正方体被平面截得的截面形状

龙源期刊网

正方体的截面问题

作者：陈斌

来源：《读与写·教师版》2018年第12期

摘要：近几年高考全国数学试卷涉及正方体的截面问题的试题，本文就正方体的截面形状及性质进行了归纳整理，并对几道高考试题提出了解法。

关键词：高考;理数;正方体;截面

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）12-0237-01 龙源期刊网

正方体的截面就是用一个平面去截正方体，正方体的表面与这个平面的交线围成的平面图形。

1.正方体的截面形状

正方体的截面可以是三角形，四边形，五边形或六边形，具体说：

（1）截面三角形一定是锐角三角形;其中可以是等边三角形、等腰三角形、不等边三角形;但不能是直角三角形、钝角三角形;

（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;并且四边形中至少有一组对边平行;截面不能是直角梯形;

（3）截面可以是五边形;截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等;截面五边形不可能是正五边形（因为必有两组对边平行）;

（4）截面可以是六边形;截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等;截面六边形可以是等角（均为1200）的六边形，特别地，可以是正六边形。

2.正方体的截角面的性质

所谓正方体的截角面就是沿正方体的某三个顶点截去它的一个角后的三角形截面。如右图中的△A'BD。

（1）每个正方体都有八个截角面;

（2）正方体的截角面垂直于它的一条体对角线，垂足是这条体对角线的一个三等分点。

（3）正方体的截角面与它的12条棱所成的角相等，也与它的六个面所成角相等。

由于截去的是正三棱锥，结合线面平行或面面平行的有关性质容易证明上述结论。

试卷第1页，共11页 正方体的截面形状

一：问题背景

在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？

二：研究方法

先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。

三：猜想及其他可能的证明：

1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：

====》》》

由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》

由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形： 试卷第2页，共11页 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：

由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。

3.平行四边形：

当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：

==》

由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4.三角形：

根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: 试卷第3页，共11页 ==》》》

由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：

==》得到：正三棱锥

5.猜想之外的截面形状：

（1）菱形：

如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： 试卷第4页，共11页

（2）梯形：

如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：

==》》》

（3）五边形：

如图所示，可以截得五边形截面： =》

通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。

（4）六边形：

结论如下： 1、可能出现的：

锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、 非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、 五边形、六边形、正六边形

2、不可能出现：

钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、 七边形或更多边形

可能出现锐角三角型、等边、等腰三角形,但不可能出现直角和钝角三角形

四边形:

可能出现正方形、矩形、 非矩形的平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形

不可能出现直角梯形 正方体截面的形状

正方体的截面形状

一：问题背景

在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？

二：研究方法

先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。

三：猜想及其他可能的证明：

1.正方形：

因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：

====》》》

由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》

由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：

因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：

由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。

3.平行四边形：

当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：

==》

由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4.三角形：

根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:

==》》》

由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：

==》得到：正三棱锥

5.猜想之外的截面形状：

窑

新教育

窑上旬刊正方体中几种常见的截面作法

阴海南师范大学附属中学廖云霞

如果用一个平面去截几何体袁那么该平面与这个

几何体的各个面相交袁由交线围成的平面图形叫几何

体的截面遥打个比方袁木匠用锯子将某个小木块锯成

两块袁野锯口冶就是我们所说的截面遥本文将以正方体

为载体袁展开讨论关于截面的如下两个问题院一是过

三点渊均在棱上冤作正方体的截面的做法曰二是截面面

积或周长的计算遥通过研究正方体的截面问题袁我们

能更好地揭示空间图形与平面图形之间的内在联系遥

因为正方体的各个面都是平面袁所以用平面去截

它所得的截面必是多边形遥由于截面至少与正方体的

三个面相交袁至多与六个面相交袁所以截面的形状只

能是三角形尧四边形尧五边形尧六边形四种遥截面与正

方体每一个面的交线由两个公共点决定袁所以只要找

到截面与正方体某个面的两个公共点袁就能做出截面

与该面的交线遥公共点与交线的求得袁主要依据为院

1.公理1院如果一条直线上的两点在一个平面

内袁那么这条直线在此平面内遥

2.公理2:过不在一条直线上的三点袁有且只有

一个平面袁及公理2的三个推论遥

3.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点袁

那么它们有且只有一条过该点的公共直线遥

4.面面平行的性质定理院如果两个平行平面同时

和第三个平面相交袁那么它们的交线平行遥

5.如果三个平面两两相交袁那么所得三条交线平

行或共点遥

例1.已知正方体ABCD-A

1B

1C

1D

1的棱长为1袁E

是棱AB的中点袁F是棱CC

1的中点遥做过D

1尧E尧F三

点的截面袁并求截面图形的周长遥

图1

作法1渊延长线法冤院如图1袁分别延长D

1F尧DC交

于点P曰连接PE袁交BC于点N曰延长PE袁交DA的延长线于点S曰连接D

1S袁交AA

1于点M袁则五边形

D

1MENF即为所求作的截面图形遥

由三角形相似可得A

1M=3MA,CN=2NB袁易得截面

五边形D

1MENF的周长为1

12(25+213姨+95姨)遥

作法2渊平行线法冤院如图2袁连接D

1F袁过A作

A

1S//D