2020高考考点解读圆锥曲线的综合应用

圆锥曲线的综合应用

圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．

考点一 圆锥曲线中的最值、范围

圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．

例1、如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

(1)求p的值；

(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

【变式探究】已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

【变式探究】在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，左右焦点分别为F1，F2，R为短轴的一个端点，且△RF1F2的面积为3.设过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB的斜率都存在，kPA·kPB＝－34.

(1)求a，b的值；

(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点，且QF1⊥x轴，M、N为曲线C上不同于Q的两点，且∠MQF1＝∠NQF1，设直线MN与y轴交于点D(0，d)，求d的取值范围．

考点二 定点、定值问题探究

例2、椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．

【方法规律】

1．求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．

2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．

【变式探究】如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为22.

(1)求椭圆E的方程；

(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．

【变式探究】已知焦距为22的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝43与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.

若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．

【方法规律】

1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．

2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．

【变式探究】已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点P在x轴上的投影是Q，且2PA→·PB→＝|PQ→|2.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．

高频考点三 圆锥曲线中的存在性问题

存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．

(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．

(3)得出结论

例3、 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A1，22在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM→＝NQ→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

【方法规律】

1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．

2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定

系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．

【变式探究】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，且过点P1，32，F为其右焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【变式探究】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为12.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆相交于C、D，且|CD||AB|＝837？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

1．（2019·全国高考）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.

（1）证明：直线过定点：

（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.

2．（2018·北京高考）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅰ）设O为原点，，，求证：为定值．

3．(2018·天津卷)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝62. 2:,2xCyD12yDC,ABAB50,2EABAB2yPQMQOuuuuruuurQNQOuuuruuur11

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若|AQ||PQ|＝524sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．

4．(2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点3，12，焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，圆O的直径为F1F2.

(1)求椭圆C及圆O的方程；

(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为267，求直线l的方程．

5．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．

6．(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

7．(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3－1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上．

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．

8．(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

9.（2017·全国高考）在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 22yxmx(0,1)