实变函数(复习资料,带答案)
- 格式:doc
- 大小:1.36 MB
- 文档页数:17
《实变函数》试卷一
一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( )
(A )1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞
===⋃⋂; (B )1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋃;
(C )1lim n k n n k n
A A ∞
∞
→∞
===⋂⋃; (D )1lim n k n k n
n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋂;
2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P ='
(D) P P =
3、下列说法不正确的是( )
(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B)
{}sup ()n n
f x 是可测函数(C ){}inf ()n n
f x 是可测函数;(D )若
()()n f x f x ⇒,则()f x 可测
5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数
(C ))('
x f 在],[b a 上L 可积 (D)
⎰
-=b a
a f
b f dx x f )()()('
二. 填空题(3分×5=15分)
1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________
2、设E 是[]0,1上有理点全体,则
'
E =______,o
E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都
_________________________________,则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)
5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为
[],a b 上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例
说明.(5分×4=20分)1、设
E ⊂是稠密集,则CE 是无处稠密集。
2、若0=mE ,则E
3、若|()|f x 是可测函数,则(f x
4.设()f x 在可测集E ,()0E f x ∈>,则
()0E
f x >⎰
四、解答题(8分×2=16分).
1、(8分)设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数()x 在[]0,1上是否R -
可积,是否L - 2、(8分)求0
ln()lim x
n
x n e n
∞-+⎰
五、证明题(6分×4+10=341、(6分)证明[]0,1c . 2、(6分)设()f x 是(),-∞+∞意常数,{|()}a E x f x a =≥3、(6分)在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。
4、(6分)设,()mE f x <∞在E 上可积,(||)n e E f n =≥,则
lim 0n n
n me ⋅=.
5、(10分)设()f x 是E 上..a e 有限的函数,若对任意0δ>,存在闭子集F E δ⊂,使()f x 在F δ上连续,且()m E F δδ-<,证明:()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理
试卷一 (参考答案及评分标准)
一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1.∅ 2、[]0,1; ∅ ; []0,1 3、
***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂
4、充要
5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集。
三、1.错误2分例如:设E 是[]0,1上有理点全体,则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分
2.错误2分例如:设E 是Cantor 集,则0mE =,但E =c , 故其为不可数集 5分 3.错误例如:设E 是[],a b 上的不可测集,
[],;
(),,;
x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨
-∈-⎪⎩ 则|()|f x 是[],a b 上的可测函数,但()f x 不是[],a b 上的可测函数…
4.错误0mE =时,对E 上任意的实函数()f x 都有()0E
f x dx =⎰
四、1.()f x 在[]0,1上不是R -可积的,因为()f x 仅在1x =处连续,即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测函数,()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等,进一步,[]
120,101
()3
f x dx x dx ==⎰⎰ (8)
分
2.解:设ln()()cos x
n x n f x e x n -+=
,则易知当n →∞时,()0n f x → 2分
又因'
2ln 1ln 0t t
t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭
,(3t ≥),所以当3,0n x ≥≥时,
ln()ln()ln 3ln 3(1)33
x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分 从而使得ln 3
|()|(1)3
x n f x x e -≤+………………………6分
但是不等式右边的函数,在[)0,+∞上是L 可积的,故有
lim ()lim ()0n n n
n
f x dx f x dx ∞
∞
==⎰⎰…………………8分
五、1.设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂
B M B ∴∃⊂是无限集,可数子集 ………………2分 .A A M
M ∴⋃是可数集, (3)
分
(\),(\),()(\),(\),
B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂=且………..5分
,.E B B c ∴∴=…………………………6分
2.,{},lim n n n x E E x x x →∞
'∀∈=则存在中的互异点列使……….2分
,()n n x E f x a ∈∴≥………………….3分