18版高中数学第三章指数函数和对数函数3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案北师大版必修1
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1 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)
2. 会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)
[基础·初探]
教材整理 指数函数、幂函数、对数函数增长的
比较
阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．
1. 三种函数的增长趋势
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．
2. 三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax.
1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x10比y＝1.1x的增长速度更快些．( )
(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x.( )
(3)对于任意的x，都有2x>x2.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2. 下列函数中，自变量x充分大时，增长速度最慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
【解析】 对数函数的增长速度最慢，即增长最慢的是y＝log6x.
【答案】 B 2
[小组合作型]
指数、对数、幂函数增长趋势的比较
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图361所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1
图361
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小.
【导学号：04100066】
【精彩点拨】 先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．
【尝试解答】 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．
∴1
∴x1<8
从图像上知，当x1
当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．
三种函数模型的表达形式及其增长特点：指数函数模型：能用指数型函数fx＝abx＋ca，b，c为常数，a>0，b表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸对数函数模型：能用对数型函数fx＝mlogax＋nm，n，a为常数，m≠0，x>0，a表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长幂函数模型：能用幂型函数fx＝axα＋ba，b，α为常数，a≠0，α表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函3 数模型和反比例函数模型.
[再练一题]
1. 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图362所示．
图362
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
建立函数模型解决实际问题
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
【精彩点拨】 首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．
【尝试解答】 设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图像如图：
4 由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
天数累积收益方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 …
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 …
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 …
∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．
解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.
[再练一题]
2. 有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)
【解】 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a<0，
因此，乙方案能获得更多的木材．
[探究共研型]
选择函数模型的实际问题
探究 如图363给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合5 诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是？
图363
【提示】 由题中图像可知，该函数模型为指数函数．
20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x(即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)，或g(x)＝abx＋c(a，b，c为常数且b>0，b≠1)．
(1)根据题目中的数据，求f(x)，g(x)的解析式；
(2)如果1994年大气中CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
【精彩点拨】 (1)列出方程组求系数，从而求解析式；
(2)由x＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数．
【尝试解答】 (1)由题目中的数据得
p＋q＋r＝1，4p＋2q＋r＝3，9p＋3q＋r＝6，
解得 p＝12，q＝12，r＝0，
由 ab＋c＝1，ab2＋c＝3，ab3＋c＝6，解得 a＝83，b＝32，c＝－3， 6 所以f(x)＝12x2＋12x, g(x)＝83·32x－3.
(2)因为f(5)＝15，g(5)＝17.25，f(5)更接近16，
所以选用f(x)＝12x2＋12x作为模拟函数好．
解决函数应用题时的常用方法：先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.
[再练一题]
3. 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【解】 (1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，
故只能选择Q＝at2＋bt＋c，
即
150＝a×502＋b×50＋c，108＝a×1102＋b×110＋c，150＝a×2502＋b×250＋c.
解得Q＝1200t2－32t＋4252.
(2)Q＝1200(t－150)2＋4252－2252
＝1200(t－150)2＋100，
