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北京科技大学高数A答案4.3

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习题4-3 （A ）1. 单项选择题（1） 设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰，则当x →0时f(x)是g(x)的 （ B ）（A ） 低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小 提示：洛必达法则（2） 设f(x)是连续一阶导数，f(0)=0,f ’(0)≠0, 220()()()xF x x t f t dt =-⎰。

且当x →0时，F ’(x)与x k 为同阶无穷小，则k 等于（ C ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (3) 把x →0时的无穷小2230cos ,,xx t dt t dt αβγ===⎰⎰，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确次序是（ B ） (A)α,β,γ (B) α,γ,β (C) β,α,γ (D) β,γ,α2.设f(x)在(,)-∞+∞上连续，c 为某常数，且对任意的x ∈(,)-∞+∞,有3c()540xf t dt x =+⎰，则f(x)=15x 2;c=-2.3.试求函数0sin xy tdt =⎰ 当x=0和x=4π时的导数。

0(sin )'sin x dy tdt x dx ==⎰,sin 00x dydx===，4sin42x dydxππ===4.证明2sin x ，2cos x -与1cos 22x -都是同一个函数的原函数，你能解释为什么同一个函数的原函数在形式上的这种差异吗？同一个函数的原函数在形式上的差异只是一个常数C 。

例如2sin x ，2cos x -与1cos 22x -都是函数2sinxcosx 的原函数。

2sin x =12cos x -，22111cos 2(12sin )sin 222x x x -=--=-+5.用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分（1）1204x dx ⎰（2）11edx x⎰（3）0sin xdx π⎰ （4）11xdx -⎰（5）20(31)ax x dx -+⎰（6）22411()x dx x +⎰ （7）4dx ⎰ （8）21dx x+ （9）221dx a x + （10）420213311x x dx x -+++⎰ （11）240tan xdx π⎰（12）301sin )2x x dx π-⎰（13）设20()0x x f x xx ≤⎧=⎨>⎩，求11()f x dx -⎰解（1）12301444033x dx x ==⎰（2）11ln 11e e dx x x ==⎰ （3）0sin cos 20xdx x ππ=-=-⎰（4）111122()1xdx xdx xdx ---=--+=⎰⎰⎰（5）23232011(31)()022aa x x dx x x x a a a -+=-+=-+⎰（6）2234312111121()()1338x dx x x x +=-=⎰（7）392244921271)()4326dx x dx x x ==+=⎰⎰ （8）21arctan 16dx xπ==+ （9）220113dx a x a a π==+ （10）222031031)1(arctan )1141x x dx x x xπ-++=+=+-+⎰（ （11）224400tan (sec 1)(tan )144xdx x dx x x ππππ=-=-=-⎰⎰（12）3300111sin )sin()cos()1323322x x dx x dx x πππππ-=-=-=-=⎰⎰（13）1010122311101111()()()10236f x dx f x dx f x dx xdx x dx x x ---=+=+=+=--⎰⎰⎰⎰⎰ 6.求下列各导数（1）0arctan x d tdt dx ⎰ （2）411b x d dt dx t +⎰ （3）32x x d dx ⎰ （4）cos 2sin cos(dt x x d t dx π⎰）（5）6)d t dt dx + （6）32()()x x d x t t dt dx ϕ+⎰，其中()x ϕ是连续函数。

解：(1) arctanx (2)411x -+ (3)2(4) 22cos(cos )sin cos(sin )cos x x x x ππ-- (5) 23))x x +-+(6)3333222232322()()(()())()3(1)()2(1)()x x x x x x x x d dx t t dt x t dt t t dt t dt x x x x x x dx dxϕϕϕϕϕϕ+=+=++-+⎰⎰⎰⎰7.指出下列运算的错误，错在何处（1）3x d dx =⎰(2) 30(1)x d d t dt dx dt +=⎰(3) 11111ln 0dx x x--==⎰(4)2202sin cos 00xdx x πππ==-=⎰⎰解：（1）忘记了x 3对x 的一步求导 正确解：3x （2）计算过程失误，先化简，再求导。

正确解：3x 2 （3）正确（4）没有谈论（0，2π）上sinx 的正负性。

正确解：48.设k 是正整数，试证明下列各题（1）cos 0kxdx ππ-=⎰ （2）sin 0kxdx ππ-=⎰（3）2cos kxdx πππ-=⎰ （4）2sin kxdx πππ-=⎰9.设k 及m 为正整数，且k ≠m,试证明下列各题（1）cos sin 0kx mxdx ππ-=⎰ （2）sin sin 0kx mxdx ππ-=⎰ （3）cos cos 0kx mxdx ππ-=⎰10.求由参数方程2200sin ,tt x sds y ==⎰⎰所确定的函数y=f(x)的一阶导数。

11.求由方程2200(0)'x yt t te dt e dt +=⎰⎰所确定的y=f(x)的一阶和二阶导数2sin ,2cos dx dy t t t ds ds ==，两式相比得2cot sec dy t t t dx=12. 设2[0,1]()[1,2]x x f x xx ⎧∈=⎨∈⎩，求0()()xx f t dt ϕ=⎰在[0,2]上表达式，并讨论()x ϕ在[0,2]上的连续性。

连续13.求下列极限（1）20cos lim xxx t dt →⎰ （2）22220()lim xt xx t e dt te dt→⎰⎰（3）sin 0tan 00lim x +→⎰⎰（4）2arctan xx tdt （5）22020limxt x x t e dtedt→∞⎰⎰解：（1）根据洛必达法则220cos limlim cos 1xxx x t dt x →→==⎰（2）根据洛必达法则22222222220020()222limlimlimlim2122xxt t xxxx xx x x x t e dt e dte x xe e x e te dt→→→→====++⎰⎰⎰(3)根据洛必达法则和等价无穷小sin 0tan 00lim lim lim 1,(0x x x x ++++→→→===→⎰⎰时tanx sinx x)（4）根据洛必达法则222arctan arctan lim 4xx x tdt x π→∞== （5）根据洛必达法则2222202201lim limlim0xt x x x x x x x t e dte eeedt→∞→∞→∞===⎰⎰14.设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导且f ’(x)≤0,1()()xa F x f t dt x a=-⎰.证明：在（a,b ）内有F ’(x)≤0.其中用到积分中值定理和拉格朗日微分中值定理。

15.设函数f(x)在x=1的某个邻域内可导，且f(1)=0, 1lim '()1x f x →=,计算1131(())lim(1)xtx t f u du dtx →-⎰⎰根据洛必达法则： 1111321111(())()()()2()'()2(1)'(1)1limlimlimlim(1)3(1)6(1)666xxxtx x x x t f u du dtx f u duf u du xf x f x xf x f f x x x →→→→+++=====---⎰⎰⎰⎰16.求下列极限（1）222222lim(...)12n n n nn n n n →∞++++++（2）22222212lim(...)12n nn n n n→∞++++++ （1）解：原式=120211111lim.arctan 0141()nn i dx x i nx nπ→∞====++∑⎰ （2）解：原式=1220211111lim .ln(1)ln 201221()nn i i x n dx x i n x n→∞===+=++∑⎰ （B ）17.设f(x)在[a,b]上可积，证明：至少存在ξ∈[a,b],使得()()baf x dx f x dx ξξ=⎰⎰证明：构造函数()()()xbaxF x f x dx f x dx =-⎰⎰2()(),()(),().()(())0b b baaaF a f x dx F b f x dx F a F b f x dx =-==-≤⎰⎰⎰，根据罗尔定理，存在ξ∈[a,b]，使得()()baf x dx f x dx ξξ=⎰⎰18.设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0.证明：（1）存在唯一的ξ∈（a,b ）,使得1()()baf x dx dx f x ξξ=⎰⎰； （2）1(())2,[,]()xb ax d f t dt dt x a b dx f t -≥∈⎰⎰证明：构造函数1()()()xbaxF x f x dx dx f x =-⎰⎰11(),()(),().()(())()0()()bb b b aa a a F a dx Fb f x dx F a F b f x dx dx f x f x =-==-<⎰⎰⎰⎰根据罗尔定理，至少存在一个ξ∈（a,b ）,使得1()()baf x dx dx f x ξξ=⎰⎰。

再证唯一性， 1'()()20()F x f x f x =+≥>,（2）得证。

所以F(x)在[a,b]上连续递增，只能有一个零点ξ∈（a,b ）,使得1()()ba f x dx dx f x ξξ=⎰⎰。

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高等数学A(二)(答案及得分详解)

高等数学A(二)(答案及得分详解)

高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （ ）。

(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（ ）的方向导数最大。

(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（ ）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（ ）。

(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是 （ ）。

(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（ ），其中L 为圆周222=+y x 。

(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（ ）。

(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（ ）。

高等数学a大一教材答案详解

高等数学a大一教材答案详解

高等数学a大一教材答案详解一、导数与微分在高等数学A的大一教材中，导数与微分是一个重要的内容。

导数是用于描述函数变化率的工具，它可以帮助我们分析函数的性质和求解问题。

下面我们将对导数与微分的相关知识进行详细解答。

1. 导数的概念及计算方法导数描述了函数在某一点的切线斜率，可以通过以下公式计算：$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，$f(x)$表示函数，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的变化量。

通过不断减小$\Delta x$的值，我们可以得到函数在某一点的导数。

2. 常见函数的导数根据导数的定义和计算方法，我们可以得到一些常见函数的导数计算公式，如：- 幂函数 $y=x^n$ 的导数为 $y'=nx^{n-1}$- 指数函数 $y=a^x$ 的导数为 $y'=a^x\ln{a}$- 对数函数 $y=\log_a{x}$ 的导数为 $y'=\frac{1}{x\ln{a}}$- 三角函数的导数如下：- 正弦函数 $y=\sin{x}$ 的导数为 $y'=\cos{x}$- 余弦函数 $y=\cos{x}$ 的导数为 $y'=-\sin{x}$- 正切函数 $y=\tan{x}$ 的导数为 $y'=\sec^2{x}$3. 导数的性质与应用导数具有一些重要的性质，例如：- 若函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，那么它在 $x=a$ 处连续。

- 函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的切线方程为 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$。

导数在实际问题中的应用十分广泛，例如可以用于求解函数的极值、优化问题以及描述物理过程中的变化率等。

考研高数a真题及答案解析

考研高数a真题及答案解析

考研高数a真题及答案解析A真题及答案解析考研数学是研究生招生考试中不可或缺的一项科目，而高等数学A部分更是其中最为关键的知识点。

为了帮助考生更好地备考，我们将为大家提供一道典型的高数A真题及答案解析。

首先，让我们来看一下这道真题：【题目】设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明存在一点ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=f(ξ)。

接下来，我们将逐步解析这道题：1. 首先，我们需对问题进行分析，理解题目的意思。

题目要求我们证明在函数f(x)在区间[a,b]上可导的前提下，存在一个点ξ使得f′(ξ)=f(ξ)。

2. 接下来，我们需要考虑如何使用中值定理来证明这个结论。

根据中值定理，如果一个函数在某个区间上可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在这个区间内必定存在一个点，使得其导数等于函数值。

3. 现在，我们可以开始着手证明了。

首先，我们设h(x) = f(x) - f′(x)，这样我们的目标就是要证明在某个点ξ上，h(x)等于零。

4. 由于f(x)在区间[a,b]上可导，那么h(x)也在这个区间上可导。

根据导数的定义，我们可得h′(x) = f′(x) - f′′(x)。

5. 接下来，我们来观察h′(x)的值。

由于f′(x)可导，则h′(x)也可导。

我们在这里使用了函数的可导性的性质，即如果一个函数在某个点可导，则它在这个点的左右导数存在且相等。

6. 根据题设，我们知道f(a) = 0，因此h(a) = f(a) - f′(a) = 0 - f′(a) = - f′(a)。

同样地，我们可得h(b) = - f′(b)。

7. 现在，我们来分析h(a)和h(b)的符号。

根据题设可知f(a) = f(b) = 0，即f(a)和f(b)都等于零。

因此，我们可以得出结论：h(a)和h(b)的符号相反。

8. 根据导数的连续性，我们可以知道在区间[a,b]上，h(x)的符号一定发生了改变，即h(x)在这个区间内至少存在一个根。

北京科技大学2009-2012高等数学第一学期期中考试题

北京科技大学2009-2012高等数学第一学期期中考试题



C

G ( x ) 是 g ( x ) 的高阶无穷小;

D
G ( x) 是 g ( x) 的低阶无穷小.
17．设有下列四个条件：(1) f ( x) 在 a, b 上连续； (2) f ( x) 在 a, b 上有界； (3) f ( x) 在 a, b 上可导； (4) x0 a , b , lim f ( x ) 存在, 则上述 4 个命题的正确关系
A


偶函数

B

奇函数
2．以下哪个说法（
A
非奇非偶函数 ）与 lim xn A 的定义等价.
n

C


D

有界函数
(0,1), 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A 100 . B 1, 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A . C 对任意的自然数 N , 存在 0, 当 n N 时，有 xn A . D 存在自然数 N , 对任意 0, 当 n N 时，有 xn A .
北京科技大学 2009——2010 学年第一学期
高 等 数 学 A(I) 期中试卷
院(系) 班级 学号 姓名 考场
题号 得分 评阅
一
二
三
课程考核成绩
说明: 1 、考场、学院、班、学号、姓名均需写全 , 不写全的试卷为废卷 ; 2 、涂改学号及姓名的试卷为废卷； 3 、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.
高等数学 AI 期中试卷
第 3 页 共 7 页
得 分
四、应用题（本题共 5 分）
k3 2 2 x ,其中 x 是箭离原点的水平距离, 20．一射手在原点射出的箭的轨迹方程为 y kx 300 y 是相应的高度( x 轴为地平线， 距离单位为 m), 正数 k 是轨迹曲线在原点处的切线斜率. 问 (1) 正数 k 取何值时， 箭的水平射程最大？ (2) 正数 k 取何值时， 箭射中 30m 远处一直立墙面的高度最大？