高中数学讲义 1 思维的开掘 能力的飞跃
1．基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有1m种不同的方法，在第二类方法中有2m种方法，……，在第n类方法中有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．又称加法原理．
⑴乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同方法，……，做第n个步骤有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．又称乘法原理．
⑴加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取()mmn≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．〔其中被取的对象叫做元素〕
排列数：从n个不同的元素中取出()mmn≤个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．
排列数公式：A(1)(2)(1)mnnnnnm，mnN，，并且mn≤．
全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．
n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示．规定：0!1． 知识内容
排列组合问题的常见模型1 高中数学讲义 2 思维的开掘 能力的飞跃 ⑴组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m()mn≤个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．
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世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着有意义的生活。在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的床铺上，那他便 十分心满意足了；在第二种人眼里，可以说，生活就是建立功绩……人就在完成这个功绩中享到自己的幸福。
－－别林斯基
排列组合问题的非常规解题数学思想方法
分类计数，分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法，利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法等解决某些问题总觉的较难或者解答较繁．针对该现象本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路．
一.数形结合思想
例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?
解法一: 如图所示,
将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:
→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → →
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B只能上行或右行共有514(51)(81)11CC条不同的路径.
解法二:设ia (1,2,3,4,5,6,7)i表示经过第i列的水平路段;
设jb (1,2,3,4)j表示经过第j行的竖直路段;
如图所示,
将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格: 1a 1b 2a 2b 3b 3a 4a 5a 4b 6a 7a
可以看出这是ia (1,2,3,4,5,6,7)i与jb (1,2,3,4)j的一个分别顺序一定的排列,而且一个这样的排列对应一条路径.
所以从A到B只能上行或右行共有11411117474ACAA条不同的路径.
二.分类讨论思想
例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。
排列组合问题的几种巧解方法
排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。
一、对等法。在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？
分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。并且也避免了问题的复杂性。
解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有
种。
二、插入法。对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?
分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。
解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有 种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为 种。
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数学模型方法在排列组合中的应用
作者：徐家平
来源：《考试周刊》2012年第49期
摘 要： 排列组合是中学数学的重要组成部分，有着广泛的应用性，它具有理论性强，对逻辑思维要求高，思想方法独特灵活等特点.通过构造排列组合实际问题模型解题，方法新颖、独特，可帮助学生多角度地思考问题，培养思维的深刻性、灵活性，激发学生的创造力，形成创新意识.本文分析了多种排列组合中的数学模型，帮助同学们更快更准确地解决排列组合问题.
关键词： 数学模型 排列组合 应用
排列组合是中学数学的重要组成部分，有着广泛的应用性，这一方面的问题解决已成为数学教育关注的一个热点.但由于它应用性强，具有题型多变，条件隐晦，思维抽象，分类复杂，问题交错，易出现重复和遗漏，以及不易发现错误等特征，所以学生在学习这部分内容时经常碰到不少困难.而数学模型方法（Mathematical modelling method简称MM方法）在处理一些排列组合问题中有着它独特的优势，可以克服传统方法中导致学生易犯错的情况，具有很高的应用价值.
所谓MM方法，就是将所考察的实际问题转化为一个具体数学问题，构造出相应的模型，通过对模型的研究和解答，问题得以解决的一种数学方法.其基本过程可用下面的框图来表示：
构造模型的关键是对实际问题进行抽象概括转化，抓住问题实质.本文结合具体例子，介绍几种排列组合问题中常见的数学模型.
一、不等式（方程）组模型
在解决某些排列组合问题时，我们可以先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，解方程即可.
例1：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
解：设取x个红球，y个白球，则x+y=52x+y≥7（0≤x≤4，0≤y≤6）
