高中数学解题基本方法——换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通
过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉
的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x
＝sin2α，α∈[0,π
2
]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中
主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S
2
＋t，y＝
S
2
－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例
中的t>0和α∈[0,π
2 ]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝log
a
(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a
n }中，a
1
＝－1，a
n+1
·a
n
＝a
n+1
－a
n
，则数列通项a
n
＝___________。
4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程13
13
+
+
-x
x
＝3的解是_______________。
6.不等式log
2(2x－1) ·log
2
(2x+1－2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 22＋t －1
2，对称轴t ＝－1，
当t ＝2，y max ＝1
2
＋2；
2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为
11
a n +－
1a n ＝－1,设b n ＝1
a n
，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－1
n
；
4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝
1
3
，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x －1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－24,log 23)。 Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x 、y 满足4x 2
－5xy ＋4y 2
＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2
＋y 2
，求1S max
＋
1S min
的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2
α＝1,于是进行三角换元，设
x S y S ==⎧⎨
⎪⎩⎪cos sin α
α
代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩
⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5
解得 S ＝
10
852-sin α
；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
1013≤1085-sin α≤103
∴
1S max
＋
1S min
＝
310＋1310＝1610＝8
5
此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810
S S
-的有界性而求，即解不等式：|
810
S S
-|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝
S 2＋t ，y 2＝S 2－t ，t ∈[－S 2，S
2
]， 则xy ＝±S t 224－代入①式得：4S ±5S
t 2
24
－=5，
移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 。 ∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：
1013≤S ≤10
3
∴
1S max
＋
1S min
＝
310＋1310＝1610＝8
5
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路，设x 2＝S 2
＋t 、y 2＝S 2
－t ，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的
几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2
＋13b 2
＝5 ，求得a 2
∈[0,
53
]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2
＝2(a 2
＋b 2
)＝
1013＋2013a 2∈[1013,10
3
]，再求1S max ＋1S min 的值。
例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，
1
cos A ＋1cos C
＝－2cos B ，求
cos
A C
-2
的值。（96年全国理） 【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得
A C
B +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋
C ＝120°”进行均值换元，则设A C ＝°α
＝°－α
6060+⎧⎨
⎩ ，再代入可求cos α即cos
A C
-2
。 【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩
12060°
＝°,
