弧长、扇形面积、圆锥

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初三数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积人教实验版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积

教学目的

1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。

教学重点和难点：

教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算

难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系

教学过程

1. 圆周长：r2C

圆面积：2rS

2. 圆的面积C与半径R之间存在关系R2C，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2。

n°的圆心角所对的弧长是180Rn

180Rnl P120

*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

4. 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2RS，所以圆心角为n°的扇形面积是：

R21360RnS2l扇形（n也是1°的倍数，无单位）

word 2 / 14 5. 圆锥的概念

观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。

弧长和扇形面积

教学内容

24．4弧长和扇形面积〔2〕．

教学目标

1．了解母线的概念．

2．掌握圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

3．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，开展学生的实践探索能力．

教学重点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

教学难点

圆锥侧面积计算公式的推导过程．

教学过程

一、导入新课

师：大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？

生：见过，如漏斗、蒙古包．

师：你们知道圆锥的外表是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．

生：圆锥的外表是由一个圆面和一个曲面围成的．

师：圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．

二、新课教学

1．圆锥的母线．

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．

2．探索圆锥的侧面公式．

思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？

〔1〕如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形．

〔2〕设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l)．

3．利用圆锥的侧面积公式进行计算．

例 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1．8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡〔n取3．142，结果取整数〕？

解：右图是一个蒙古包的示意图．

根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2．高h2＝1.8 m；上部圆锥的高h1＝－＝1.4(m)．

圆柱的底面圆的半径r＝12≈1.945(m)，侧面积为2π××≈22.10(m2)．

圆锥的母线长l＝224.1945.1≈2.404(m)，侧面展开扇形的弧长为2π×≈12.28(m)，圆锥的侧面积为21××≈14.76(m2)．

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1.圆周长：r2C；圆面积：2rS

2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

（1）180Rnl ；（2）R21360RnS2l扇形（n也是1°的倍数，无单位）

3.圆锥

（1）圆锥的概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。

（2）圆锥的性质

①圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；

②圆锥的母线长都相等

（3）圆锥的侧面展开图与侧面积计算

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。

圆锥侧面积是扇形面积。 知识梳理 第32讲 弧长及扇形的面积

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如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：

180ncl

同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：

llrc21S圆侧面

圆锥的全面积为：2rrl

圆柱侧面积：rh2。

【例1】 一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ）

A cm B cm C 3cm D cm

圆锥的弧长公式

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圆锥弧长公式是：

弧长=底面圆周长=2πr=πd；

具备公式如下：

1、圆锥的底面积=圆的面积（π×r×r）或（π(d÷2）×(d÷2)（圆锥只有一个底面）。

2、圆锥的体积：V=sh÷3（S是底面积，h是圆锥高）。

3、圆锥全面积=πr²+πrl。

4、侧面展开图面积=1/2×2πr×l=πrl（r是底面半径，l是母线）。

5、侧面展开图弧长=底面圆周长=2πr=πd。

圆锥的侧面积：

将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长，圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。 圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。