第二章 插值法
1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：
则二次拉格朗日插值多项式为 2．给出()ln f x x =的数值表
用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知，
若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<
若采用二次插值法计算ln0.54时，
3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤时， 令()cos f x x = 取0110,(
)606018010800
x h ππ
===⨯=
令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902
x π
=
=
当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为 插值余项为 又
在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播
过程。
∴总误差界为
4．设为互异节点，求证： （1）
()n
k k
j j j x l x x
=≡∑ (0,1,,);k n =
（2）0
()()0n
k j
j j x
x l x =-≡∑ (0,1,
,);k n =
证明
（1） 令()k
f x x = 若插值节点为,0,1,
,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0
()()n
k n j j j L x x l x ==∑。
插值余项为(1)1()
()()()()(1)!
n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=
+ 又
,k n ≤
0i n ≤≤又 由上题结论可知 ∴得证。
5设[]2
(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：
解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 =()
()
x b x a
f a f b a b x a
--=+-- 插值余项为1011
()()()()()()2
R x f x L x f x x x x x ''=-=
-- 6．在44x -≤≤上给出()x
f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x
e 的近似值，要使
截断误差不超过6
10-，问使用函数表的步长h 应取多少？
解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为 设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+ 若截断误差不超过6
10-，则
7．若44
2,.n n n n y y y δ=∆求及，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ∆=+-，证明()f x 的k 阶差分
()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式，并且1()0m f x +∆=（l 为正整数）。
解：函数()f x 的Taylor 展式为
其中(,)x x h ξ∈+ 又
()f x 是次数为m 的多项式
()f x ∴∆为1m -阶多项式 2()f x ∴∆为2m -阶多项式
依此过程递推，得()k
f x ∆是m k -次多项式
()m f x ∴∆是常数 ∴当l 为正整数时，
9．证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆ 证明 ∴得证 10．证明
1
1
0010
n n k k
n n k k k k f g
f g f g g f --+==∆=--∆∑∑
证明：由上题结论可知 得证。 11．证明
1
2
00n j n j y y y -=∆
=∆-∆∑
证明
1
1
2
10
()n n j j j j j y y y --+==∆
=∆-∆∑∑
得证。
12．若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,
,n x x x ，
证明：
11
00,02;(),1
k n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-⎧=⎨'=-⎩∑
证明：
()f x 有个不同实根12,,
,n x x x
且1011()n n n n f x a a x a x a x --=++
++
令12()()()()n n x x x x x x x ω=---
则
1
1()()k k n
n j j j j j n n
j x x f x a x ω===''∑
∑
而2313()()()()()()()n n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+---
