ dJ R
R
R 22212240
4
30
00======⎰
⎰⎰σπσπσπ则整个圆柱体的转动惯量为
2
22
2mR dm R dJ J m
=
==⎰
⎰.6.转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量12
42
2mL mr J +
=.
在圆柱体上取一厚度为dy 的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为dx 的微细长方体，如上图。该微细长方体一端的坐标为),(z x ，设该点与圆心的连线同x 轴的夹角为θ，圆柱体的半径为r ，则有θθsin ,cos r z r x ==。圆柱体的密度为L
r m
2πρ=
细微长方体的体积为zdxdy dV 2=，质量为zdxdy dV dm ρρ2==，到转轴Z 的距离为
2
2y x Rg +=则细长方体的转动惯量为dV y x dm Rg dJ ρ)(2
2
2
0+==dxdy y x z )(22
2
+=ρ则整个细微圆柱体的转动惯量为dxdy
y x z dJ J dJ r
r
⎰
⎰
-+===)(22200ρ将θθsin ,cos r z r x ==代入上式得dxdy
y r r dJ r
r
⎰
-+=
)cos (sin 2222θθρ
