北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题
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第 1 页 共 14 页 北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2019.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合{|2,}AxxkkZ，2{|5}Bxx≤，那么AB
（A）{0,2,4} （B）{2,0,2}
（C）{0,2} （D）{2,2}
2．在等比数列{}na中，若32a，58a，则7a
（A）10 （B）16 （C）24 （D）32
3．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为
（A）5
（B）6
（C）22
（D）10
4．在极坐标系中，点(2,)2P到直线cos1的距离等于
（A）1 （B）2 （C）3 （D）2
5. 在平面直角坐标系xOy中，点(1,1)A，点B在圆224xy上，则||OAOB的最大值为
（A）3 （B）12 （C）22 （D）4
侧(左)视图 正(主)视图
俯视图 2 1 1
1
1 第 2 页 共 14 页 “L”形骨牌
国际象棋棋盘 6. 设,0MN，01a，则“loglogabMN”是“1MN”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
7. 已知函数()sinπfxx，2()2gxxx，则
（A）曲线()()yfxgx不是轴对称图形 （B）曲线()()yfxgx是中心对称图形
（C）函数()()yfxgx是周期函数 （D）函数()()fxygx最大值为47
8. 一个国际象棋棋盘（由88个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则
（A）至多能剪成19块“L”形骨牌
（B）至多能剪成20块“L”形骨牌
（C）一定能剪成21块“L”形骨牌
（D）前三个答案都不对
第 3 页 共 14 页
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．复数z满足方程1iiz，则z____．
10．已知角的终边经过点(3,4)，则tan____；cos(π)____．
11．执行如图所示的程序框图，若输入的1m，则输出数据的总个数为____．
12．设x，y满足约束条件230,3,20,xyxyxy≥≤0≥ 则3zxy的取值范围是____．
13. 能说明“若定义在R上的函数()fx满足(0)(2)0ff，则()fx在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是____．
14．设双曲线22: 13yCx的左焦点为F，右顶点为A. 若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得=PFPA成立，则实数的取值范围是____．
mn
21nm 开始
否
结束 输出n
是 输入m
(0,100)m第 4 页 共 14 页
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在ABC中， 3a，26b，2BA．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）试比较B与C的大小．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC为正方形，M，N分别是11AB，AC的中点，AB平面BCM．
（Ⅰ）求证：平面11BBCC平面11AABB；
（Ⅱ）求证：1//AN平面BCM；
（Ⅲ）若11AABB是边长为2的菱形，求直线1AN与平面1MCC所成角的正弦值．
B1 A M B
A1 C C1
N 第 5 页 共 14 页 17．（本小题满分13分）
为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：
质量指标值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45]
等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a）.
甲企业 乙企业
（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；
（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁．．．．．．．，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元. 一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.
18．（本小题满分13分）
已知函数()lnfxxxa，其中aR．
（Ⅰ）如果曲线()yfx与x轴相切，求a的值；
（Ⅱ）如果函数2()()fxgxx在区间(1,e)上不是单调函数，求a的取值范围．
质量指标值 频数
[15,20) 2
[20,25) 18
[25,30) 48
[30,35) 14
[35,40) 16
[40,45] 2
合计 100 O 质量指标值 15 20 25 30 35 40 45 0.022 频率组距
0.042 0.080
0.028
a 0.020 第 6 页 共 14 页 19．（本小题满分14分）
已知椭圆222 1(2)2xyCaa：的离心率为22，左、右顶点分别为,AB，点M是椭圆C上异于,AB的一点，直线AM与y轴交于点P.
（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线A M的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且//AQBM，求证：PFQ为定值.
20．（本小题满分13分）
设正整数数列12 ,,,(3)NAaaaN：满足ijaa，其中1ijN≤≤. 如果存在{2,3,,}kN，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称为“k阶平衡数列”.
（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？
（Ⅱ）若N为偶数，证明：数列 1,2,3,,AN：不是“k阶平衡数列”，其中{2,3,,}kN.
（Ⅲ）如果2019Na≤，且对于任意{2,3,,}kN，数列均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.
北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2019.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．D 3．C 4．A
5．C 6．A 7．D 8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. AA第 7 页 共 14 页 9．1i 10．43；35 11． 6
12．[1,) 13．答案不唯一，如2()(1)fxx 14．(2,0)
注：第10题第一问3分，第二问2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在ABC中，由正弦定理sinsinabAB， ……………… 2分
得326sinsin2AA，即326sin2sincosAAA， ……………… 4分
解得6cos3A. ……………… 6分
（Ⅱ）由(0,π)A，得23sin1cos3AA. ……………… 7分
因为2BA，
所以21coscos22cos13BAA. ……………… 8分
所以222sin1cos3BB. ……………… 9分
又因为πABC，
所以6coscos()coscossinsin9CABABAB. ……………… 11分
所以coscosBC.
又因为函数cosyx在(0,π)上单调递减，且,(0,π)BC，
所以BC. ………………
13分
16．（本小题满分14分） 第 8 页 共 14 页 解：（Ⅰ）因为AB平面BCM，BC平面BCM，
所以ABBC． ……………… 1分
由正方形11BBCC，知1BBBC，
又因为1ABBBB，
所以BC平面11AABB． ……………… 3分
又因为BC平面11BBCC，
所以平面11BBCC平面11AABB． ……………… 4分
（Ⅱ）设BC中点Q，连结NQMQ，．
因为M，N分别是11AB，AC的中点，
所以//NQAB，且12NQAB．
又因为11//ABAB，且11ABAB，
所以1//NQAM，且1NQAM．
所以四边形1AMQN为平行四边形．
所以1//ANMQ． ……………… 6分
又因为MQ平面BCM，1AN平面BCM，
所以1//AN平面BCM． ……………… 8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BA，BM，BC两两互相垂直，因此以B为原点，以BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示． ………… 9分
因为11AABB是边长为2的菱形，M为11AB的中点，且11ABBM，
易得1160BBA，则(,0)B，(2,0,0)A，(0,3,0)M，(0,0,2)C，1(1,3,0)A，1(1,3,0)B，1(1,3,2)C，(1,0,1)N． ……………… 10分
