第二章 二次函数
§2.1 建立二次函数模型
一、自学导航： 1. 定义：如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为 ，它的一般形式是 ，其中（ ）。 2.二次函数定义中要求0a ≠，那么b 和c 是否可以为零呢？
若0b =，则解析式为y ＝ 。 若0c =，则解析式为y ＝ 。 若0b c ==，则解析式为y ＝ 。 以上三种形式都是二次函数的特殊形式。
二、问题探究：
问题一：正确理解反比例函数的表达式。 例1.m 为何值时()2
32
1--+=m m
x m y 是二
次函数。
问题二：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数的模型。
例2. 某服饰公司前年的总产值为100万元，去年与前年相比年增长率为x ，预计今年与去年相比年增长率仍为x ，今年的总产值为y 元。
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若使今年的总产量达到169万元，那么增长率x 应为多少？
三、综合运用： 1．下列函数中，不是二次函数的是（ ） A
．y =
B ．223y x =+
C ．2y r π=
D ．234y x x =+- 2．在半径为4cm 的圆中，挖去一个半径为xcm 的圆面，剩下的圆环面积为ycm 2 ，则y 与x 之间的函数关系式为 （ ） A ．24y x π=- B ．2(2)y x π=- C ．2(4)y x =-+ D ．216y x ππ=-+ 3．函数2
4
(3)(2)3m
m y m x m x +-=++++是
二次函数，那么m 的值是（ ） A ．﹣3 B ．2 C ．﹣3或2 D ．3或﹣2
4.二次函数722-+=x x y 的函数值是8，那么对应的x 的值是( )。
A.3
B.5
C.－3和5
D.3和－5
5．下列函数中，哪些是二次函数？哪些是一次函数？哪些是反比例函数？
⑴．31y x =+ ⑵．2321y x x =++⑶．234y x =+ ⑷．23y x x =-+ ⑸．13y x = ⑹．2
13
y x =
6.将一根长40cm的铁丝折成一个矩形，试求矩形面积S（cm2）与矩形一边长x（cm）之间的函数关系式。
7．已知：直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，试求它的面积y（cm2）与斜边x（cm)之间的函数关系式。
8．边长为15cm的正方形贴片，中间剪去一个边长为x cm的小正方形铁片，试求剩下的四方框铁片的面积y cm2与x cm之间的函数关系式。9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB ＝5，CD⊥AB，若AD＝y，AC＝x，试求y 与x之间的函数关系式。并说出自变量x的取值范围。
10．已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10cm。
⑴．当它的一条直角边为 4.5cm，时，求这个直角三角形的面积。
⑵．设这个直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边长为x cm，求S关于x的函数关系式。
§2.2二次函数的图象与性质（1）
一、自学导航：
二次函数2y ax =的图象叫做 。 该图象的对称轴是 ， 图象的顶点坐标是 ， 当a ＞0时，开口向 ， 当a ＜0时，开口向 。
二、问题探究：
问题一：会用描点法画二次函数2y ax =的图象，
问题二：会利用2y ax =的图象探究它的有关性质。
例1. 二次函数2
12
y x =
的有关性质： 对称轴是 ；
对称轴与图象的交点是 ； 图象的开口向 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而 ，图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而 ； 当______________x =时，函数值最。
例2. 二次函数2
12
y x =-
的有关性质： 对称轴是 ；
对称轴与图象的交点是 ； 图象的开口向 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而 ，图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而 ； 当______________x =时，函数值最。
三、综合运用： 1．抛物线2
12
y x =-的顶点坐标是（ ）。 A ．（1
2-
，0） B ．（0，0） C ．（0，12-） D ．（12-，1
2
-）
2．关于抛物线22y x =的图象特征，说法不正确的是（ ）。
A ．开口向上
B ．对称轴是直线x ＝0，
C ．顶点坐标是（0，2）；
D ．和y 轴的交点坐标是（0，0） 3．二次函数2(43)y a x =+ 的图象开口向上，则a 的取值范围是 。
4．二次函数24y x =，当x ＝ 时，y 的最 值是 。
5．二次函数2y x =-的图象上，抛物线在对称轴的右边部分，函数值随着自变量取值的增大而 ；在对称轴的左边部分，函数值随着自变量取值的增大而 。 6．在同一坐标系中画出22y x =和
21
4
y x =- 的图象，并分别指出它们的开口
方向、对称轴和顶点坐标。
§2.2二次函数的图象与性质（2）
一、自学导航：
二次函数2y ax h =+的图象叫做 。 该图象的对称轴是 ， 图象的顶点坐标是 ， 当a ＞0时，开口向 ， 当a ＜0时，开口向 。
二、问题探究：
问题一：会用描点法画二次函数2y ax h =+的图象，
问题二：会利用2y ax h =+的图象探究它的有关性质。
例1. 二次函数2
122
y x =
+的有关性质： 对称轴是 ；
对称轴与图象的交点是 ； 图象的开口向 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而 ，
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而 ；
当______________x =时，函数值最。
例2. 二次函数2
122
y x =-
+的有关性质： 对称轴是 ；
对称轴与图象的交点是 ； 图象的开口向 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量的增大而 ，
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量的增大而 ；
当______________x =时，函数值最。
三、综合运用：
1．将抛物线2y x =向上平移2个单位后，得到的抛物线解析式为（ ） A ．22y x = B ．22y x =+ C ．22y x =- D ．2y x =
2．二次函数2y x mx n =+-，若0m n -=，那么它的图象一定经过的点是（ ） A ．（﹣1，1） B ．（1，﹣1） C ．（﹣1，﹣1） D ．（1，1） 3．抛物线22y x =，22y x =-，22y x =+，
22y x =-它们的共同特征是（ ）
A ．都是关于y 轴对称
B ．都是y 随x 的增大而增大
C ．都是开口方向向上
D ．都有最大值
4．二次函数23y x =+的图象开口向 ，对称轴是 ，对称轴与图象的交点坐标是 。
5．二次函数22y x =--的图象开口向 ，对称轴是 ，对称轴与图象的交点坐标是 。 6．探究：抛物线2
122
y x =-
-是由抛物线 21
2
y x =-向 平移 个单位
而形成的。
7．二次函数2
1
2
y x =-+
的图象中， 当_________x =时，y 有最 值等于 。
8．函数c bx x y -+=2
的图象经过点（1，2），则c b -的值为___ _____。
