六年级数学培优题
一、培优题易错题
1．一个自然数若能表示两个自然数的平方差，个自然数称“智慧数”．比如：22-12=3， 3 就是智慧数；22-02=4， 4 就是智慧数．
从 0 开始第 7 个智慧数是 ________ ；不大于 200 的智慧数共有 ________ ．
【答案】 8； 151
【解析】【解答】解：（1）首先先找到智慧数的分布律．
① ∵02-02=0，∴ 0 是智慧，
2 2 2 2（n+1），所以所有 4 的倍数也都是智慧数，而被 4 除余 2 的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第 2 个智慧数是1，其次3， 4，
从 5 起，依次是 5， 7， 8； 9， 11，12； 13，15， 16； 17， 19， 20⋯
即按 2 个奇数，一个 4 的倍数，三个一地依次排列下去．
∴从 0 开始第 7 个智慧数是：8；
故答案： 8；
（ 2 ）∵ 200÷4=50，
∴不大于 200 的智慧数共有： 50 × 3+1=151．
故答案： 151．
【分析】根据意先找到智慧数的分布律，由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，因 2n+1=（n+1）2 -n2，所以所有的奇数都是智慧数，所有 4 的倍数也都是智慧数，而被4除余 2的偶数，都不是智慧数；由此可知，最小的智慧数是0，第 2 个智慧数是1，其次 3，4，得到从 0开始第 7 个智慧数是 8.
2．下列表是2017 1000 米和 10 名女生跑年某校从参加中考体育的九年学生中随机的
800 米的成 .
10 名男生跑
（1）按定，女生跑800 米的不超3'24" 就可以得分 .校九年学生有490 人，男生比女生少70 人 .你根据上面成，估校女生中有多少人成得分?（2）假如男生 1 号和男生10 号被分在同，分析他在400 米的形跑道的
程中能否相遇。若能，求出多才能相遇；若不能，明理由.
【答案】（1）解：男生有x 人,女生有 (x+70)人，
由意得： x+x+70=490，
解得： x=210，
则女生 x+70=210+70=280(人 ).
故女生得满分人数：
（2）解：不能；
假设经过x 分钟后， 1 号与 10 号在1000(人 )
米跑中能首次相遇，根据题意得：
解得
又∵
∴考生 1 号与 10号不能相遇。
【解析】【分析】（ 1）通过男生、女生的人数关系列出方程，得出女生的人数；（2）根据题意表达出 1 号跟 10 号的速度，两位若相遇，相减的路程为400 米，得出的时间为 4.8,但是 4.8 分钟大于 3 分钟，所以两位在测试过程中不会相遇。
3．炒股员小李上星期日买进某公司股票
跌情况（单位：元）
星期一二三四五六
每股涨跌 +4 -6 -1 -2． 5 ＋ 4． 5 +2
1000股，每股28 元，下表为本周内该股票的涨
（1）星期四收盘时，每股是多少钱？
（2）本周内最高价和最低价各是多少钱？
（3）已知小李买进股票时付了1． 5‰的手续费（ a‰表示千分之 a），卖出时需付成交额
1． 5‰的手续费和1‰的交易税，如果他在周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如
何？
【答案】（1）解：由上表可得： 28+4-6-1-2． 5=22． 5 元
∴星期四收盘时，每股是 22．5 元
（2）解：由题意得：星期一股价最高，为28+4=32 元
星期四股价最低，由（1）知 22．5 元
∴本周内股价最高为32 元，最低为22．5 元
（3）解：由题意得：买入时交易额为28 ×1000=28000元买入手续费为 28000 ×1． 5‰=42元
卖出时交易额为 29×1000=29000元卖出手续费和交易税共29000×（1 ．5‰+1‰） =72． 5元
总收益 =29000-28000- （ 42+72．5） =885．5 元
因此，如果小李在周六收盘前将全部股票卖出，他将收益885．5 元
【解析】【分析】（ 1）由表格可知星期四收盘价格=28+4-6-1-2． 5，计算可求得；
（2）分别算出这几天的股市价格，比较可得答案；
（3）分别算出买入时交易额、买入手续费、卖出时交易额、卖出手续费和交易税，则总收
益=卖出时交易额 -买入时交易额 -买入手续费 -卖出手续费和交易税，代入计算可得.
4．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为，盐浓度为，乙溶液中的酒精浓度为，盐浓度为．现在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得
的溶液的酒精浓度是盐浓度的 3 倍？
【答案】解：假设把水都蒸发掉，则甲溶液盐占盐和酒精的：10%÷（ 15%+10%） =40%，乙溶液中盐占盐和酒精的：5%÷（ 45%+5%） =10%；
需要配的溶液盐占盐和酒精的：1÷（ 1+3） =25%；
则：（ 0.25-0.1）：（ 0.4-0.25） =0.15： 0.15=1： 1，
1 千克甲溶液中盐和酒精：1×（15%+10%） =0.25（千克）， 1 千克乙溶液中盐和酒精：1×（5+45%） =0.5（千克）。
答：需要 0.5 千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的 3 倍。
【解析】【分析】可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就
是盐溶在酒精中。（事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设）。这样就能分别求
出甲、乙溶液中盐占盐和酒精的百分之几。根据配制成溶液中酒精是盐的 3 倍先计算出配
制后盐占盐和酒精的百分之几。分别求出 1 千克甲、乙溶液中盐和酒精的质量，然后确定需要
加入的乙溶液的重量即可。
5．甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的倍．将克甲瓶盐水与克乙瓶盐水混合后得到浓度为的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？
【答案】解：设乙瓶盐水的浓度是x，甲瓶水的浓度是3x。
100× 3x+300x=（100+300）× 15%
600x=60
x=0.1
0.1× 3=0.3=30%
答：甲瓶盐水的浓度是30%。
【解析】【分析】设乙瓶盐水的浓度是x，甲瓶水的浓度是3x。等量关系：甲瓶水盐的质
量+乙瓶水盐的质量=混合后盐的质量。根据等量关系列方程解答即可。
6．瓶中装有浓度为的酒精溶液克，现在又分别倒入克和克的、两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了．已知种酒精溶液浓度是种酒精溶液浓度的
倍，那么种酒精溶液的浓度是百分之几？
【答案】解：新倒入的纯酒精重量：
（1000+100+400 ）×14%-1000×15%
=210-150
=60（克）
