高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-1-6

高中数学第一章立体几何初步1.1阶段检测（一）（含解析）新人教B版必修2对应学生用书P21(范围：1．1)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当投射线与投射面垂直时，一个等腰直角三角形在一个平面内的投影可能是( )①等腰直角三角形；②直角非等腰三角形；③钝角三角形；④锐角三角形；⑤线段．A．①② B．①②③C．①②③④ D．①②③④⑤答案 D解析当等腰直角三角形所在平面与投射面平行时，得到的投影是与其全等的一个等腰直角三角形；当一条直角边放在投射面内时得到的就是直角非等腰三角形；当直角顶点在投射面内，斜边与投射面平行，但三角形所在平面不与投射面垂直时，得到的就是一个钝角三角形；当等腰直角三角形底边的一个端点在平面内，另一条腰与投射面不平行时，得到的投影是锐角三角形；当等腰直角三角形所在平面与投射面垂直时，得到的投影图形就是一条线段．所以①②③④⑤都正确．故选D．2．下列命题中正确的是( )A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转只能形成柱面C．直线绕定直线旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面答案 C解析本题主要考查从运动的观点看面的形成和空间想象能力．把握运动的方式和运动的方向是解题的关键．A中，将直线平移时，可以形成柱面，故A错；B中，直线绕定直线旋转可以形成锥面，也可以形成柱面，故B错，C正确；D中，将平面内的一条曲线平移时，这个平面就可以看作是这条曲线平移所形成的平面，故D错．因此选C．3．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是( )A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD ．b ，d 答案 A解析 主视图和左视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线．故选A ．4．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cmD ．3312 cm 答案 B解析 水的体积V ＝π×22×6＝24π(cm 3)．设圆锥的高为h ，则圆锥的底面半径为33h ，∴13π33h 2·h＝24π，解得h ＝6，即水面的高度为6 cm ． 5．某四面体的三视图如图所示，主视图、左视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为( )A ．4π3B ．3π C．3π2 D ．π答案 C解析 由三视图知，如图，此四面体的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32．所以球的体积为V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2．6．如图所示是古希腊数学家阿基米德墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A ．32，1B ．23，1C ．32，32D ．23，32 答案 C解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ． ∵V 圆柱＝πR 2×2R＝2πR 3，V 球＝43πR 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32． ∵S 圆柱表面积＝2πR×2R＋2×πR 2＝6πR 2，S 球表面积＝4πR 2， ∴S 圆柱表面积S 球表面积＝6πR 24πR 2＝32． 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1B ． 2C ．2－12 D ．2＋12答案 C解析 水平放置的正方体，当主视图为正方形时，其面积最小为1；当主视图为对角面时，其面积最大为2．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积的取值范围为[1，2]．由此可知，A ，B ，D 均有可能，而2－12<1，故C 不可能．8．如下图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3，分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝VAEA 1－DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B －C 1F 1C ．若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，则截面A 1EFD 1的面积为( )A ．213B ．413C ．613D ．813 答案 B解析 由题意可知，V 长方体＝6×4×3＝72，V 1＝16V ＝16×72＝12．其中体积为V 1的几何体是三棱柱AEA 1－DFD 1，其高为AD ＝4，∴其底面积S△AEA 1＝3．在Rt△AEA 1中，∵AA 1＝3，∴AE ＝2．∴A 1E ＝32＋22＝13．又∵截面A 1EFD 1为矩形，∴其面积S ＝413．9．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．143B ．173C ．203 D ．8答案 B解析由三视图，知该几何体的直观图是如图所示的多面体B1C1D1－BCDFE，该多面体可补全为棱长为2的正方体，其中E，F分别为AB，AD的中点，多面体AEF－A1B1D1为棱台，棱台高为2，上、下底面均为等腰直角三角形．则该几何体的体积是2×2×2－13×2×12＋2＋2×12＝8－73＝173，故选B．10．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为( ) A．1 B．2 C． 2 D．2 2答案 D解析∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝2．根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的BC边上的高为AC＝2A′C′＝22．故选D．11．设长方体的三条棱长分别为a，b，c，若长方体的所有棱的长度之和为24，一条体对角线长为5，体积为2，则1a＋1b＋1c等于( )A．114B．411C．112D．211答案 A解析由题意可知a＋b＋c＝6，①a2＋b2＋c2＝25，②abc＝2．由①两边平方得a2＋b2＋c2＋2(ab＋ac＋bc)＝36，把②代入此式，得ab＋ac＋bc＝112．∴1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ababc＝1122＝114．12．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1C ． 2D ．22答案 C解析 连接BC 1，B 1C ，交于点O ，则O 为平面BCC 1B 1的中心，由题意知，球心为侧面BCC 1B 1的中心O ，BC 为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC 的外接圆圆心N 位于BC 的中点．同理，△A 1B 1C 1的外接圆圆心M 位于B 1C 1的中点，设正方形BCC 1B 1的边长为x ，在Rt△OM C 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1．解得x ＝2，所以B 1B ＝BC ＝2．同理，在Rt△ABC 中，解得AB ＝AC ＝1，所以侧面ABB 1A 1的面积为2×1＝2．故选C ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱底面的半径为________． 答案 32或12解析 设底面半径为R ，当以宽为母线，长为底面圆周长时，则2πR＝3π，R ＝32；当以长为母线，宽为底面圆周长时，则2πR＝π，R ＝12．14．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12．6(立方寸)，则图中的x 为________．答案 1．6解析 由图可得π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x＋3×1×(5．4－x)＝12．6，解得x ＝1．6．15．若一个圆台的轴截面是腰长为a 的等腰梯形，下底边长为2a ，对角线长为 3a ，则这个圆台的体积为________．答案7324πa 3解析 圆台的轴截面如图，由AD ＝a ，AB ＝2a ，BD ＝3a ，可知∠ADB＝90°．分别过D ，C 作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH ＝32a ，所以HB ＝BD 2－DH 2＝3a 2－34a 2＝32a ，所以DC ＝HG＝a ，所以圆台的体积为V ＝π3·14a 2＋12a 2＋a 2·32a ＝7324πa 3． 16．把由曲线y ＝|x|和y ＝2围成的图形绕x 轴旋转360°，所得旋转体的体积为________．答案32π3解析 由题意，y ＝|x|和y ＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×π3×22×2＝16π3，∴所求几何体的体积为16π－16π3＝32π3．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)把长、宽分别为4，2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ． 当2πr＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π．当2πr＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4，所以V 圆柱＝πr 2h ＝4π．综上所述，这个圆柱的体积为8π或4π．18．(本小题满分12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50 cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm ．现有制作这种纸篓的塑料制品50 m 2，问最多可以做这种纸篓多少个？解 根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15 cm ，上口的半径r ＝20 cm ，设母线长为l ，则纸篓的表面积S ＝πr′2＋2πr′＋2πr l 2＝π(r′2＋r′l＋rl)＝π(152＋15×50＋20×50)＝1975π(cm 2)．50 m 2＝500000 cm 2，故最多可以制作这种纸篓的个数n ＝500000S≈80(个)．19．(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上的一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线为29．设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)PC 和NC 的长．解 (1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，所以对角线的长为42＋92＝97．(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB 1展开，如图所示．设PC 的长为x ， 则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x)2．因为MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3， 所以x ＝2(负值舍去)，即PC 的长为2． 又因为NC∥AM，所以PC PA ＝NC AM ，即25＝NC2，所以NC ＝45．20．(本小题满分12分)如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形．(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的外接球的体积．解 (1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4 cm ，高是2 cm ， 因此该几何体的表面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm 2)，即几何体的表面积是64 cm 2． (2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d ，球的半径是r ，d ＝16＋16＋4＝36＝6(cm)， 所以球的半径为r ＝3(cm)．因此球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π(cm 3)，所以外接球的体积是36π cm 3．21．(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是A 1A ，CC 1的中点，求四棱锥C 1－B 1EDF 的体积．解 连接EF ，B 1D 1．设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2．∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是A 1A ，CC 1的中点，∴h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a ．又S△C 1EF ＝12C 1F·EF＝12×a 2×2a ＝24a 2，∴VC 1－B 1EDF ＝VB 1－C 1EF ＋ VD －C 1EF ＝13·S△C 1EF·(h 1＋h 2)＝13×24a 2×2a ＝16a 3．22．(本小题满分12分)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB∥CD，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2． 连接MD ．因为M 是AE 的中点，所以V M －ABCD ＝12V ．所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC ．而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2．因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB∥CD，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32． 所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V ．。

第一章检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.若a⊂α,b⊂β,α∩β=c,a∩b=M,则( A )(A)M∈c (B)M∉c (C)M⊂c (D)M⊄c解析:因为M=a∩b,所以M∈a且M∈b.而a⊂α,b⊂β,所以M∈α,且M∈β,所以M∈(α∩β),因为α∩β=c,所以M∈c.2.下列三个命题,其中正确的有( A )①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:①错,因截面不一定平行于底面;②错,因为各侧棱延长后不一定相交于一点;③错,因为即使各侧面为等腰梯形,各侧棱延长后也不一定交于一点,故选A.3.给出以下几种说法:①和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内;②三条两两相交的直线在同一个平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确说法的个数是( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①错,这两条直线可能为异面直线;②错,相交于一点的三条直线,可以确定三个平面;③错,若这三个公共点在一条直线上,则两个平面可能是相交的;④错,这三条平行线可以在一个平面内.故选A.4.如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,DC+CC1=8,CB=4,M是AB的中点,点N是平面A1B1C1D1上的点,且满足C1N=,当长方体ABCD A1B1C1D1的体积最大时,线段MN的最小值是( C )(A)6 (B)8 (C) (D)4解析:依题意,=CB·DC·CC1=4DC·CC1≤4×=64,当且仅当DC=CC1=4时等号成立.因为M为线段AB的中点,如图,记M在A1B1上的投影为M′,连接M′C1交圆C1于点N,连接MN,此时MN的长度即为所求最小值,因为B1C1=4,B1M′=2,所以M′C1=2,M′N=M′C1-C1N=,故MN===,故MN的最小值为.故选C.5.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是( D )(A)平面ABD⊥平面ABC(B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC(D)平面ADC⊥平面ABC解析:由原来的平面图形,易知CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,所以CD⊥平面ABD.所以CD⊥AB,而AB⊥AD,CD∩AD=D,所以AB⊥平面ADC,因为AB⊂平面ABC,所以平面ADC⊥平面ABC.故选D.6.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ACD沿AC折起,使得D折起的位置为D1,且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,其中有n对平面相互垂直,则n等于(B)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:如图,由已知D1O⊥平面ABC,D1O⊂平面D1AB.所以平面D1AB⊥平面ABC,又BC⊥AB,BC⊂平面D1BC,所以平面D1BC⊥平面D1AB,在Rt△D1BC中,BC=1,D1C=,所以D1B=,在平面D1AB中,AD1=1,AB=,所以A+B=AB2,所以AD1⊥D1B,而AD1⊥D1C,所以AD1⊥平面D1BC,又AD1⊂平面AD1C,所以平面AD1C⊥平面D1BC,共3对平面互相垂直,故选B.7.已知正方体ABCD A1B1C1D1,平面α过直线BD,α⊥平面AB1C,α∩平面AB1C=m,平面β过直线A1C1,β∥平面AB1C,β∩平面ADD1A1=n,则m,n所成角的余弦值为( D )(A)0 (B)(C)(D)解析:如图,由已知,m为直线B1O,n为直线A1D,又A1D∥B1C,所以m,n所成角即是B1O与B1C所成的角,设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,在Rt△B1OC中,B1C=,OC=,所以B1O==,cos∠OB1C===,即m,n所成角的余弦值为.故选D.8.如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( D )(A)AC⊥BE(B)EF∥平面ABCD(C)三棱锥A BEF的体积为定值(D)△AEF的面积与△BEF的面积相等解析:可证AC⊥平面D1DBB1,从而AC⊥BE,故A项正确;由B1D1∥平面ABCD,可知EF∥平面ABCD,B项也正确;连接BD交AC于O,则AO为三棱锥A BEF的高,S△BEF=××1=,三棱锥A BEF的体积为××=为定值,C项正确;A到B1D1的距离与B到B1D1的距离不相等.故选D.9.一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的体积为( A )(A)π(B)π(C)8π(D)24π解析:该旋转体是具有公共底面的两个圆锥,且底面半径为,则体积V=×()2×5=π.故选A.10.如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且==,若BD=6 cm,梯形EFGH的面积为28 cm2 ,则平行线EH,FG间的距离为( A )(A)8 cm (B)6 cm (C)4 cm (D)9 cm解析:由题知,EH=BD=3 cm,FG=BD=4 cm.设平行线EH,FG之间距离为d,则28=×(3+4)×d,所以d=8 cm,故选A.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.如图所示,ABCD A1B1C1D1是正方体,若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的位置关系是.解析:易知AC∥平面A1C1,而AC⊂平面ACB1,平面ACB1∩平面A1C1=l,故l∥AC.答案:平行12.若球的表面积为16π,球心到一截面的距离为,则这个截面圆的面积是.解析:设截面圆的半径为r,由题知,球的半径为2,则有r2=22-()2=1,故截面圆的面积为πr2=π.答案:π13.周长为12的矩形,绕其一边旋转360°,得一圆柱,其最大侧面积为.解析:设矩形一边长为x,则另一边长为=6-x,S侧=2πx(6-x)=-2π(x-3)2+18π,当x=3时侧面积最大,最大为18π.答案:18π14.已知一水平放置梯形的直观图是一等腰梯形(如图),其面积为6,则原梯形面积为. 解析:设直观图的高为h,则h(2+4)=6,所以h=2.所以原梯形的高在直观图中对应的线段长为==2,所以原梯形的高为4,又两底边长不变,所以S原梯形=×4×(2+4)=12.答案:1215.如图,在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=b(b<a).若Q是CD上的动点,则三棱锥Q D1EF的体积为.解析:==S△QEF·DD1=×b×a×a=a2b.答案:a2b三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)如图(1),在△MBC中,MA是BC边上的高,MA=3,AC=4,如图(2),将△MBC沿MA进行翻折,使得∠BAC=90°,再过点B作BD∥AC,连接AD,CD,MD,且AD=2,∠CAD=30°.(1)求证:CD⊥平面MAD;(2)求点A到平面MCD的距离.(1)证明:在△ADC中,AC=4,AD=2,∠CAD=30°,利用余弦定理可得CD=2,所以∠ADC=90°,即CD⊥AD.因为MA⊥AB,MA⊥AC,AB∩AC=A,故MA⊥平面ABDC.因为CD⊂平面ABDC,所以CD⊥MA.又AD∩MA=A,所以CD⊥平面MAD.(2)解:因为△ACD的面积S=×2×2=2.故三棱锥M ACD的体积V=×2×3=2.又由(1)CD⊥平面MAD知MD⊥CD,得MD=,故△MCD的面积S=××2=,由=可得×2×3=×h,所以h=,故点A到平面MCD的距离为.17.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=12,BC=10,AA1=8,过点A1,D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E,F,四边形A1EFD1为正方形.(1)在图中请画出这个正方形(不必写作法),并求AE的长;(2)问平面α右侧部分是什么几何体,并求其体积.解:(1)正方形A1EFD1如图所示.因为A1E=A1D1=AB=10,A1A=8,在Rt△A1AE中,由勾股定理知AE=6.(2)平面α右侧部分几何体是以A1EBB1为底面的直四棱柱,由棱柱体积公式得V=×(6+12)×8×10=720.18.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明:AC⊥HD′;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′ABCFE的体积.(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.所以EF⊥HD,EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.(2)解:由EF∥AC得==.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.所以OH=1,D′H=DH=3.于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.所以五棱锥D′ABCFE的体积V=××2=.19.(本小题满分12分)有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水,并且放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水面高是多少?解:如图,作出截面,因轴截面是一个正三角形,根据切线的性质知当球在容器内时,水面的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·(r)2·3r-πr3=πr3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为,从而容器内水的体积为V′=π··h=πh3,由V=V′,可得h=r.20.(本小题满分13分)如图所示,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC为直角三角形.证明:(1)如图,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F,作DG⊥AB于G,因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,所以DF⊥平面PAC,所以DF⊥AP,同理可证DG⊥AP.又DG∩DF=D,DG⊂平面ABC,DF⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H,因为E为△PBC的垂心,所以PC⊥BE.因为AE⊥平面PBC,所以PC⊥AE.又BE∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.又PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.又PC∩PA=P,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.21.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC,(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解:棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.理由如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.因为E为AB的中点,所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以PA∥平面CEF.。

第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是() A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。

一、选择题（每小题6分，共42分）1.下列命题中正确的是 ( )A. 有两个面平行,其余各面都是平行四边行的多面体叫做棱柱B .用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫棱锥D.以圆的直径为轴,将圆面旋转180度形成的旋转体叫球2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①② B．①③ C．①③ D．②④3.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A．2倍B．2倍C．2倍D．12倍4．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成（）A．平面B．曲面C．直线D．锥面5.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是（）A．V正方体=V圆柱=V球 B．V正方体<V圆柱<V球C．V正方体>V圆柱>V球D．V圆柱>V正方体>V球6．下面的图形可以构成正方体的是（）A B C D7．已知圆柱的侧面展开图是矩形，其面积为S，圆柱的底面周长为C，则圆柱的体积是A．34πCSB．34πSCC．2πCSD．4πSC二、填空题（每小题6分，共30分）8.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________.9.一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是________.10．右面三视图所表示的几何体是．正视图侧视图11．已知，ABCD 为等腰梯形，两底边为AB,CD 且AB>CD ，绕AB 所在的直线旋转一周所得的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体. 12．下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题： ①如果A 在多面体的底面，那么哪一面会在上 面 ；②如果面F 在前面，从左边看是面B ，那么哪一个 面会在上面 ；③如果从左面看是面C ，面D 在后面，那么哪一 个面会在上面 .三、解答题（每小题14分，共28分）13．已知一个几何体的三视图如下,大至画出它的直观图,并求出它的表面积和体积。