等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳： 1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；
2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2
)
1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=
②等比数列：1°.定义若数列q a a a n
n n =+1
}{满足
（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1
1k
n k n n q
a q
a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)
1(111≠--=--=
q q
q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：
①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a
1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：
1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2
b
a A +=
2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：
1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n
k n n k n
n k k
k
k a
a a 12131
2,,
则组成公差为n 2d 的等差数列；
2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k n
n k n n k k
k
k a
a a 1
21
31
2,,
则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =
－1，n 为偶数时这个结论不成立）
⑤若}{n a 是等比数列，
则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2
n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,
1°.若n 为奇数，则,,:(2
1+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、
所有偶数项的和）；
2°.若n 为偶数，则.2
nd S S =-奇偶 （二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或
q
a
，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3
3
32aq aq q a q
a aq aq aq a ±±或
”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：
（Ⅰ）已知c b a 1
,1,1成等差数列，求证：
（1）c b
a b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2b
c b b a ---成等比数列.
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
.
2,2,2,
)2(4)(2)2)(2)(2(;
,,.)(2)()(2)()1(),(222112222
22
2成等比数列成等差数列b
c b b a b
b c a b ac b c b a c b a b a c a c b b
c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=
+++=++++=⇒=+⇒=+
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判
断，.
（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
2128，求项数n.
[解析]设公比为242
1281024
,142531==-n n a a a a a a a q
)1(2
42
1
1=⋅⇒-n q
a
.7,2
35
25,2)2()1(,2)(2
)1(2212810242
352
52
35
2
1
12
353
211235321==∴
==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n q
a a a a a n
n n n 得代入得将而
（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列
求数列.}{项和的前n k n
[解析],,,,1712
51751a a a a a a ⋅=∴成等比数列
① ② ①
②
