高二数学 等差数列的概念及其性质
【基础知识回顾】
1.数列
数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n
n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++=Λ321 2.等差数列
1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2) 等差数列的判定方法:
（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：
如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
4) 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2
)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
5) 等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2
b a A +=或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
6) 等差数列的性质：
（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=[来源:Z*xx*]
（2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，
则q p m n a a a a +=+。2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+ 也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：444484444764443
44421Λn n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321 （3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下
图所示：
4444444444484444444444476443
4421Λ4434421Λ444344421Λk k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++
例7.等差数列{a n }中，已知113
a =，6113a =，a n =33，则n 为（ ） (A)48 (B)49 (C)50 (D)51
例12.已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=L ,则有( )
1101()0A a a +> 2100()0B a a +< 399()0C a a += 51()51D a =
例13. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232
-=， 求证:数列{}n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式
.解：12311=-==S a ,
当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足
∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n
∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n
【考点例题解析】
考点1计算求值
例1．在数列{an}中，a 1=2，2a n +1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
例2.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )
( )
A 15
B 30
C 31
D 64
变式
1．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）
A ．92
B ．47
C ．46
D ．45
2. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（
） A.d ＞38 B.d ＜3 C. 38≤d ＜3 D.38
＜d ≤3
考点2等差数列性质
例1.等差数列{}n a 中，已知3
1a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51
例2.等差数列{an}中，a1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和Sn=100,则n=（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
例3.设Sn 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935
,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．
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变式
1.已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )
A ．α1＋α101＞0
B ．α2＋α100＜0
C ．α3＋α99＝0
D ．α51＝51
2.如果
1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）
1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a
考点3前N 项和
例1.等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=L ，98n n n a a a q --+++=L ，则其前n 项和n S = ．
例2.等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若2462,10,S S S ==则等于（ ）
A ．12
B ．18
C ．24
D ．42
例3.若等差数列共有12+n 项()*
N n ∈，且奇数项的和为44，偶数项的和为33， 则项数为 （ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
