课时规范训练 (时间：70分钟)1．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于255，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求证：λ1＋λ2为定值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝255，1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552b 2＝1，∴a 2＝5，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设点A ，B ，M 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，又易知F 点的坐标为(2,0)．显然直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0，∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2，又∵MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1，y 1－y 0＝λ1－x 1，－y 1，x 2，y 2－y 0＝λ2－x 2，－y 2，解得λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2，∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2 ＝x 1＋x 2－2x 1x 24－x 1＋x 2＋x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20k 21＋5k 2－20k 2－51＋5k 24－2·20k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k2＝－10. 即λ1＋λ2为定值．2．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y P )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0 ⇒m 2<3k 2＋1.①∴x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又∵|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2； 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上求得m 的取值范围是12<m <2.3.如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．证明：(1)依题意可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8， 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，直线BD 的方程为x ＝x 2. 解得交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1， 注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)依题意知，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1、N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a＋a ，－2，则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a－a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，其离心率为e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为4π3.(1)求a ，b 的值；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，且满足F 1A →∥F 1C →，F 1B →∥F 1D →，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解：(1)设△PF 1F 2内切圆半径为r ，由S △PF 1F 2＝12r (|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)＝12r (2a ＋2c )，∴当S △PF 1F 2最大时，则r 最大．当P 为椭圆上、下顶点时，S △PF 1F 2取得最大值，△PF 1F 2内切圆面积取得最大值．∵4π3＝πr 2，∴r ＝233.S△PF1F2＝12|F1F2|·b＝bc＝12(|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|)r＝12(2c＋2a)×233，化为bc＝23 3(a＋c)，又ca＝12，a2＝b2＋c2，联立解得a＝4，c＝2，b＝2 3.(2)∵F1A→∥F1C→，F1B→∥F1D→，AC→·BD→＝0，∴直线AC，BD垂直相交于点F1，由(1)知椭圆方程为x216＋y212＝1，F1(－2,0)．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，|AC→|＋|BD→|＝6＋8＝14.②当AC斜率存在且不为0时，设方程为y＝k(x＋2)，A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝k x＋，x216＋y212＝1消去y得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0.∴x1＋x2＝－16k23＋4k2，x1x2＝16k2－483＋4k2.∴|AC→|＝1＋k2|x1－x2|＝＋k2x 1＋x22－4x1x2]＝＋k23＋4k2.把－1k代入上式得，|BD→|＝＋k24＋3k2，∴|AC→|＋|BD→|＝k2＋2＋3k2＋4k2.设t＝k2＋1(k≠0)，t>1，∴|AC→|＋|BD→|＝16812＋t－1t2，t>1，∴0<t－1t2≤14，∴|AC→|＋|BD→|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14.综上可得，|AC→|＋|BD→|的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14.5．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m －k3， 因此x M ＝k k －mk 2＋.四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －m3k 2＋，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．。
一、【课前小测摸底细】1.【课本典型习题，P73第3题】抛物线错误！未找到引用源。
上一点M到焦点F的距离错误！未找到引用源。
，求点M的坐标．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】设点错误！未找到引用源。
，由抛物线的定义得，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，代入抛物线方程得错误！未找到引用源。
，所以点M的坐标为错误！未找到引用源。
．2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线错误！未找到引用源。
上任意一点，M是线段PF上的点，且错误！未找到引用源。
=2错误！未找到引用源。
,则直线OM的斜率的最大值为( )（A）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）1【答案】C3.【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）】已知点错误！未找到引用源。
是抛物线错误！未找到引用源。
上一点，错误！未找到引用源。
为坐标原点，若错误！未找到引用源。
是以点错误！未找到引用源。
为圆心，错误！未找到引用源。
的长为半径的圆与抛物线错误！未找到引用源。
的两个公共点，且错误！未找到引用源。
为等边三角形，则错误！未找到引用源。
的值是（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C4.【基础经典试题】已知错误！未找到引用源。
是抛物线错误！未找到引用源。
的焦点，错误！未找到引用源。
是该抛物线上的两点.若线段错误！未找到引用源。
的中点到错误！未找到引用源。
轴的距离为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．2 B．错误！未找到引用源。
C．3 D．4【答案】．C【解析】抛物线的准线方程：错误！未找到引用源。
，线段错误！未找到引用源。
的中点到准线的距离为错误！未找到引用源。
，由抛物线的性质得错误！未找到引用源。
5.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=错误！未找到引用源。
